장음표시 사용
71쪽
puncta igitur E semper sunt sura Duncta a Conehoidis , ut
igitur observat verus Geometra in Recreatione Geometrica, quae linea recta tanget curvam Ε Β Ε, eadem tanget Conchoidem a B a, propter angulum eontingentiae semper indivisibilem, minoremque sui dici solet J quovis ansulo rectilineo; iam verb ostendemus eurvam ΕΒΕ esse hyperbolam intra asymptotos H N O , ejuso'e tangentem esse ipsam B ine On-. venientem cum regula in H; quia ducta PS resulae parallela occurrente tangenti M S in S, ob triangula similia D BC, PMS, quorum latera BD, P M sunt aequalia, ae uales etiam
erunt bales D C, PS, unde j tincta SC aequidi stabit ipsi D M; quare C N ad N S erit, ut D N ad N M, seu ut P S ad S M, vel C B, adeoque rectangulum N C B aequale erit ipsi N S P; eodem modo ducta ER ipsi BC parallela ollendetur juncta SR aequidi stare ipsi nis, ad elique N RE aequale esse eidem N S P; aequalia igitur cum sint rectangula N U B, N R E curva ΕΒΕ erit hyperbola intra angulum H N ; cumque iit N C ad C D , ut M B , seu P D illi aequalis ad B D, idest. extensa IK ad BC in L) ut BL ad L C, seu lK ad KL, nempe C in f aequalis ex constructione ipsi IKJ ad excelsum/DB supra Coe, aut denique ut CH ad eamdem CD, erit N C ipsi C H aequalis; ergo H QB hyperbolam in B tangit,&consequenter Conchoidem : quod nobis propositum erat
13 Jam tandem, ut promissam Thoorematis IV. Hi geniani demonstrationem ex ea , quam proposuimus , C: ethodo
72쪽
absolvamus; si in Logistica fiat, ut velocitas puncti A illam describentis, iuxta genesim cap. t. nus'. s. indicatam,ad aequabilem velocitatem lineae Λ B per axem delatae, ita A B ad B constat ex dictis 1-m. 3. atque hactenus abundε illustratis,junctam Ao esse tangentem ; similiter si fiat,ut eadem aequabilis velocitas ad velocitatem puncti fluentis in V, ita a C ad C Rjuncta Vianget; habebit igitur velocitas in A ad veloeitatem in V rationem compositam ex A B ad Bo . & ex ad C U. sive erit, ut A B in C Quad B o in C V; sed eaedem velocitates ex dictis tum cap. I. vum. 3. tum indicatis hie n. 6. sint etiam ut B A ad CV, omnes qui pee ordinatarum aequo intervallo distantium disserentiae sunt iplis totis ordinatis proportionales, igitur AB in C Iid BD in CU est ut AB ad CV, quare subtangentes B C in sunt aequales. oderat
ii Hinc obiter colligere possumus , quod si parabola, cujus parameter dupla fuerit parametri Logisticae , circa eumdem axem constituta fuerit, aut juxta ipsum axem flue-II re Diuitigod by Cooste
73쪽
re concipiatur, in quovis situ alteram altera ad rectos angulos secabit, puta parabola V F, cujus parameter dupla sit sub- tangentis Ia gisticae Gin, & ad communem cum Usa axem constituta, aut juxta ipsum fluens, utraque se intersecante in puncto F, aut f. angulus curvarum V F A , aut v fA semper erit risus; Cum enim intercepta G inter ordinatam.& Q P perpendicularem parabolae, sit dimidia suae parametri, demsistrante id Vero Geometra in Clariss de Max.& Min. op. erit in hoc casu aequalis subtangenti Logisticae; ergo cuian. gens Logisti eae, idest ipsam et curva A F erit perpendicesaris parabolae V F, & e contra tangens E F parabolae, seu ipsa curva parabolica V F erit perpendicularis tangenti Logisticae a F, seu curvae AF in puncto quovis sibi occurrant.
