장음표시 사용
151쪽
ΙΑm ad centra gravitatis, tum spatii superficialis Logisticae,
tum solidorum ipsius determinanda procedit Hugenius; ait enim Theoremate Undecimo : Ex hac se dorum mensura sequitur , qMdeentrum gravitnis infinitispatii ps amordi' ratarum isat ab hac ordinata militudine Iutangeniis; ouod sic breviter demonstratur : rotunda scilicia rationem habent compositam ex rationibus figurarum genitricum, & distantiarum centii gravitatis earumdem ab axe motus, ex pervulgata iam regula Guldini, cui nescio an praeluserit Pappus ad finem suae praefationis in lib. 7,mιhem. cises Solidum igitur ex Logistica B C A circa B F ad conum ex inseripto triagulo O B F
dirca eamdem revoluto est in composita ratione ex spatio Logisticae FBC A ad triangulum o BF quae per Theorema 7. cap. 8. demonstratum est ratio dupla & ex distantia centri gravitatis spatii Logistici ab ipsa F B ad distantiam centri gravitatis trianguli, quae, ut notum est, aequaretur trienti ipsius OF ; sed haec eadem solida ex dictis cap. praeced. sunt ad invicem in ratione sextupla, idest in composita ex dupla, &ari pla; omitet ergo distantiam centri gravitatis spatii Logistici ab .psa FB esse triplam distantiae centri gravitatis trianguli
152쪽
ab eadem FB; ergo oportet taIem distantiam esse ipsammet subtangentem OF, cujus triens distantiam centri gravitatis triansuli, ut diximus, determinat. Patet ergo propositum. a Hinc habetur,cujusvis infiniti spatii Logisticae B A Vvel C VF in, distantiam centri gravitatis ab extrema ordinata eamdem temper esse, quippe aequalem communi subtangenti e unde essicitur, solida ex primo spatio circa B A, & ex secundo circa C U, esse ad invicem, ut ipsam et spatia, ex quibus gisnuntur, obsequalem utrinque ceturi gravitatis distantiam, leu esse ad invicem, ut ipsae ordinatae B A, CV talibus spatiis proportionales, ex dictis cap. 3. num. 7. id quod vel ex inde patet, quod talium solidorum subsexcupla, nempe coni ab inscriptis triangulis A OB, CVR, ob circulos aequalium radiorum B O, C inlunt, ut altitudines BA, CV, circa quas
3 Hinc etiam patet, determinato quovis spatio B A U Cduabus ordinatis inrerjecto, assignari posse distantiam ejus
conrri gravitatis ab alterutra ordinatarum . Ducatur enim
tangens AO, itaque ino est centrum aequilibrii totius spa-S tii
153쪽
tii B A Uineompositi ex proposito B A UC, & ex reliquo C U F ; sed reliqui C V F Q. habetur centrum gravitatis, ducta tangente i , in ordinata expuncto α, distans videlicet ab aequilibrii centro P per aequalem altitudini C B propositi spatii ut patet, aequalibus subtangentibus CB Ο.communem subtrahendo, vel addendo quantitatem C obsi igitur fiat, ut spatium B A V C ad reliquum C V Finne in .pe ex Theoremate remo, quod cap S. &cap. φ .nu. 8. demonstravimus, ut differentia ordinatarum A B, C U ad ipsam C V , ita QD, vel B C, ad Ο Ε , erit in E D centrum gravitatis propoliti spatii C U A B, dillans ab A B pet E B,
& a CV per EC; constat ergo propolitum. 4 Dabuntur itaque solida ex qua vis Logisticae portione A U CB. nedum conversa circa majorem ordinatarum B A. sed & circa minorem C U. quippe ad invicem in ratione E Bad E C; & annuli ex variis spatiis EDUC, & CU F G,cir
154쪽
Quibus Deile erit, dato solido ex dato spatio circa axem data revoluto, aliud ex alio item spatio dato circa aliam quamdam ordinatam majorem, minoremve revolvendo producendum reperire, priori solido, vel aequale, vel in data ad ipsum ratione ; item quodvis ex talibus solidis per concentricas superficies in data ratione dividere, &c.s Jam ad Duodecimum Theorema Hugenii gradum faciamus, in quo asserit: Idem centrum gravitatis distare ab a m- toto per quadrantem ordinatae; Similiter enim ratio solidi ex B C A Logistica circa axem F Ο,ad conum ex triangulo O B Fcirca eumdem axem, cum sit ex Theoremate, di cap. ratio
