장음표시 사용
131쪽
quod ex hujusmodi conoidibus, sive ex solidis a spatio e avo deseriptis in data ratione dividere, qua facile est in spherae pomtionibus,& reiiduis cylidroru illas circularibentiu ide praestare. ra Cycloide oa AN circa, tangentem verticis A N rev lata, patet solidum inde proveniens esse subduplum annuli ex semicirculo N o o circa eamdem tangentem eonverso: unde δ: residuum cylindri illi solido circumseripti ,. idest solidum. quod ex semicycloide convexa cia A D circa tangentem erinticis conversa describitur, notae dimensionis erit, imb & ejus partium mensura innotescet: i quae iam pridem inter Geometras magna sollicitudine quaesita fuisse video. Idem in Cis-sbide praestandum, cujus quidem ex nota proprietate linearum Ar,rd, rN, ro proportionalium, obvia est dimensio solu
132쪽
di eius eonversione circa asy i ptoton Aodeseripti , quippe uti rectangula Aro, or N aequalia itide Os knduntur, adeo. que & cylindricae superficies ab iis descriptae,. ita Integrum illud Cisloidale lidum, integro annulo ex semicirculo genitore circa tangentem in N rcvoluto, & partes partibus correspondentibus aequasi manifestum est; ex nostra verci doctrina manifesta etiam evadit dimensio solidi ex eodem cavo citioidali spatio OON Ao circa Nn revoluto . ejusque partium, Percomparationem ad fusum Cycloidale ex CAN. ejusque partes; imb&innotescet dimensio Conoidum ex spatiis comvexis, curva N oo, & axe n N producto , ac ordinata ex Oipsi rN parallela terminatis, quippe residua cylindrorum ex remngulis N e o produetorum. Solidum ex Tractoria subdin ptu pariter invenies hemispherii ex suadrate sibi correlato,&αi3 In parabolis cujusvis generis Ea A, Conoides ex figura C A N circa axem C N habebit semper ad cireum scriptum cylindrum ex C . N A rationem notam ; nota
quippe est ratio axis N C ad subtangentem N B , unde& ratio cylindri. ex C s N A ad Wlinctum ex B G A AEquae eadem est ; cylindrus autem B G A N componitur ex solido ex CgGA N quod semper est triplum Conoidis ex CAN , quippe solidum ex Ca AG g hujus semeet est duplum & ex conoide ex CgGB, cujus ratio ad ipsum
133쪽
sum C A N eadem semper est, quae C B ad C N, e b ad e n,
juxta Proposit. I. Append. nostrae Vivian. Probi. adedque est ad illum in quadratica , ut ι ad r. in cubica . ut 1 ad 2. in quadratoquadratica , ut 3 ad ι, &c. in ea , in qua cubiordinatarum sunt . ut quadrata ex sagittis , ut i ad a . &universaliter si ordinatarum exponens sit x, partium verbaxis , ut x minus I ad F ὲ itaque semper cylindrus ex B G A N erit ad conoidem ex parabola C A N circa axem revoluta , ut 3ν --x - γ ad I ; scilicet in quadratica , ut 4 ad a. in cubica, ut s ad i. in sequenti, ut 6 ad r, &c. in ea, in qua cubi ordinatarum respondent quadratis sagittarum , ut 7 ad a. in qua vero quadratoquadrata respondent
cutis, ut ro ad 3. &c. Vel sic etiam calculus institui potest; quoniam cylindrus ex B G A N triplus est coni ex triangulo B AN ; solidum item ex CgGAN triplum Conoidis C AN ; reliqua etiam conois ex CgGB triola erat solidi ex trilineo C A B ; est vero, ex dictis,Conois C A N ad Co-noidem CgGB convertendo, ut I ad x- , ergo ex aequo comis C AN ad solidum ex trilineo CKB est, ut 'ν ad π
134쪽
bici, ut 3 ad 3, in quadrat uadratica, ut 6 ad 3 , in ea, in qua cabi comparantur quadratis, ut 7 ad 6, &α i. Non dissicilior infinitarum hyperbolarum tractatio erit. Sit quaevis hyperbola Ca Ainter asymptotos BDO; & huiueontelata figura gG, cujus ordinatae A G, ag aequales sub- tangentibus N B, n b. Qiaoniam ex dictis cap. 7. num. 9. est
D N ad N B . seu o A ad AG pernetud...ut exponens ordinatarum A . ad exponentem distantiarum D . Videli-Cet , ut x ad F ; etiam 'solidum ex spatio Caseo circa DB ad solidum ex g G Aa C circa eumdem axem , quiPPe quorum cylindricae superficies , lineis O A, AG, & fa, ag eamdem perpetuo rationem observant ut x ad F; unde idem antececiens solidum, ad solidum ex Ca A N , quod est juxta nostram doctrinam, solidi consequentis subduplum,erit ut x ad L F; vel ut 1 ad 3; ia dividendo, cylindrus ex inscripto parallelogrammo . A N D ad solidum ex spatio imsinitE longo Ca AN erit, ut a x. - I ad F; scilicet in prima hyperbola , ut i ad i utl jam Torrieellius ostendit in secunda , seu quadratica . ut 3 ad 3, in tertia, seu cubica , ut 3 ad ι, in quarta , seu quadratoquadrMica, ut Tad
135쪽
ad 1 ; & se semper . sumpto antecedente juxta impariunt numerorurn progressionem ; quod si cubi ordinatarum ad distantiarum quadrata mPM-- , ratio invenietur, ut qad a , seu a ia 4 ; si quadratoquadrata illarum ad istarum cubos, .ut s ad 3. Se Alia exempla, aliaeque speculatione non deerunt, si Lectoris judustria hiice vestigiis insistensia feracillimos Geometriae campos se conseret.
