장음표시 사용
141쪽
Hos quippe multiplicando per habes
ubi, remotis contradictoriὸ oppositis, habetur a3 - .h3 &e. Idem fere contingir , ubi poecitatum paris gradus lumma. vel imparis gradus dimirentia dividitur per summam radi- eum ; niti qubd signa tunc lunt alternanda . ut G - M 2M ---. 2M &c. in infinitum.
142쪽
Non dissimili ratioeinio demonstrare soIeo extractionem radicis Neatoniano modo per series infinitas. Puta θυ---s quae est expressio generalis ordinatarum ad rectum hyperbole latus, cxlitentea semitransverso, & x distantia a centro vel . - xx quae exprimit ordinatam quadrantis circuli, cujus radius a, distantia ordinatae a centrox sic enim series ordinari solet M a 3x' - rs α os x &c. aa 8a3 43M 38 a 38 o a' ubi signum et valet in hyperbola, - in circulo, numeri autem, qui Post tertium terminum assiciunt numeratores, sunt Per ordinem 3. 3x s. 3xsx7. 8cc. qui verb assiciunt denominatores, incipiendo a secundo termino, sunt a. a X .ax X6. a x x6x8.&e. orti scilicet, illi quidem ex mutua multiplicatione omnium imparium , hi verb ex multiplicatione mutua omnium parium numerorum per ordinem di Ositorum. Demonstratur, inquam, id ita esse, quia si iIIa series ducatur in seipsam, singulis ejus terminis in singulos multipli- ejusdem: nam ducatur illa series an a fiet aa aerar .ae &αa 8aa 48 a in et2 fiet απας - Η π α' &α
143쪽
6 Ad propositum nostrum redeuntes,doctrinam tum. 3. adductam, alteri Theorematis decimi demonstrationi sic applicabimus: esto Logistica B VI, tansens ad B ipsa Bo, sub- tangens OF , cujus particula infinite parva F Q ccepta , circumscribantur aequalis latitudinis parallelogramma F M. Θ, PS, &c. Spatium Logisticae ita stringentia, ut solidum
ab ipsa circa FB rotata productuni fere coincidat cum aggregato solidorum a talibus parallelogrammis in eadem rotatione descriptorum, quorum primus cylindrus ex F M, secundus, tertius, & alii deinceps totidem cylindcici tubi ex parallelogrammis in , PS, &c. a quibus certe deiicere potest illud rotundum Logisticae soliduni minori desectu quolibet dato. & ratio, quam de illorum aggregato ad conum ex F Ο Β comparato concludemus, eadem de ipsom et Logisti eae solido demonstrata esse intelligetur. Subtangens igitur FO vocetur a. & Fa infinite parva d; ΟQ autem pro unitate r designetur, ipsa FB per b denominata; cum sit igitur sob indefinitam ipsius F ae parvitatem, & punctum N curvae cum tangente OB coincidens) FO ad Oa, scilicet.ad i , ut
144쪽
BF seu b ad QN, haec exprimenda erit per & reliquae
lineae ΡU, TI, &c. in quibus eadem proportio sex curvae natura) continuatur, et, qubd paribus intervallis sint dissitae, erunt per ordinem -- ι'&e. in infinitum ; altitudines igitur praedictorum solidorum constabunt hane geomettieam seriem h ζ' bases autem eorum
dem in ratione quadrati Primi radii Fα, & mox disserentiae quadrati F P ab F & quadrati F T ab F Ρ, &e. nempe, ut ιω, 3 ,s , 7 , eo qubd differentiae quadratorum a lateribus arithmetice proportionalibus sint, ut impares numeri et hac igitur serie per illam multiplicata prodibit - a 3 b, Id ,7dM,&α series ipsoru per ordinem sona Muso, quam quidem resolvere potes in has numero infinitas, pretaxis majusculis litteris subnotatas.
145쪽
7 Sunt vero praescriptae series termino in proportiona- sum, quorum exponens commune a; si igitur maximi earsi termini ducantur ina, &productu dividatur Dera i quod hic juxta constructionem est quantitas d inlinite parva habebuntur termini iis infinitis feriebus aequales t puta series Aaequatur α; leries B aequatur adb a series C aequatur acta
series D aequatur adb . &sic deinceps , series igitur illorum
solidorum aequabitur progressionibus duabus
prima autem harum serierum s Acta eadem multiplicatione aequalis est baa; secunda vero aequalis' stive, ut aeque multae utrobique appareant dimensiones, addita hinc unitate, dicas bai est verb unitas QS ,n i , fere α Ο F. idest a. quippe a qua deficit differentia Fin infinito parva . igitur Pro Pa ι accipi poterit iterum baa ; atque ad eb series dictorum solidorum, seu issum rotundum solidum Logisticae, de quo loquimur in hoc Theoremate , uti me exprimetur Pera Da ; Conus autem ex triangulo B O P, utpote aequalis trienti cylindri cireum scripti spro circulo accepto radii quadrato , ut in solidorum serie Iactum est, quod in idem recidit, ob proportionalitatem scrvatam I exprimendus erit per abaa; solidum igitur Logisticae ad inscriptum Conum erit, ut abaa ada baa, sive ut a ad a , vel ut 6 ad i. e. d. 8 Nisi hic demonstrandi modus plene satisfecerit, prima ostentione contentus , secundae saltem conatum lauda , ac mecum progredere ad dimetiendas eiusdem solidi portiones. a partibus videlicet per binas ordinatas resectis , & circa
146쪽
majorem ipsarum revolutis progenitas ; idque diversa rursus a praecedentibus methodo: esto,H. a. Logistica BN M. cujus ad puncta N, M tangentes NC, MG occurrant asymptoto quidem F G inpunetis C , G , ordinatae veto B F inpunms K. I, & eoordinentur N D. N A. M E, M H ; di.