sesquiaItera, componetur utique ex dupla, & subsesquitertia, ut patet in numeris 6, 3, i componitur autem & ex ratione
spatii F B C A ad triangulum F B O quae est ratio dupla) una
cum ratione distantiae centri gravitatis spatii FBC A ad distantiam similis centri trianguli F B o ab eodu axe motus F Ο:oportet igitur, qu distantia centri gravitatis spatii Logisti eae ab axe sit subsesquitertia distantiae centri gravitatis triangu li , nempe subsesquitertia trientis ipsius F B, adedque qubdsie aequalis quadranti ipsius F B, ut in hoc Theorem. proponitur. sic enim erit ad distantiam centri gravitatis trianguli, ut a ad Eidest prorsus, ut 3 ad 4. Q e. d. ' 3S 1 6 Ea-
155쪽
o Eadem veritas, ut secundb demonstretur, imb&addistantiam centri gravitatis partium Logisticae extendatur, uberrimum illum fontem Correlatarum figurarum, unde bis jam hausimus, in , scilicet 8.&9. tertio iterum repetam, ne
que enim venam idcircli exhauriendam putes, Mi Lector. Audi igitur. In CorreIatis quibuscumq; figuris C AN, &gGAa C, aut CAN, Goori distantia gravitatis centri primae figurae interioris C A N ab axe N B, sena per subdupla est distantiae similis centri alterius figurae g G A a C , vel
156쪽
AGO ON ab eodem axe; cum enim aequales sint hae figurae, uti in. 8. demonstratum est, solidum tamen, quod ex prima sit ex cap. 9. subduplum solidi ex secunda circa axem N B revoluta, patet, haec solida esse ad invicem , ut sunt distantiae centrorum gravitatis ab axe motus, adebq; distantiam primae esse subduplam distantiae alierius; & data distantia centri gravitatis alterutrius ex Correlatis figuris, distantia reliquae non
7 Colliges jam, distantiam centri gravitatis figurae A Noo, quadranti circulari Correlatae, ab axe CN, esse sesquitertiam basis Quadratricis,eidem quadranti per Cadscriptae;chm enim debeat dupla esse di stantiae centri gravitatis quadrantis C A N, quae aequatur a baseos dictae Quadratricis, ed quod ratio coposita ex distantia centri gravitatis quadrantis ad semissem radii distantiam centri gravitatis quadrantis circumscripti & ex semisse radii ad balim Quadratricis, sive ex semisse arcus C Λ ad radium, aut ipsius quadrantis C AN ad radii quadratum,
debet esse ratio sesquialtera, eadem nempe, quae haemi herii ex quadrante ad cylindrum ex radii quadrato sjuxta Archimedis doctrinas brevius a nobis demonstratas in Vivianeis ad
157쪽
Prop. 37. coroll. 6. quae, ex Centro-barica praescriptis rationibus componitur . Nota proinde fiet distantia centri gravitatis ejusdem flaurae A No o ab AS, & notum solidum ex ipsa circa A S deicriptum, uti & ex eadem circa C N. 8 In trilineo Cycloidis Aa ΟN patebit, centrum gravitatis ditare a tangente verticis AN per semissem radii, figura quippe huic CorreIata est, ex cap. 8. num. 7. semicirculus N o o, cuius centri gravitatis distantia est utique radius integer: 'consequenter dinabit idem gravitatis centrum in trilineo C ycloidis ab ejus basi OD per a diametri ON; &solidum ex talis tri-
158쪽
trilineo circa OD, triplum erit solidi ex ejusdem eonversione circa NA, , ut aequale em solido ex aggregato semicitaculi, & praefati trilinei, videlicet spatii A N O O a A aut ANΟ-- Ad D circa N A; cὐmque cylindrus ex parallelogrammo Ο N AD, sive circa OD, sive circa N A, pariter
idem sit; reii duum , nempe factum ex D Aa O semicycloide circa OD, aequabitur facto ex triliti eo Oa Add D circa N A. atque, ut ipsa lemicyclois ad dictum trilineum, ita reci proc. erit distantia centri gravitatis ej usdem trilinei ab N A,
