장음표시 사용
111쪽
genitori cireuIo inscribitur, uti Hugenio jam pridem innotuit;
sed de cycloidalia segmenta, quorum subtensae puncta conjungunt, alterum a tangente verticis, alterum ab ordinata per cenistrum circuli, aeque distantia facilem quadraturam admittunt. sive ad easdem, live ad diversas partes puncta jungantur, & Zonae binis ejusmodi subtensis interjectae pariter quadrabiles inveniuntur, & segmenta. tum Veloidis, tum lemicirculi genitoris , abscissa chordis, quarum extrema a verticis tangente,& a basi aeque dissita sint ad easdem partes, aequalia ostenduntur, ubi vero ad partes contrarias, aequalia semicirculo, simul cum rectangulo diametri in sinum arcus respondentis, &c. in quibus immorari non vacat, quippe ad alia pergendum. y Quod etiam demonstravit olim Hugenius, spatium Cisseide Dioclea ultra quadrantem continuata, ejusque asymptoto,& circuli genitoris diametro interceptum, triplum osse semicirculi genitoris, facillime ex nostra hac methodo deducitur, illud, ejusq; lingulas partes, cum cycloide,& ejus portionibus comparando. Sit enim semicyclois A CN, cujus semicirculus genitor Ad N, ex quo etiam genita intelligatur Cinso is Noo. Iuncta subtensa qualibet No, atque ordinatis, ut in figura, patet junctam Nd esse ipsi N o perpendicularem, Propter dr, rN , ro continue proportionales ; aequi distat igitur ipsa No chordae Ad, atque adeo & tangenti cycloidis ab; quod cum semper eveniat, sequitur totum spatiunx
112쪽
13finitε longum oNΑΟ toti, semicycloidi, de eius singuIas partes Nor ipsis portionibus Can,& orro ipsi n a a n pe pelub adaequari ; juncto autem eis idi semicirculo A d totum spatium o o N d d A O semicirculi esse quadruplum, &partes o N d quadruplas segmenti N d, arcu scilicet, ac chorda his litteris designata comprehensi , aut sectores diametro AN, curvae portione No, junctisq; ex A ad o chordis A o interjectos , eorumdem segmentorum circularium N d esse triplos, &C. Si curva A a e fuerit Tra'oria , qualem cap. sub finem a. descripsimus, cujus nimirum tangens ala eiusdem ubique est longitudinis, utique ei Correlata figura o o G erit cireuli quadrans, centro N, radio NA, quippe No tangenti parallela, erit ubique aequalis , unde infinitum spatium 1 Tralioria, ejusque Asymetoto conclusum, quadranti circulari, radio tangentis descripto aequale demonstrabitur,& partes proportionales segmentis congruis respondebunt. io Quid de parabolarum infinitis speciebus addam pSane, resumpta ligura --ri a. cquis, constat, spa-
113쪽
tium A a C g G ella duplicatum trili neu parabolicum Α Cposito qudd ipsa CAN sit parabola quadratica, in qua sub- tangentes N B, sive iis aequales A G, duplae sunt abscissarum NE, seu A.Φ ; itaque parabola A C N, utpote aequalis spatio AaCgG, erit dupla trilinei A C . , sui nimirum complementi ad parallelogrammum circumscriptum , adeδque aequalis erit e ejusdem circumscripti parallelogrammi ; ubi autem subtangens N B abscissae N C tripla fuerit uti accidit in parabola cubica, seu in curva, cujus ordinatarum N A. ira cubi fuerint, ut partes axis N C, n C a vertice abici s erit, eadem ratione, ngura Aa CG, adedque & ipsa parabola C A N, tripla trilinei C Α Φ, & consequenter aequalis L ci cum scripti parallelogrammi; ac generaliter habebit cujusv is speciei parabola ad trilineum, seu complementum parallelogrammi ipsum circumscribentis, eamdem semper rationem, quam exponens potestatis suarum ordinatarum ad exponentem poteliatum axis; idest in quadratica, ut a ad i. in cubica, ut 3 ad i. in quadratoquadratica, ut ad r. &c. In ea, in qua cubi ordinatarum fuerint, ut quadrata abscissarum, ut 3 ad a. & in qua quadratoquadrata ordinatarum sint, ut cubi Partium axis, ut ad 3,&c. quippe in hac ipsa ratione erunt semper subtagentes conflantes laguram A C G, parabolae aequalem,ad abscissas conflantes dictum trilineum, ut dudum Geo-
