장음표시 사용
91쪽
ui premae ordinatarum, seu asymptoto hyperbolae in P, rectan gulum B k P aequari spatio hyperbolico kBrRA. est enim ree angulum B κ P ad kBF rectangulum hyperbolae inscriptum, ut illius basiis P h ad basim hujus k D , seu BF. hoe esl,ob similitudinem triangulorum, ut L B ad subtangentem Logisticae FO, indeque ex num. 6. ut hyperbolicum spatium A Rr Bh ad idem parallelogrammum FBk; aequalia igitur sunt rectangulum Bh P, & spatium hyperboli cum A R r B h: quod fuerat demonstrandum; sed & alibi generalius idem ostendemus, scilicet ea p. 3.nu a. s Cum vero ex cap .praeced. - . spatium hyperbolicum
k B R A ad quodvis aliud agi Losisticae parallelis resectum k i R A sit, ut L B ad k h, & dividendo spatium hyperboli- cum kBrk ad rRAh, ut sh ad hk, manifestum est, sum pia communi altitudine k P dictarum linearum in k P ductarum rectangula proportionari spatiis hyperbolicis corre L pondentibus, adedque rectansulum P h in kh. aequari spatioli r R A , Se rectangulum eiusdem P k in s h aequari spatio kBrk, &c. 6 Parallelae igitur mi Logisticar,trilineis N B H, n B li con
92쪽
EBS, rBs convexis, aut concavis, prout citra, vel ultra BparaIlelae ducuntur; etenim demonstratione Amm. 3. iterum
litis aequale rectangulo ex Ρk in Min, SN, vel sn; sed etiam spatium Bh AR, aut Bhk r aeouatur ex num praceae rectangulo ejusdem P k in M A , aut SH , vel fli ; igitur rectangulum ex Ph in residuam A vel HN, aut hnaequale erit trilineo hyperbolico R B M, aut r B S, &c. & ideblineae A CL, N H, nh axi Logisticae parallelae , ejusque
Va , & tangente conclusae, erunt ut re ee iva hyperbolica spatia supra de finita. Quod erat demonstrandum. et Aliis figuris similem comparationem suscipientibus, ut ordinatae unius proportionales sint spatiis abscisus alterius,apricari res eadem potest, quemadmoduin, tum hic, tum alibio cum habere possunt observationes, & corollaria similia his, quae num. 3. indicavimus; specialia verb problemata duo ex Iola figurae praemissae in Esione facillime sblves. Alterum rInter a lymptotos F D, D A, quarum illa sit axis, haec ordinata Logisticae ABh, hyperbolam ducere, quae Logisticam in aliquo puncto B tangat; vel dato in Logi stica puncto B, hy- seruolam nihilominus reperire, quae idem praestet : Ponatur F aequalis subtangenti FO: ordinata FB, & DA, fiat per B hyperbola inter asymptotos FD A; haec proculdubio Lo. gisticam tanget; squidem eadem ΟΒ , tum Logisticae , tum
Hyperbolae tangens communis erit; unde consequitur, quod,
si fingatur per aliud punctum B ducta hyperbola, occurret in alio puncto eidem Losisticae, supra B quidem, si FD major
fuerit lubtangente, infra vero si minor. Alterum est. Logisticae maximum parallelogrammum inseribere: ponatur D Fsubtansenti aequalis, & ordinetur F B : patet D F B maximum fore omnium, quae dato Logisticae spatio inscribi possint. parallelogrammorum; alias quidem parallelogramma eidem Logisticae spatio inscripta minora erunt, eb quod, ut illud Primum a Vent, extendenda sint usque ad perimetrum hyperbolae per B delariptae . quae tota ultra Logisticam cadit, utpote ipsam tangens ex nuper dictis : unde patet, cuivis alteri
93쪽
paralleIogrammo aliud aequale eidem Logisticae inseriptum exhiberi posse, ducta scilicet per punctum, ubi Logistieae oecurrit, Hyperbola, ouae in alio puncto Logisticam secans dabit punctum, ad quod inscribatur parallelogrammum aequale priori, eo qudd utraque spatio asymptotis, & hyperbolae interjecto inscribantur. 8 Leviuscula quidem hare, si per sese considerentur, at ratione methodi, quam generalem esse Lectorum sollertia percipiet , suo pretio non fraudabuntur: hine enim habebimus.
