장음표시 사용
81쪽
tim ad tangentem, qtrae serὰ coineidit cinia rei minata ad r--hv in S) erit parallelograminins Κ P ad spatium o Pint, ut F U M P R. mod etsi demonstrandom Ssem rideatur audii et Us promedem is de monstrationis proceli us, simulque infirmior, quam ut assensum extorqueat, Is demonstratione apagogica utatur, per me licet, imb ut huic& ii milibus applicare discat, jecimen hie dabo. Fingat ubi luis minorem esse, si fieri possit, a Itelutram dictarumnum, verbi gratia ratio G T ad pR minor esto ratione ΚΡad spatium o PQ R, itaui isti adhelenda laret ratio alia majoris inaequalitatis. quae sit iniex e , ει d, ad hoc ut huic alteri rationi aequalis evad- . Gim itaque ratio P R ad H S sut
82쪽
posteriorem, hoc est TR ad RH, vel ΚP-rectangulum o PF, adhuc minor, quam sit ratio ejusdem K P ad Uatium N P ; quod est impossibile, seret enim rectanguIum o P F ma-. jus spatio N FPO; cui in scri bitur si vero dicatur e contra iratio. Κ P Ad spatium O Q minor altera ratione T G ad P R.
parabolicum cubicum, & sic de aliis tum pes abolarum speciebus, tum curvarum generibus ; quocirca eamdem demonstrationem iis applicare potes, aut universalius ipsum Lemma concipere sic. In qualibet curva-S, cujus ordinatae Ρ R.
FS siumpto F Dro axe )lint in eadem ratione cum spatiis POR , FN RQ per easdem ordinatas ab sciliis ex figura N RQ F eidem axi applicata, erit subtangens GT ad PR, ut rectangulum , seu parali elogrammum O PB ad spatium GPQR, & conversim, si ut illud parallelogrammum ad hoc
spatium, ita suerit Id , i u B T ad T G , juncta G R et it
tangens; nec refert C; μ ne , An convexa sint spatia, quae comparanda sunt, e dem quippe fabrio semper militat, aut parum
certe immutata. hinc aliam sal se tanguntium ducendi me.
thodum , alia 'ἡς.& alias velftates per te prudens Lector extundere poteris iled quod Majori in pretio habendum est hine disces Veterum, & Recentiorum Geometrarum propo- . et sitio ara Vpi' sidimu r ddece , site me' , Mi P Priera-
83쪽
tes, quas specialiter de quadam si gura demonstrant ex pee Iiari eius auectione pendeant, an vero ex communi pluribus Sy inplomate deriventur. Atque id revera est facere Universale,quod adeli depnedicant Metaphitici,& am per intelli: et una, an verb, ut barbare Boui solent, etiam a parte rei dari possit, exauirunt. Quod quiae mr is integre decidendum relinquerni Lector, atque ab ea sollicitudine bonas horas aliis utilioribus studiis debitas redimere satage . spondeo enim,aliquot saeculorurn myriadibus antequam illi conveniant ι & - tot tricarum apparatu expiscari contendunt in aperio ponant s uti hactenus certEincassum laborasse video, nec a tot saeculis, vellatum unguem profectise, aut aliquam saltem inde utilitatem in Philosophieis: aut Theologieis rebus inde sibi, aliisve exculpsilla, plus nimib expertus agnovi innumerabiles, at- e utillimas veritates geometricas invetorum per iliud, quod superius descripsi, Geometricum Universale, ejusdemq; appli - rationem ad muhiplices figurarum species , quas aut Gometria ministrat, aut sibi facile unusquisque fin ere poterit . . . 9 Nee interea omittendum, quod spirali Geometricae rursus quid si aula contingit, quod ipsi Logistieae,sub angens enim CB prioris radii AC est ad quemvis arcum AF , aut A L
84쪽
ur parallelogrammum hyperbolae inscriptum K A C ad spatiucorrespondens Mi A Κ, aut m i A Κ, quod, tum eadem methodo probari potest, tum & de se patet, quum ex dictis eo. Praeced. num. ro. Prima subtangens C B sit eadem, quae erat sub- tangens Logisticae, ex cujus convolutione, juxta diei, cap. l. num. 32. Geometrica Spiralis gignitur , ordinatis in radios commeantibus, & axis portionibus, ejusve parallelis in arcus curvatis, ac propterea eadeni erit ipsius CD ad arcum A Pratio, quae prius erat subtangent is ad parem axis portionem, ejusve parallelam, adelique eadem, quae paraIlelograna mi Praedicti ad assignatum hyperbolicum spatium. io Exinde autem habetur, quod spatia ilIa hyperbolica,aut
Dictores iis aequaIes, de quibus s. in ea semper ratione erun ad correspondentes circulares sectores, in qua minima
ordinatarum .atii hyperbolici AK ad semissem subtangentis CB; etenim siAK supponaturaequalis dictae subtangenti CB , erit ut rectangulum Κ AC ad spatium hyperbolicum K AlM quod sumi poterit latitudinis Al infinite parvae, ut fere coincruat cum inscripto rectangulo ΚAI J idest ut C A ad A l, ita ipsa Κ A, vel ipsa C B ad arcum A F, ex numero superiori; rectangulum igitur Κ A I . seu spatium ipsum hyperbolicum MI A K erit aequale rectanguis radii C A in arcum AF, hoc est duplum serioris A CF; Simque ex dictis
num. s. & alii sem res aliis spatiis in eadent sint ratione, singu .