114쪽
metris innotuit, potestque deduci ex generali tangentium constructione cap. 3- praesertim num. & sequentibus ad p plane modo infinitas hyperbolas ad mensuram vocabis: Ac primo spatium Apolloniana hy perbola. ejusque asymptoto conclusum infinitum esse . sic patebit: esto talis hyperbola Aa C, cuius asymptoti . D , DB ; manifestum est, subtangentes B N aequales esse distantiis a centro N D;
unde facta. iuxta praescriptum uum. a. figura gG Aa C. erit perpetuo G A aequalis A O . ga aequalis af, &c. dc spatium g G A a C aequale spatio Ca ΑΦ h; sed& idem aequale
ualia; sed primum excedit fecundum parallelogrammo N A Φ D; ergo oportet utraqua infinita esse; ex finitis enim, quod alterum luperat spatio finito, non est illi aequale, sed tan-itum in infinitis hoc locum habet; postea curva Aa C suppo natur esse hyperbola secundi gradus, in qua videlicet ordinatarum Λ . , as quadrata reciproce sunt inter se , ut partes asymptoti fD. D Φ ; manifestum est ex dictis cap. praecedent. distantias a centro DN, duplas fore subtangentium N B; itaque cum semper in hoc casu . A ut dupla A ta , IaDuili Ud by Corale
115쪽
dupla a g; tota figura b D Φ Aa C dupla erit ipsus sGA a C. adeoque dupla spatii huic aequalis C a AN b; & clividendo, spatium infinitum C a ANb aequale parallelogrammo hype bolae inseripio N A Φ D. In hyperbola tertii, aut quarti gradus, propter distantias a centro triplas, & qiradruplas stibian- gentium , colligetur, spatium C a ANb esse semissem , aut trientem, &e. paralleIogrammi D A ; & generaliter esse itilud spatium ad hoc parallelogrammorum , ut exponens di Itantiarum a centio D ad exponentem ordinatarum Φ Αdiminutum exponente earumdem distantiarum; seu si exponens distantiarum sit F, ordinatarum x , ut I ad x-γ . sculicet in prima hyperbola, ut a ad o. in secunda . ut ι ad ν. a in ea, in qua distantiarum quadrata
essent, ut cubi Ordinatarum, ut 2 ad ι. &c.
ra Spirales verb, aut quae harum instar generari concipiuntur fi 'rae . numauid ab hujus methodi , & doctrinae legibus excludentur p imo&ipsae illius influxum in se derivare pol runt, sed suae naturae contemperatum ; figura enim ex suina gentibus ad respectiva puncta radii applicatis, non quidem aequalis, sed dupla semper erit Sp1ralis figurae sibi correspondentis, eb quod harum figurarum elementa non sint paralle
116쪽
ia parflelograminis analoga, sed convergentia. & triangulis paralleIogrammorum subduplis respondentia. Exempli gractia in Spirali Archimedea ad quemvis radium AC , vel a C ducta ex centro perpendi Iari CB, aut Ch aequali peripheriae radii C Α, aut respectiva arcui a I, qualem radius auumpto puncto A, vel a in sui conversione eo usque destripsit
mire ex Archimede, imb & ex die is eap. s. n-. 9. iunetam B A. seu b a tangentem esse s debes autem mi iasior concipere, utut Schemma defecerit, lineam bd directe tendere In a, ibidemque Spiralem tangere. & lineam A D concurrere cum CB in B, unde ducta quaedam radio parallela occurrat parallelis subtangentis CB ductis ab extremo radii A. Ma quovis tangentis puncto D, ipsis scilicet AF,DM, inpunctis G, H, uti in minusculis litteris ipsa gb occurrit homonymis, & homologis Iineis in g , is , atque demum per D, seu d punctum radio parallelam iuum esse, uti vides, F D Κ, fid e puncto igitur D, seo d assumpto, quod contactui Proximum sis , coinissetisque parallelogrammis DG , DC, seu dg, dc aequalibus, utpote complementis Parallelogram.