data ratione , quam habere debet subtangens M E figurae ABFIG ad ab seissam A Ε, dari & maximum parallelogramismum EB L ipsi inscriptibile, si nimirum in eadem data ratione fiat GE ad E A, ut G Ε, Ε M sint aequalia, tangens qui P-pe MBI erit & tangens hyperbolae CBU per B inter asyini totos AG, GH ductae, atque adeo quod vis aliud paralle-ogrammum G F D Κ datae figurae inscriptum minus erit parallelogrammo G F C, atque aded minus G Ε B, quod proinde maximum esse convincetur; εc E contra dato maximo
parallelogrammo G E B L figure ABHG inscripto dabitur ejus tangens, posita EG aequali Elis, quia quodvis aliud pa-
94쪽
rallelogrammum G F D cum sit minus ipso G E B, erit & minus GFC ducta per B inter easdem alvmptotos hyperbola
curvam DB D tanget; sed hyperbolam tangit recta MB, ergo & eurvam DBD propositam. Et quod de parallelogrammis maximis dictum est, assumpta hyperbola lineari, potest ad
maximos cylindros, aliave maxima facta ex gradibus coordinatarum EB, BL transferri, usurpatis alterius generis hyperbolis, quadratim, cubica, &c. in quibus facta ex homonymis coordinatarum gradibus sunt aequalia, eo quod quadra ta , aut cubi ordinatarum reciprocentur distantiis a centro, seu angulo asymptotali.
9 ou si earumdem infinitarum hyperbolarum, in quibus videlicet non simplices lineae B L, C , sed ipsarum quadrata, aut cubi, aliisve majores gradus sint in reciproca ratione distantiarum G N, GL, earumve, graduum quorunicumquz, tangentes ignorare te dicas: ne desponde animo, paucis, ad-Verte , docebo, & quidem ex hac ipsa, quam prae manibus habemus, methodo demonstrationem eruendo : exponens graduum, quos conssideramus in ordinatis B L, CN esto ae, graduum vero, qui considerantur in distantiis N G, GK esto I; ducta ex quolibet hyperbolae puncto B E asymptoto parallela, fiat G E ad E M, ut ae addi, juncta MB tanget; quia enim ut x ad I , ita G E ad Ε M, factum ex gradu G E, cujus eXPonens x, in gradum ΕM, cujus exponens F, maximum erit omnium similium factorum ex partibus lineae G M utcumq; divisae, uti ex maximorum, minimorumque methodo facile constat; quare & factum ex similibus gradibus GEB maximum erit omnium similium factorum ex lateribus parallelogrammi triangulo MIG ad aliud, quam B punctum in scri et i; vae igitur linea tangit figuram triangularem MIG in B sipum nempe latus MI tanget in eodem puncto hyperbolam
C B C ex iisdem gradibus coordinatarum constituta m. 3 o Jam ad institutum nostrum, unde paululum divertimus, Propius accedentes , quemadmodum in Logistica Hugenius Propos. l. 2. &hac, quam prae manibus habemus, sexta, varia ejus segmenta invicem comparavit; ita, ut in Logistica con-
95쪽
voluta, nempe Spirali Geometrica, idem nos praestemus, argumenti similitudo suadet. Primum igitur, iacui Logisticae spatia post quamlibet ordinatam in infinitum protensa sunt, ut
ipsae ordinatae ex dictis cap. 3. num. ita Spiralis geometricaes patia post quemlibet ejus radium in infinitum circa centrumper innumeras , sibique superimpositas circulationes continuata sunt inter se, ut quadrata eorumdem radiorum; intellecto enim spatio Spiralis Aa a C in triangula innumera , ut cap. l. num. I l. factum est, distributo, quae ex ibi dictis similia erunt, AC a, a Ca,&e. erunt singula inter se, ut homologora radiorum quadrata, quae continue proportionalia sunt, juxta curvae hujus naturam; itaque ut unum AC a ad unum a Ca, ita omnia spatio Aa Cinclusa ad omnia inclusa spatio a a C sunt quippe totidem hic, atq; ibi, utpote multitudinis utrobique infinitae nempe, ut quadratum AC ad quadratum a ita spatium, quod post A C intra dictam Spiralem convolvitur, ad spatium, quod post a C eadem Spirali concluditur. ii Hinc dividendo habetur, spatium AC a ei se ad infinite contortum post minorem radium C a, ut differcntia quadratorum A C, a C, seu Ct ad minoris a C, vel C l quadratum, hoc est, ducto arcu al, ut armillae portio FAIa adsectoremta C,
96쪽
Ia C, sicuti .-8. & in Tereio Theoremate Hugenii
demonstrando cap. q. num. s. ostendimus, in Logistica spatium duabus ordinatis interjectum esse ad infinite longum post minorem ipsarum protensum, uti est differentia ipsarum ordina tarum ad minorem ex ipsis; & veluti in primo Hugenii Theo- .remate cap. 3. demonstrato, spatia Logisticae ordinatis conclusa erant,ut extremarum ordinatarum disserentiae, ita in Spirali geometrica spatia quaelibet Aca, aca erunt inter se, ut differentiae quadratorum ab extremis radiis dicta spatia comis rehendentibus, sive ut circulares armillae FAI, lai illis ad.