74쪽
Iumtum Theorema proponitur , quod ut demonstretur , ostenditur . bperbolica spatia parallelis toto
bet eam inter se rationem habere, quam extremarum
ordinatarum rationes. Axi Logisticae parallelae inter se 'ut, ut operbolica spatia iis respondentia. In Geometrica Spirali,arcus,'sectores circulares ejus ramis interiecti,proportionantur spatiis,'fectoribus Θperbolicis respondentibus. Subtangens Lusi- eae ad quamvis axi parallelam est , ut parallelogrammum bperbolae inscriptum ad spatiam h perbolicum. Demon Irandi modus a scrupulis vindieatur. Proposito universalior redditur. 9uid sit facere Universale Prima Geoinetricae Spiralis subtangens est ad arcus circulares , ut Θperbolae parallelogrammum ad hyperbolica spatia. Spatia hyperbolica , aut secto. res h perbolici in ea seunt ratione ad circulares sectores correspondentes, in qua minima ordinatarum h eris - bolet ad semissem subtauentis Logistica. Parallelogrammam bperbolae inscriptum ad patium ordinatis duplae proportionis interjectam est proximὸ,vi Io. 7.ίuiuii Neorematis Hugenii dewonstratio. ii T Ongius in praecedenti capite progressi fuimus, quὲm ab initio sperabamus: habenae ideo contrahendae in praeis senti, in quo Sintum Hugenii Theorema nobis dcmonstrandum proponimus. Haec longitudo, inquit de subtangente,
75쪽
approximatiovem reperitur, sque adpartem comptoti interjeciam ordinatis proportionis dupis, u3 43 a9 εου PQ3as , 8 43oio 3999366398ι 19s, Improxime, ut Quia tamen infiniti pene laboris, ac tedii esset Iongissimos hos Hugenii numeros persequi, neque ad manum Tabulae Logarithmicae ad tam multiplices notas extensae occurrunt, quibus veruina Ie es usum Hugenium ad ejusmodi calculum expediendum, ideo eumdem lapidem alia methodo movere aggrediae , majo-tique tum compendio, tum emolumento, vel ad hanc ipsam, vel ad aliam huic propinquam dictarum linearum Proportionem intelligendam Lethorum mentes disponam.
a Praemittendum igitur, quod Hyperbolae, &Asymptoto
aliterjecti s tia, alteri asymptoto parallelis proportionalibus terminata, invicem aequalia sunt; id quidem Gregorius a S. Vincentio Magnus superioris saeculi Geometra, suaeque Societatis Lumen Amplissimum, primus, quod sciam, Ostendit,quia
tamen nec mihi, nec plerisque fortassὰ Lectorum meorum, erus Codex ad manus est, placet demonst pationem laanzco Innare.
t M. Schem. aiymptotis A B Q interjecta hyperbola D E R,aqgnenturq;spatia D C N F. Κ LQR definita extremis tineis DC , FN, & KL, QR alteri asymptoto parallelis,
invicem vero proportionalibus. Dico ejusmodi syatia invicem aequalia esse ; ex natura siquidem hyperbolae erunt et iam BC, BN, B L, BQ proportionales,. utpote iisdem Paral-Iulis recipioce respondentes; earumque disserentiae C N. Lhomologis rerminis BC, B L, aut L Κ, CD itidem proportionales . ordinetur ergo ad C N ipsa CG aequalis Lia, &ipsa NI aequalis QR, atque inter duas CB, BN . 1 umpta media proportionali B M, ordinetur M Ε; similiter inter cluas UL, BQ sumpta media B ordinetur OP, cui aequalis ponarur M H ; atque ita porr5 sumptis aliis intermediis inter
ordinatae ad extrema talium mediarum in spatio Κ L QR tra-sferantur, & applicentur extremis dictarum mediarum in I iisnea CN existentium , quoadusque fiat spatium C GH I N. cujus ordinatae sunt aequales ordinatis spatii Κ Lait, sed applicatae ad partes altitudinis UN proportionales Partibus al-bν Goc li
76쪽
titudinis L Q nec enim dubium, quin N M ad MC sit, ne ad O utpote differentiae trium continue Proportionis. sum eiusde utrobiq; rationis; sexissente scilicet N B ad B M.ut B M ad BC, dividendo est N M ad M B , ut M C ad C B, & alternando N M ad M C. ut M B ad C B, aut o B ad L Ridest, eadem ratione, ut QO ad O L) idemq; de aliis intermediis dicendum. Iam sic: spatium D CN F ad KL QR rationem habet composita ex DCN F ad CGIN,&ex CG IN ad KL QR. Sed prima ratio eadem est,quae DC ad CG, vel KL caeterae enim ordinatae EM, & MH, seu Po; FN, MN l. seu QR, aliaeque intermediae eamdem perperubratione observant secunda autem ratio eade est, quae altitudinis CN ad Lu per demonstrata prop. r. append. nostrae Probi. Viis
vian. hoc est, ex supra dictis, eade, quae ejusdem L K ad CD; igitur ratio 'alii DCNF ad KLΘ componitur ex DC ad L Κ, & LΚ ast ipsam DC, scilicet est ratio aequalitatis.