Decimum Theorema proponitur , ac prima demonstra-ιione stabilitur . Infinita series terminorum prope rionalium aequettur maximo octo in exponeutem rationis , ac divisio per eumdem exponentein vn esse
minuIsm. Ex hoc demonstras A mori , tum si irae , tum infinitae feries aequales ostendantur summae, veIaisserentiae duarum potestatum, per summam , vudissereWtiam radicuae divisae , ct . Solidam rot- Eum, de quo in hoc Theoremate, per infinitae feriri calculam ad me aram redigitur. Sabrangentes L. gistisae in ordinata accepta μηt, ut rectangati Logisticae inscripta. Solidum ex quovis Luificae sipario: circa ordiuasam kevoluto ad isscriptam olindrum est, at congruum trilimum 'ad inscripsilis triangulum Haec rario nosa esse senitar . Aminiis quoque latis per haec statia progenitis demonstratio υ- . llicabilis esse indicatar .
136쪽
1 T Eeimum Auctoris nostri Theorema inven a, fateor. disseillimum mihi fuit, duas tamen, aspirante Geometriae Praeside, ejus demonstrationes , eo, quod sequitur . medio tandem extundere potui: Solidum, , productum
ab eodem infinito patio in conversisne circa ordinatam B F, posquam exporrigitur, sextuplum est Conigeniti ex trianguis BFOinconversone circa B F. Fiat enim angulus EF H semirectus,& ordinatae N D , ME in Logistiea extendantur ad lineam F H in G , H . Concipiatur modo solidum ex triangulo H F Ε, ad partes H E indefinite protenso simul cum Logi- 1liea 3 in spatium Luisti eae FB ME , quod conflabitur ex
totidem reliangulis G DN, HEM, &c. Aut etiam, ut in Vivianeis indicavimus ad Schol. propos. 6. pag. st. Spatium Logisti cum FB NM ita erectuin, ut perpendiculare uat plano HFΕ, per quod motu tibi semper parallelo fluere intestigatur, ut partes ipsius Logisticae lineam F H praetergredientes deinceps evanescant, itaui, cum Logistica attigerit punctum G, ejus portio FDN B defecerit, solaque remanserit residua post D N versus LM in infinitum protensa, ubi veώrb attigerit punctum H, defaecerit pars L FB M, solaque re
137쪽
sdua fueυ - e post E M in infinitum extenditur, &e. Iam
cons. a. i. . V ua genesi, hoc solidum fore ad rotundum ex L gisli 2 ::t .. ordinatam BF revoluta, ut radius cuiuspiam cir-ς D lUD Ius circumferentiam , quae enim lineae DN , EM in L , supra descripto dueerentur in GD , HE, aequales ipsis D F. v F , in rotundo solido eirea F B dueerentur in peripherias ab eisdem radiis DF, EF, descriptas in rotationemrrumdem ordinatarum D N. EM. Rursus ex secunda geonesi ejusdem prius descripti solidi, patet illud fore aequaleptismati altitudine subtangentis o F, basivem integro Logisticae spatio FB NM. idest, per dicta cap. 8. in demonstratione Theorematis sedimi, basi ipso rectanguIo o F B. Ratio est . quia solidum illud, juxta ieeundam genetim consideratu habet pro basi spatium FB M. & ad punctum G, sive ad altitudinem GD habet sectionem basi parallelam spatium infinitum post D N extensum . scut & ad altitudinem ΕΗ spatium infinitum extensum post EM , &α quemadmodum&ptisma,tasi spatio FB NM. altitudineo F, secari posset inreliangulum . o F B aequale ipsi F B M. & ad cistantiam F Dt aequalem DG secaretur in rectangulum ex OF in D Naequale spatio infinito post DN, necnon& ad distantiam E F aequa-
138쪽
aequalem Ε H in rectangulum ex o F in E M aequale spatio post EM infinitE protenso. &c. a Ratio igitur solida rotundi exspatio FB ME eirea FB