ia Ttilineis verb a I A, sive ad invieem, sive eum residuis a A F, aut cum zonis F AI a comparandis inserviet generale
hoc Theorema. Si quaevis figura L H C, axe A L in punctum A contracto, illique parallela KC in areum CG aequabiliter curvata, transeat in Spiralem C EA, ordinatis H M, h min totidem ejus ramos, seu radios AE , Ae abeuntibus , &per angulum L Ae divaricatis, cujus mensura sit arcus Dd aequalis intervallo ordinatarum, nempe ipsi Mm, vel Nn. Dico Spirale spatium C EA fore ad circumscriptum sectore CG A, uti est conoides ex figura L HC circa axem L A ad circumscriptum cylindrum ex parallelogramo A K circa eumdem axem revoluto. Ducto pariter quovis arcu EB, aliisque lineis coordinatis, ut in figura, trilineum BC E fore ad cir-
97쪽
eumscriptam zonam B C D Ε . uti est annulus ex H C B eitea
axem revoluto ad tubum cylindricum ex circumscripto parab. Ielogrammo HNC B circa eumdem axem, ac dividendo,triis
lineum BEC ad C ED esse, ut sunt annuli ex ipsis HB C. VCN citca axem revolutis, duodlibet etiam trilineu BEC ad aliud he C, aut CED ad aliud Ced esse, ut sunt annuli
portiones quoque B Eeb. sive ad aliam beeb, sive ad trilineum quodvis BC E esse,ut respessive inter se sunt annuli ex UBbn,hbbh, aut H B C citra ipsummet axem L A. Lon- ior est propositio, quam demonstratio. Areus enim BE ad F est , ut C D ad C G. scilicet ex constructione. ut C Nad C Κ, vel BH ad BI , nempe ut cylindrica superficies,
quae in conoide ex linea B H, ad cylindricam superficiem, quae in cylindro per lineam BI circa axem revoluta producitur ἐ&hoc semper. sive lineas majustulis litteris . sive minusculis notatas inter se compares; sunt autem tum a reus B F, in sectore concentrici, tum cylindricae omnes superficies ex BI, concentricae in cylindro, proportionales , quippe in eadς ratione distantiarum a centro A. vel axe A L. ergo eXOm mate 29. Torricellii dedimensione parabolae . omneS arcus concentrici in sectore ad omnes concentriis in spatio Spirali erunt,ut sunt omnes superficies cylindricae in cylindro ad omnes cylindricas superficies in colloide; unde dc dividendo, A
98쪽
proportionales partes comparando, habebitur veritas I heorematis propoli ti.