117쪽
morum circa diametrum, patet iunctis DC. de . triangula C D A. C da esse semissem aeque altorum. & eamdem basim obtinentiam parallelogrammorum C AFE. Case; quare S. semissis erunt aeuualium illis parallelogramoriam M AGH. ma gh; icumque naec triangula excedere possint Spirale sp tium C Aa C minori excessu quolibet dato , constat ip integrum Spirale spatium omnium ejusmodi parallelogrammorum M G, m g ad minimam latitudinem redactorum. Sin unam figuram confluentium squod fit, ipsis lineis A G. a gad respectiva puncta ejusdem radii CA in eadem a centro distantia applicatis, scilicet AG in ΑΚ, ag in IL, existente CI aequali ipsi C a , & ite ubique . quousque compiciatur
figura CLKA, quae in hoc casu erat trilineum parabolicum, eo quod subtangentes, quemadmodum & arcus, quibus .tur, in duplicata radiorum ratione procedunt, ut monuimus eodem cap. iubdupluriaeue ; atque adeo cuin tale trilineum C Κ A, duplum spiralis spatia,coimet,cx dimentione parabolae,esse duos trientes trianguli stib radici CA ut altitudine, & AK ut hali. idest duos trientes circuli radio C A ,
118쪽
Theorem. Hugen. Cap. VIII. Io3
aut correspondentis sectoris radio a C , vel CI descripti. &ipsum Spirale spatium circumscribentis, habetur, spiriata spatia trientem esse circularium sectorum eadem circumscribentium. Similiter aliarum speeterum spiralia 'atia per eorrespondentia trilinea parabolica eap. s. titat. indicata metiri Poteris, & cum sectoribus cireuinscriptis comparare ; sed ia piralem Geometricam , seu Logarithmicam A a a invenies comprehendere,post infinitos sibi superimpositos eincinno cum radio C A spatium subduplum circumscripti trianguli ABC; figura enim CLΚAex subtangentibus ad congrua radii puncta applicatis hic in triangulum degenerat, quia ob Rqualem semper inclinationis angulum C AB, C ab , triangula rectangula C AB, C ab simi lia evadunt , & subtangen- res C B, C b, seu his aequales A K , t L in eadem radiorum AC, C a. vel Cl ratione; Unde habes confirmationem eo-
Tum, quae cap. praeced. num. ro. O tr. circa hujus spatii comparationem attulimus.
3 Hanc igitur tot exempIis illustrem doctrinam ad pr Positum applicantes, septimum k Iugenii Theorema sic demon
119쪽
strabimus. Subtansentes Logisticae Aa a C sint NB , n b. n b, quae ad respectiva puncta A,r,r applicatae AN referantur in AG , ro . ro; est igitur figura N AGO O aequalis statio post ordinatam AN, asymptoto,&curvae interiecto. juxta hane doctrinam; verum&idem spatium N AG co vincitur esse rediangulum subtangentis N B in ordinatam NA, edqubd ex dictis cap. s. subtangentis longitudo N B. n b, sive iam AG , ro, ut semper eadem ; itaque spatium
infinitum, quod post quamvis Logisticae ordinatam exporrigitur, aequale est rectangulo sub eadem ordinata, & subtangente, atque adeo est duplum trianguli ejusdem basis , & altitudinis, quod ordinata, tangente . & subtangente comprehenditur, uti Clarissimus Auctor in hoc Theoremate nobis demonstrandum proposuit. i Sed & sequens Theorema octavum . videlicet, quddstatium duabus ordinatis interjectum aequale es rectangulosub- tangentis in disserentiam earumdem ordinatarum,utὶ insequenti figura patium e DFB aequatur rectangulo subtangenιιs FOira A . quod quidem cap. 4. num. q. satis ostensum est ... at-
120쪽
Theorem. Hugen. Cap. VIII. ros
atque ex iis , quae alias diximus, facilὸ ostendi potest, ex hac ipsa doctrina iterum ex abundanti demonstrari potest, quippe in figura paragraphi antecedentis, nedum totum spatium infinitum C A N B toti rectangulo N A G Ο probatur aequale , sed & ejus pars quaelidet N A a n parti correspondenti Aro G, ex subtangentibus curvae A a ad ipsam A r applicatis genitae, quae est rectangulum subtania gentis in disserentiam ordinatarum ; nec juvat amplius hic immorari . Ad solida tran