la spatia Κ λ M, K A i in , aut hyperbolici sectores Κ C M,
Κ C m . dupIi erunt respondentium sectorum circuIarium AC F, ACt; &si AK aequalis fuerit seniissi CB, erunt dicta spatia. Sc sectores hyperbolici ad circulares sectores in ratione aequalitatis; si quis autem obrepserit scrupulias circa hane demonstrationem, remedio numeri septimi ritE applicato a.
moliendus erit.' Nota , demonstrationem bonin numerorum 9. Φ appellare figuram, Diagrammatis appositi proximo num. 9. in adversa pagina -
85쪽
iii Jamo idendum est, quddiinrallelogranimumptotis, de Hyperbolae isscriptum est ad spatium hyperbolicum, cujus exaremaeordinatae dirutam proportionem serventi proxime ut io ad 7. Esto ALBE quadratum hypeiholico spatio, quod hyperbola AG. asymptotis L B F eontinetur,. inscriptum ; & sumpta F Ε aequali ipsi EB. oldinetur FG: erunt ordinatae AE. FG in rationedupla. Dieo quadratum E L ad spatium AH GFE adeoque & quodvis paralleloi grammum hyperbolae inscriptum ad spatium ordinatis rationis duplae interjectum es Ie proxime, ut io ad 7. dum enim diametro B A, di juncta A F s quae tangens erit a quoniam extensa ad alteram asymptoton birariam secareturan A. prout BF bifariam secaretur m Ε ) dumque GD, & HlUNΚasymptoto B F parallelis; quoniam rectangula A L B. 1 I Κ Baequalia sunt , & communi ablato BEC i ualia remanent ECH, KC A, erit HC ad C A, vel CI sob angulum E RE .semirectum) ut ΚC, seu E A ad EC, &Mi videndo. H Ι .ad CI, vel C A, ut C A ad C E; cum igitur sint E C, C A. I Hcontinue proportionales, erit tertia III aequalis quadrato secundae C A diviso m primam C. E ; itaque ii EA dicat uti qualis ab , & quaelibet portio AG dicatur e , erit HI aequalis ala ; intellii tur ergo A B in ioo. aequales Particulas di
s Suppis in Diagrammate lineam FG iis A E paral - . iam, et dente Fatis buperbolisvm.
86쪽
vidi, murum AD erit so. Aia ab Alan amar per ordinent 3.a, 3, die. Duis di pactieula m . dc calculo exprimam tot lineae in trilineo AMG res pon es. prout Hl corte.*otulet ipsi AC, in ruetur rurestrio m , usque ad haec enim est expositio universalis expressonis suprapositae E pro diverso valore ipsius ς; idest rectae illae, velut IH , in trilineo AMG parallelae . & ad centesiimas quaslibet ipsius AE partes apisicatae , erunt per ordinem: , a , a, &ς. usque ad N , quod aequatur ipsi MG so
ejusmodi particularum . Summa igitur harum omnium fractionum designabit proximum vatorem, seu quantitatem trilinei AMG, respeetu quadrati AKB, quod est in hac suppositione roo- ; porro illae fractiones ad minimos terminos redactae, & simul additae dant circiter roo ut experiri unusquisque poterit, si satis otii, dc patientiae habuerit ad calculi laborem ferendum triangulum verti ADM aequatur dimidio quadrati AD, scilicet so ducto in as, quod est raso& parallelogrammum G D E F, quadrati A E subdupIum, ei gooo , igitur summaex trilineo . triangulo.¶llmogrammo, nempe spatium hyperbolicum A GF L est 69so, ut ex hac sormula Patet . Trilineum AMG 7 Triangulum A D M raso Parallelogrammiun GDEF sooo
Summa, spatium G A E F 6pso Proportio itaque spatii A G F E ad quadratum A E B L est
quae 693o ad. rooo , seu ,. dividendo virmbique Per Io, ut 339 aa aco , quae est cinciter . 4 M aco. aut subdividendo per ao, ut 7 ad io: & hoc fuerat demonstrandum.