3 Quandoquidem ob aequalitatem arcus CG cum axe silurae L A, ducta subtenta L C, erit triangulum L AC aequae lectori C G A, atque adeo erit ad Spirale spatium in eadem
ratione , in qua cylindrus conoidi circumscriptus ad ipsam conoidem , hinc figura quaelibet evoluta ad convoluram rationem habebit compolitam ex ratione tui ad triagulum aeque altum in eadem basi, & ex ratione circumscripti cylindri ad cono idem ex ejus revolutione circa axem genitam. Cum Spiralis Archimedea, ob aequabilitatem motuum, quibus com-ἶonitur, habeat radios pio portionales ordinatis in triangulo ali parallelis, Indeque fiat convolutione trianguli axem hahentis parem arcui sectoris circumscripti, fit inde, spatium spirale trientem esse circumscripti sectoris, quemadmodum coinnus ex trianguIo triens est cirsum scripti cylindri ; & cum secunda Spiralis quadratica fiat convolutione parabolae , cujus ad inscriptum triangulum ratio est sesquitertia, cylindri verbcircumscribentis conoidem ab ipsa genitam ratio est dupla,
ideli spirale spatium quadraticum erit semissis circumscripti sectoris, habebit verb parabola, ex qua signitur, ad se ipsam
in tale lpatium convolutam,rationem compositam ex sesquitertia, &dupIa, idest quam 2 ad 3. δι sic deinceps applicationem prosequere mi Lector. i Ego ad Spiralem Geometricam revertor, inqua, utpote ex convolutione Logisticae genita, jam scies Tri linea,initionum. I ab recensita,eam inter se rationem habitura, quam annuli ex correspondentibus Logi ilicae eortionibus trilinearibus circa axem revolutis, sive inter se, sive cum tubis cylindricis illos circumscribentibus comparatis, ubi geometricae Spiralis trilinea cum zonis circularibus illa includuntibus conserantur;
quomodo autem illi annuli ex Losisticae portionibus geniti
notam habent quantitatem, noni illi perspecta solidorum, quae px Logillica circa axem revoluta. producuntur , mentura , ostendi potest ; de qua re in nono Theoremate cum Hugenio, agendum erit, idelique ex dicendis cap. 9. Num. Io.
99쪽
Scpthvam Theorema pridem ostensium, ut nova demon- , Iratione sulciatur, ostendi ur, spatio a qualibet cumva contevlo quo ad totum , ct quo ad partes aequale aliηm ex sMMangentibus ad curva puncta applicatis , vel ad respectiva puncta basis: item ducta per quodvis punctum tangentibus parallelainccurrente str-dinatis , puncta intersectionum esse in curva, quAE cum
priori comprehendet sipatium Frimaefigura duplum, adeoque exm ejus basi s ni hanc nova carvassecet , ac congruo loco pauctum acceptum H J spatium primo
aqvale. Eadem ostera duae ejusmodi curva describum tur. Eadem doctrina comersim accepta inventioni laetentiam de servire poterit. Dimentio figurae stervormam , ct perpendiculam descriptae ; Spalii Cycloidis, obiter ejus tangente determinata , dimensio, variorumque segmentorum proportio. Segmenta ejusdem quadrabilia. Cisseivilis spatii, ejusque segme torum mensura. Spatium ὰ Tractoria , ct ejus axe ivterceptum aequale quadranti radio suae tangentis δε- scripto . Infinitaram parabolarum , bperbolarum quoque in itarum specierum , spiralium item cujus, vis generis , etiam Geometricae dime o expeditur. Septimi Theorematis Hugeniani demonstralis ex bas' doctrina eruitvir. Octavum quoque Theorema pridem ostensam hine novam demonstrationem assumit. 3 Ad
100쪽
a A D septimum Theorema gradum facimus. Illud Huge. lx nius his verbis proponit: Spatium infinitum inter oridinarum, Lusicam, , ae proton, qua parte M ad invicem accedum, duplum es trianguli comprehens ordinata, raugente ad idem ordinatae punctum, Osubtangente. Sc iv eadem Aguras rium infinitum post ordinatam B F duplum es ιrianguli B EO.
iod quidem ex dictis cap 4. num 6. evidenter deducitur, rein elangulum enim subtangentis, leu parametri Fo in ordinatam BF, quod loco citato oliunium est spatio infinito post B F exporrecto aequale , utique duplum est trianguIi B F Ο eiusdem basiis, & altitudinis; sed aliam nihilominus demonstrationem adjiciemus ad pleniorem scientiam, & methodi umrietatem , aliis detegendis veritatibus inservientem, uti ex his, ruae speciminum loco subjungemus , prudens Lector agn cul; Vix certE figura ulla notae hactenus descriptionis est, cujus dimensio ex fonte jam aperiendo non elegantissimi pro manet: imb & infinitorum solidorum mensura hinc eluei potest, ut patebit capite sequenti nu. 7. & distantia centri