ad distantiam centrigiavitatis semicycloidis a basi OD , videlicet in ratione sesquialtera, illa autem aequatur θ diametri A D ut mox ostendam ergo haec aequatur a ejusdem suae
diametri. y Quod nuper assumpsi sic ostendetur notum est, duas simul lineas in trilineo Cycloidali O a A d D a centro aeque te- motas, ad , ad, aequales esse basi OD, i euinterceptae Od inter peripherias semicirculorum AOD , Noo ; ipsa igituro a, accepta in triliti eo Aa OoN versus basim, aequalis i emper erit lineae a d, sumptae versus verticem A in altero trilineo Aa ΟΡd A; itaque ipsum trilineum AaΟON haberi poterit pro eodem Ο a A d D inverse polito, & tanta erit centri gravitatis distantia in hoc ab ipsa A N, quanta in illo it milis centri distantia ab OD Jam sic: solidum ex solo AaonN circa OD triplum est ex supra ostentis solidi ex eodem spatio circa N A ; & annulus ex semicirculo N O ocirca OD snam perinde est, accirca A N est ejusdem duplus; itaque solidum ex utriusque complexo Aa OON circa GDquintuplus est solius solidi exo a A Nn circa N A, adultoque & hinc annulo ex semicireulo eodem circa N A , cujus quantitas ejusdem solidi est dupla. habebitur, qu bd solidum ex egro spatio A a OON circa OD,ad solidum ex eodem circa N A est, ut 3 ad 3, distantia igitur centri gravitatis talis spatii ah O D. ad distantiam ejusdem ab A N eli, ut 3 ad 3;ide hqtae prima distantia aequatur s. octantibus diametri No, vel A D. ind. q. sex praemiis s) distantia centri gravitatis trilinei Ga Ad Dab A. uadem crit,quam lupra dcterminavimus.
159쪽
to Cum igitur & spatium Citaidate, juxta dicta cap. 8.num. 9. 1isura sit Cycloidi Correlata , erit distantia centri gravitatis spatii Cissoidalis AN oo infinite longi, a C N, du pla distantiae similis centri cycloidis Aa CN ab eadem basi
CN; cumquellaec aequalis sit L diametri, juxta dictavum. 8.illa aequalis erit V, seu a ejusdem diametri, ac consequenter distabit idem gravitatis centrum ab asymptoto Ao per sextantem diametri N A; eritque lidum ex Cistbide ANoci circa AO revoluta, aequale quintae parti solidi ex eodem spatio circa C N converib , aut ξ solidi ex Cycloide A C Neirea basim CN quippe hoc solidi ex Cimoide circa eumdem axem subduplum est, uti jam ostendimus cap. 9. Du. II. eli verb, ut ibidem monuimus , solidum ex Cissoide circa AO, aequale annulo stricto ex semicirculo genitore, solidum igitur ex semicirculo genitore Cycloidis circa tangentem verticis , vel basim cycloidis revoluto, aequatur a fuit Cycloidalis ex cycloide circa basim rotata . qui propterea fusus aequabitur s. octantibus circumscripti cylindri cx parallelogrammo DONA semicirculi quadruplo, indeque pro ducente cylindrum quadruplum dicit annuli.
160쪽
it De infinitarum paraboIarum , atque uperbolarum , deque Traetoriae centro non est quod addam, Tute ipse exerce, mi Lector; ego obiter adnoto, in figura Noo ad eumdem axem Nb Logisticae Correlata, ejus gravitatis centrum ab N A distare per duplum subtangentis Logisticae, quandoquidem centrum Logistici, spatii, ex superiori Undecimo Theoremate, distat ab ordinata AN per limplicem longitu-
'dinem subtangentis ; complexi verb ex figuris Correlatis . scilicet spatii Ga A Noo centrum gravitatis distat ab AN per sesquialteram longitudinem subtangentis; imb generaliter semper in figuris Correlatis , quarum partium distantia interioris, scilicet ad quam pertinet tangens a B est et, earum distantia complexi ex utroque spatio est 3 , distantia vero exterioris scilicet ad quam ordinantur ipsae o naequales subtangentibus alterius )est 4; uti est evidens ex dimensione solidorum ab ijs factorum : unde expeditius demonstrabis quae num. 9. dicta sunt. Data autem opera, tum hic, tum cap. praeceden. omisimus