Quod erat demonstrandum. 3 Hinc facillime deducitur, spatia quaevis hyperbosae , &asymptoto interiecta , lineisque alteri asymptoto parallelis concluta esse adinvicem, ut sunt rationes extremarum indinacaLum , quibus concluduntur ; spatia nimirum CDF
77쪽
O PQR,Ag. a. ita comparata sint, ut ratio CD ad N Fariti l non sit rationi OP ad QR, ted in alia quavis propoma,
ne, puta altera alterius triplicata, aut duplicata, vel lelquiarulerata, &e. erit pariter alterum spatiuin alterius triplum. clu-plum, aut sesqui rerum, sumpto cnun rationis CD ad FN Zovis multiplici putaratione GH ad N F triplicata ipsius ad N F idest ipsis FB, DB, sumptis aliis duabus conistinuὸ proportionalibus ΚΒ, HB, erectisque ordinatis Κ L. HG , constat spatium GNFH aeque multiplex sore spatii C D F N s ob singula spatia G Κ , L D ipsi C F aequalia ex num praeced. quippe lineis proportionalibus terminata j Similiter rationis OP ad QR sumpta quavis multiplici. puta duplicata EM ad QR idest ipsis D, PB sumpta tertia Proportionali B M, atq; erecta M K patet spatium E Raeque multiplex, scilicet duplum sore spatii o PQR,.quandoquidem EP aequabitur ex num praeced. ipli Oin Sod si ratio GH ad N F aequalis foret rationi EM ad QA, spatium quoque GII FN aequaretur spatio EM QR, si illa maiyr, & hoc majus, si ratio minor, & spatium minus s ut paritet , aut aperte duducitur exo itaque, ex nota Pr0
78쪽
portionathim definitione Euclide rit ratio linearum C D, &N F ad rationem linearum OP. & QR. ut spatium prioribus edelusum CD N F ad spatia posterioribus interjectu o P QR. Quod erat demonstrandum. 4 Unde aperte colligitur, quod, si ordinatae Logisticae adhaereat praemissa figura nyperbolica linea NOR, atque asymptotis Bin ΒΛ interjecta, quarum illa ordinata, haec axiS Logisticae fuerit, producanturque ipse N F. OP ad rasisticam in S, R, erit spatium hyperbolicum N R in ad otiuo Ra P, ut axi Logisticae parallelae. FS, &Pit, cum enim
dicta ibatia sint ad invicem, ut rationes inter FN QI, &inter o P. QR intercedentes, ut praeced. ostensum est, sive ut rationes inter B & BF. vel V S, & inter QP, ac BP. seu TR intercedentes, quae quidem rationes ex dictis cap. r. num. 3. sunt, ut portiones axis iisdem ordinatis imterceptae , VB, T B, seu S F. R P. etiam dicta spatia Hyperbolica NFQR. OP QB erunt, lineae S F, PR. -'derat demonstrandum.
79쪽
s ' Simile quidpiam accidit Spirali geometrieae A a a, in qm arcus, aut semores per radios seiralis abscissi, veluti A F, A caut A C F, A C f sunt,' 3. b. m.ut hyperbolica spatia ΑΙ MK, Aim K comprenensa portionibus AI, di ni asym-
toti AC, quibus differentiae extremorum ramorum a F, a flint aequales t sunt enim IA, i a Meus coneentrici ipsi A F fl& alteri asymptoto CG parallelis, curvaque hyperbolica iis intercepta; etenim arcus illi A F, A f, δι consequenter & Ω-ctores ACF, AC s iis respondentes, ex dictis cap. -nu. sunt,ut rationes radiorum Spiralis AC, a C, seu AC,&CI, AC, &Ci, in qua pariter sunt dicta spatia hyperbolica; m-que ductis ex centro C rectis CK, C M, Cm s debent enimnae lineae in centrum convergere , utut in Schemate, vitio Seulptoris,exorbitent sector MCK ipsi spatio ΚAIM . §or mCK spatio mi AK sit aequalis sab aequalibus quippe triangulis KCA, MCI ablato communi CLI , additoque utrique residuo MLΚ res est perspieua habebimus lectores hyperbolicos in eadem ratione sectoribus circuli ordinatim respondentes , erit enim MCK ad mCK , vel ad
80쪽
ε Colligi interea ex supra dictis poteu, quia labrangens,
seu parameter Logisticie eit ad quamvis axi parallelam, ut parallelogrammum hyperbolae inlcriptum ad congruum isatium
hyperbolicum, scilicet ad punctuin R Logisticae ducta tangente R G, erit GT ad RP, ut parallelogrammum ΚΟ PB
ad spatium o PQR; sumatur enim tangentis portici RSi finitE parva, ita ut ducta parallela ordinatae SV, paralleIa axi SHN oecurrente hyperbolae in N, tumissa tangens RSA-rE coincidat eum curva R S ; necnon H S , ut terminata ad eurvam fere aequalis sit eidem, ut terminatae ad tangentem; idest habeat ad ipsam rationem propiorem aequalitati, quam quaelibet data majoris inaequalitatis ratio quantumlibet parva, reum etiam hyperbolicum 'arium N FPO fera cum rectangulo o PF eoincidat, seu illud excedat minori excessu qu libet dato: constat ex nu. 4. & dividendo fore spatium N F P Ο
ad O PQR I ut HS ad PR, & sumptis antecedentium aeque Proportionalibus, parallelogrammo Κ P . & linea TG est enim K P ad O PF ferhexm spatio PN coincidens, ut BP ad PE, seu TR ad RH, vel TG ad HS , prout termina-