eo AK ad HI subtangentes seu ieet in ordinata , non in asymptoto aceeptas esse ad invice, ut sunt rectangula AN D. H M Ε; ratio enim A K ad III componitur ex A K ad A N
ponitue ex D N ad EM, & A N ad MH; ex his autem e natur eatio rectanguli A N O ad H M E Dinque constat pro inpositum. Brevius sic: ob proportionales lineas G E , EM, M H, HI, est rectangulum ex GK, asymptoti subtangente, in PII. subtangentena ordinatae, aequale inscriptores angulo Ε M H , similiter C D in A K aequabitur D N A ; ergo , ut rectangula subtagentium asymptoti in subeangentes ordinatae hoc est ipsae subtangemes in ordinata, cum quae in asy mptoto sint aequales) ita erunt rectangula Logisticae inscripta. R a P Con-
147쪽
s Concipiamus jam Logisticam esse Aa C, cujus ordin ta AN, asymptotos Nb , tangens ad quodvis punctum a
ipsa a B, eonveniens cum ordinata in B; ac mota regula Noper punctum N , ita ut perpetud parallela existat tangenti,
occurrat vero ordinatae productae an ad puncta oo, perficiatur figura Ν Ο Ο ad communem axem N b posita . quae ex dictis cap. 8. num. . & s. erit ipsi Logisticae Correlata, ejusque spatia o Nn respe bive semper aequalia spatiis a Ar: singulae autem lineae on aequales erunt subtangentibus rB, in ordinata acceptis; sed hae proportionantur rectangulis nar, inscriptis Logisticae spatio, vel etiam superficiebus cylindricis per illorum conversionem circa NA descriptis; erunt igitur lineae ordinatae in figura o Nn, ipsi Oh parallelae , ut concentricae superficies cylindricae in solido rotundo ex na A N, circa A N revoluto, productae a singulis ordinatis n a per eadem puncta n transeuntibus; igitur omnes lineae figurae o n Nad totidem aequales extremae on sive ipsa figura onN, aut trilineum a A r illi aequale ad rectangulum N no , vel ar B Jerunt, ut omnes eylindricae superficies in dicto solido, ex portione naN revoluta genito, ad totidem aequaleS extremae Mi
148쪽
nea na generatae sidest ut ipsummet solidum rotundum ad solidum , quod gineretur ab hyperbola per a asymptotisnNA inscripta, ει circa N A revoluta, quippe in illo omnes cylindricae superficies concentricae sequales fbrent ei, quae ab na describitur, propter singula inscripta parallelogramma ipsi nar aequalia 3 & sumendo consequentium semisses, erit trilineum ar A ad instriptum triangulum arB , ut solidum rotundum ex na AN circa AN, ad inscriptum cylindrum ex parallelogram 'o nar N revoluto produlium. io Nota autem est ratio tr; linei ad inscriptum triangu- Ium , quippe assumpta figura cap. 7. m. a. adhibita, constat, trilineum BKA sequari rectangulo subtangentis OF in A, triangulum veru BKQ aequatur rectangulo ex BK in semissem Κα; propterea ratio trilinei ad trianguIum com
ium litem KQ tves dupla Q A ad KQ idest erit, ut duplum ructangulum ex D K in Q A ad quadratum Kmnota igitur similiter erit ratio solidi rotundi ex spatio Logisti eae duabus ordinatis intercepto, & circa majorem revoluto Di iligod by Corale
149쪽
150쪽
Proposito, se demustratio indecimi Theorematis circa distantiam centri gravitatis Logisticae ab ordinata. Glida in iroram Logisticae spatiorum circa o
dinum sunt, ut eaedem ordinatae . Centrum gravitatis quomodo disset ab alterutra ordinatarum in
spatiis determinatis Logistieae. Solida ex bis 'aliis
circa quamvis ordinatam revolutis. Datu solidum in data ratione dividere, &c. Propositis , ac prima demon Iratio Theorematis ML circa rigantiam centri gravitatis Logisticae ab axe. In Correlatis figuris distantia centri gravitatis interioris subdupla est ID milis distantiae exιerioris. Talis distantia tu figura Correlata quadrantiscirculi est 'sequitertia basis quadraricis. Centrum gravitatis: trilinei Cycloidis distat a verticis tangente per semissem radii. Distantia centri gravitalis femi cloidis , 9 ejus trilineia basi, , vertice ; necnon solida ab iis descripta. Cissei sis spatii centrum gravitatis, in qua aba PQ-ptoto distantia; ejus solida, atque hinc rario fusi . cloidalis ad cylindrum. Figurae , quae Logisticae adoxem correlata est, distantia centri gravitatis ab omdinata . Similis distantia in harum , o generaliter omnium cirrelatarum figurarum complexo . secvum da demonstratio Duodecimi Theorematis, ct exu οad inventionem centri, in quibusvis Logisticae portionibus , ausolida, ex iis circa quamvis lineam rotandis determinauda,utilem. Iam