87쪽
ra Iam V.Theorem. Hugenii demonstrationε sie expedi o. Sit A D dupla D Κ, seu F B ordinatae ad Logisticli A B h ; erit FD intercepta axis inter ordinatas duplae proportionis; oste dendum eii F Ο subtangentem , seu parametruin Logisticae esse ad FD, vel BΚ proxime , ut 33 ad p. Jam ex . dictis erum. 6. - est FO ad ΒΚ, vel DF, ut parallelogrammum ia- scriptum hyperbolae ad congruum spatium hyperbolicum . quod in hoc casu si intelligatur super AD descriptum, &ordinatis ex A, & Κ definitum terminabitur ordinatis duplae proportionis , propter AD duplam DK ; sed illud parallelogrammum ad tale spatium hyperbolicum e praecedenti numero est proxime, ut io ad 7 , ergo & O F ad DF , vel ΒΚ erit proxime in eadem ratione io ad 7. aut utrobique per i 3 multiplicando, ut i 3o ad 9t, quod proximum est rationi a 3o ad m, hoc est i 3 ad p. Ratio igitur subtangentis stdaxis portionem interceptam ordinatis duplae rationis proxime est, ut i 3 ad 9, uti Hugenius in hoc Theoremate proposuerati CA
88쪽
Sextum Theorema proponitur , se universalius demonstratur. Spatia Logistica in data ratione dividere; Cavum trilineum convexo aequale; rectangula spatiis Legisticis aequalia . Item spatiis h erbolicis. Ordinatae in trilineo Logisticae,axiparallelae, convexis, O cavis buperbolae segmentis proportionales. Eadem aliis figuris applicare. mperbolam ducere , quae datam Lusicam, vel in dato puncto contingat. Maximum parallelograminum Lusicae inscribere, O duo utrin. que aequalia determinare. Data cujusvis figurae tangente maximum illi parallelogrammum inscribere, O contra. Idem circa alia maxima praestare per aliasbperbolas. Infinitarum Θperbolaruin tangentes. Spiralis geometricae spatia inter se , Ocumsuis partibus comparantur. cujusvis convolutae figurae, ejusve par tium ad eircumscriptum sectorem, 9 ejus zonas pro- . portio eadem, quae Conoidis ab evoluta figura, ejusve partium ad circumscriptum Osin ruin, ct tubos Osindricos . Evolutae ad convolutam ratio, quibus composta. Exempla tu Spiralibus . Geogetricae Spirali δε-ctrina applicatur.
i DRoposuit in Sexto Theoremate Hugenius, quod ,.si u 1 ris ι tres ordinatae, velut in hac figura sunt D, HG .
S F,-expuncto curvae ad minimam per Ilveute ducatur QTmptoto parallela secans duas alias ordinatas iv 'It, cir ac ιam
89쪽
BBR sum inter se, ut partes ordinatarum inter curvam, O tangentem, ides, M ΗΝ. Quod quidem ferε eum secundo Theoremate con incidit, potestque ex rat p. q. num. q. dictis demonstrari, ut patebit, applicando demonstrationem lineae gh minusculis litteris expressae,secanti tangentem in n. axi parallelam per B ductam in t ; patebit enim interceptas tangenti, & Logisticae curvae, ordinatis parallelas, sive infra, sive supra punctum contactus est e, ut spatia comprehensa iiDdem ordinatis, Logisticae curva, Sc axi parallela per contactum ducta, ad ebque secundum, & sextum Theorema in unum con
3 Sic igitur argui poterit. Cum sit OF ad FB , ut ΒΚ ad K a , orit o F in K Q quale F B Κ rectangulo; sed F Ο in B M, seu in totam ΚA aequatur toti spatio DAB F per cap. 4. num. 3. igitur F Ο in residuam Q A aequatur residuo spatio Κ AB: eodem modo ostendetur OF in R N, seu r naequale rectangulo FBR, FBr; adelique eum sit HGFB. h g F B, aequale F o in B S , seu H R, vel h r , erit spatium R B H, r B h. aequale Fo in N H , n h ιε adelique trilineum A Κ B ad H R G, seu h r B, erit, ut A Q ad N H , seu n h , quae sunt bases rectangulorum sub communi altitudine tu,
90쪽
tangentis Fo illis spatiis aequalium. Et hoc fuerat demon
3 Hine Deile erit quaevis Logisticae spatia, sive concava, sive convexa per ordinatas in data ratione dividere; specialiter autem hine inferre juvat, qubd si ex quovis puncto H Logisticae ducatur tangenti O N parallela occurrens curvae ultra co- tactum inh finge ductam, licet in Schemate deficiat) erit portio Logisticae concava H R B aequalis convexae h r B, propter aequales HN. h n, iis parallelis interceptas; imb addito utrinque isatio B H S. cum rereingulo S B r , inferes rectans tum H R r aequale esse spatio Logisticae, curva H h, ipsaee S ad he extensa, intercepto; indeque rectangulum G Re aequale residuo spatio G Huli g, aequale proinde&rectanguis Io ex OF subtansente in RH cum r h, seu in s S . ade ;OF ad G g se hadere, ut G R, seu BF ads S; sed nimium minutis detineor. 4 Expendere potius iuvabit', quibus spatiis proportionales sint lineae in trilineo N B H, aut n B b, parallelae, non quidem ordinatis, sed ipsimet avi. Inter asymptotos AD, DF dueatur per ipsum punctum B Logisticae hyperbola r B r r R; ante omnia ostendendum est, tangente Logisticae OB occurrente Κ a s