rotati ad conum ex triangulo OBF, utpote composita ex ratione dicti solidi rotundi a ri ima altitudine OF , basi Ῥ-tio FB M. vel rectangulo o FB , & ex ratione hujus iplius I risinaris addictum conum, cor ponetur ex ratione circum erentiae radii OF ad radium or, vel, assumpta communi altitudine o C, dicas ex ratione cylindrice superficiei deseriis piae ab OC ad rectangulum FOC & ex ratione dicti prinmatis ad designatum conum scilicet ex composita rursus ex ratione rectanguli Fo C ad triangulum FG B, &ex o FH-titudine pri inlatis ad circumferentiam ex triente o F, quae est distantia centri gravitatis trianguli ejusdem ab axe motus, iuxta celeberrin ani regulam Guldinianam, seu dicas ex ratione trianguli eiusdem Ο FB ad triangulum ex triente circumserentiae ab GF deleriptae in ipsam OF, uel OC hae autem rationes componunt rationem sextuplam ; cylindrica siquidem superficies ab OC in conversione circa FB deseripta quae est primus turminus cum tripla sit cylindricae s pernciet ejusdem altitudin s in trientem dumtaxar peripheriae ex o F. live in peripheriam trientis o F. sextupla erit trianis stili ex tali triente circumferentiae in OC, vel FB quod est ultimus terminus utpote subdupli cylindricae supernetei ejundem altitudinis. &haiis. Solidum igitur rotuncum ex gusticae spatio FB M circa F B revoluto, sextuplum est Coni ex o FB triangulo inscripto circa eamdem ordinatam rotato. Quod erat demonstrandum. 3 Alia ejusdem Theorematis demonstratio assumptum hoc. iam inter Geometras pervulgatum . praesupponit, quddscilicet quaelibet infinita series terminorum continui proin portionalium aequalis est mari mo termino ducto in exponentem rationis , & diviso per eumdem exponentem unitate minutum ; sit verbigratia communis ratio infiniis torum terminorum illa . quam habet a ad r ; sitque m ximus terminus αἱ erunt igitur termini isti per ordinem ma Disitir ooste
139쪽
&e. in infinitum: dico omnes simul
aequari-; multiplicentur enim singuli ex propositis ter
tub elidere, qui enim prius negantur , iidem immediatE 'post assirmantur ; atque adeo omnes aequantur soli priori producto ma ἐν igitur e contra dividendo per a - r , fient
quod enim multiplicatio conficit, hoc ipsum divisio retexit. Vel sic: In propositis terminis pro rtionalibus , ut una disterentia ad unum terminum s puta ut a i ad a J ita omnes simul disterentiae idest ipse maximus terminus is , in quo disserentiae omnes includuntur ad omnes terminos, qui propterea aequales esse debent m. Q e. d.
Priorem demonstraἡdi modum, qui clarior est, atq; me judice, omnium facillimus, indicavi jam in Vivianeis ad finε
Pag. iso. atque expeditissimum innumeris veritatibus demoniliandis Lector inveniet, si in illo semet tantisper exercer non dedignetur. Exempli causa in seriebus finitis, deprehendet dissetentiam quarumlibet homogenearum potestatim d visam per disserentiam radicum earumdem, aequari aggregat tot terminoru continue proportionalisi,uno gradu depressiorsi. quot fuerint unitates in earum potestatum exponente , Put,aa-M . .
140쪽
multipIieando enim per a ta terminos primae aequationis, fit
aa -- ab - - ab - bb ob reliquos terminos se mu- tud elidentes ; item multiplicando terminos aequationis secundae, habetur-- Da - Da - abb - . abb ob eamdem rationem; similiter in aliis idem eveniet. Disserentiam autem 'uarsilibet homogenearum potestatum gradus a numero pari denominati, vel summam gradus denominati ab impari numero, divisam per summam radicum, aequalem deprehendes aggregato similium terminorum , ut supra,
sed alternatis assirmationis, & negationis signis: verbi gratia