장음표시 사용
161쪽
ralium descriptis , ut in ijs exercere se posset Lectorum in. dustria, comparando videlicet triangula illa, ex quibus constant, cum parallelogrammis figurarum Correlatarum, ut su
ir In Logistica igitur Aa a C , cujus Correlata figura ad ordinatam N A est parallelogrammum AGON, ut ostendimus d. cap. 8. num. a 3. cum distantia centri gravitatis ipsius OG AN dupla esse debeat distantiae similiseentri Logisticae N A a C ab eodem axe N B; sit autem distantia illa in parallelogrammo aequalis semissi ipsius N A , patet, distantiam ejusmodi in spatio Logistico fore a ejusdem N A, uti in hoe Duodecimo Theoremate ab Hugenio propositum fuit; sed& constat methodus comparandi distantias centri gravitatis variarum insuper Logisticae partium ab eodem axe , accepto quippe spatio quolibet n a a n, ordinatisqu2 a r O. a r O, patet , rectangulum cirro est e figuram Correlatam ipsi anna; datur autem distantia centri gravitatis parallelogrammi ejusdem ab NO,scilicet media arithmetica inter rN, rN di
162쪽
stantias laterum ab No , itaque Γc ejus subdupla dabitur , sellicet distantia centri gravitatis figurae naan ab eodem axe , perpetub aequalis semissi mediae arithmeticae inter extremas ordinatas. Id quod suo modo observatur & in toto Logisticae spatio, extremae siquidem ordinatarum sunt A M& punctum , media inter haec arithmetica semissis N A ;huius dimidio, nempe a NA aequalis prorsus est distantia centri gravitatis integri spatii Logisticae. Dabitur ergo in quovis hujusmodi spatio, sive integro, sive duabus ordinatis intercepto, punctum ipsum, quod gravitatis ejus centrum determinat, adeoq; jam metiri licebit solida a Logisticae spatiis circa quamlibet lineam livolutis , ex dimensione tum ipsius Logisticae, tum distantiae ejus centri gravitatis a proposita
163쪽
Theorema Decimumtertium demonstratur. Eademsem per centri gravitatis in quibusvis infinitὸ ungis Logisticae solidis distantia ; quomodo in ejusdem solidi
portionibus indaganda. Prima demonstratio Decimia quarti Theorematis ; ad majorem rigorem quomodo exigenda. Solidorum ab eadem figura circa ba , ct axim rotata distantiae centri gravitatis sunt, ut distantiae ab axi, ct ba genitricis figurae. Altera ejusdem Theoremalis demonstratio. Variarum cinoideon centra hinc determinanda ; in portionibus solidi r tundi , aut cylindricis Logissicae truncis , aut sigνra Logimcae cirrelata, centra gravitatis dantur. Librae infinitae, geometrice decrescentibus , , aeque distantiabus ponderibus gravatae , aut finitae quidem , sed per
intervalla continue proportionalia arithmetice in iv-mitam crescentibus quantitatibus oneratae, centra aequilibrii determinari possunt. Secunda demonstrario a scrupulo vindieata. Cautio is his adhibenda ;aliorum lapsus notati, ut devitentκr. Curvissuper piciebus solidorumgeneralis demonstratio applicatur . Logistica curva centro gravitatis caret; circa axem
rotata superficiem infiniiὸ lovgam , finitae dimensionis producit: in qua ad determinatam huperbolam ratione ; haec bperbola , cujus parabolicae lineae in semitra versum ductae rectangulo aequalis ; curva illa superficies, cujus circumferevitae , O periphe-
164쪽
riae parabolica rectangulo aequalis ; ut ejus portiones correspondeant ejusdem parabolae partibus. Tra
ctoriae solidum finita superficie gaudet, ejus curva
centro pariter caret. 3 Dost centra gravitatis spatiorum Logisticae, progreditur x Hugenius ad gravitatis centra in ejus solidis determinanda r Repisimus , inquit Theorem. XII. 1uod centrum
pavitatis primi ex dictis solidis in itis dis at Θ sua bysi per
Iemsem subtangentis. Primum quippe illud solidum ex Logi ilica FBCA cirea axem Fo revoluta, resolutum incirisculos basi parallelos , proportionalitet analogum est alteri Logistieae B N M, ordinatarum in duplicata priorum ratione decrescentium, qualem supra descripsimus nu. . eadem itur erit distantia centri gravitatis praefati solidi , circulo suae basis, quae distantia centri gravitatis Logisticae BN M a sua extrema ordinata FB; sed haec distantia aequatur subtangenti ejusdem Logistieae BNM, per Undecimum Theorema. Hugenii superiori capite demonstratum, & haec eadem suta tang. ns ostensa est cap. 9. num. s. aequalis semissi subtangentis F pertinentis ad priorem Logisticam BCA; itaque&
165쪽
illius solidi rotundi centrum gravitatis distabit ab extremo cireulo suae basis per semissem subtangentis, seu Parametri. Quod erat demonstrandum. a Eadem itaque semper erit distantia centri gravitatis a sua basi infinitorum quorumvis solidorum ab eadem Logisti ea per varias ordinatas resecta factorum , semper scilicet aequalis dimidiae subtangenti ejusdem Logisticae ; Quocirca portionum etiam cujusvis ex dictis solidis centra gravitatis assignari poterunt: proponatur enim verbigratia quod fit ex B Asortione B AV C circa BC revoluta; ita procedemus,smii methodo, ac superiori capite num. 3. esto Bo semissis sub- tangentis, & consequenter o centrum gravitatis totius facti
ab infinito spatio BAUin Similiter & C insemissis sub-
tangentis ejusdem, ut punctum mit centrum gravitatis solidi, quod ex C V F Q.; distat igitur hoc centrum a puncto O, per aequalem altitudini solidi propositi B C. propter communem additam, vel detractam Co; fiat igitur, ut solidum ex ABCU ad infinitum ex CU Fin, nempe , ut colligitur ex dictis cap. 9. num. 3. O io. ut disserentia qua
166쪽
Theorem. Hugen. Cap. XII. Is I
dratorum AB,& CV ad quadratum CV, ita QD, vel BC ad alia C Ε,erit E centrum gravitatis solidi ex spatio B A U Ccirca BC revoluto geniti; quamquam expeditius sorte idem obtinere licebit per inventionem distantiae centri gravitatis ab ordinatis in congruo spatio Logisticae, in duplicata ordinatarum ratione decrescentis,proportionaliter analogo ad dicturotundum solidum, uti numero praecedenti indicavimus. 3 Dissicilior mihi visa fuit, reque ipsa nonnisi aegre succe Dst cur enim fateri erubescam, qui & in magis obviis moram pati aliquando soleo p Theorematis Decimi quarti demonstratio, ubi Vir Clarissimus pronunciat, qubd centrum etiam gravitatis alterius solidi distat ab ejus infinita basi per octav-tem hul axis. Hoc ut demonstrem , figuram resumo , eumdemque calculandi modum, quo cap. Io. num. 6. usus sum:
ex parallelogrammis itaque FM , QR . PS Logistieae circumscriptis, intelligatur confici in conversione omnium circa FB, series solidorum, quae pro minori, ac minori latitudine singulorum . magis, magisque accedet ad rotundum Logisticae solidum, de quo in hoc Theoremate sermo est; itaque ubi F nfinite parva supponatur, tunc cylindrus ab F M
167쪽
deseriptus, & tubi cylindrici ex reliquis QR, PS,&e. pro sus coincident cum tali Logisticae solido, quodque de iis demonstrabimus, de hoc perinde obtinebit; porrb ostendimus loco citato retentis iisdem symbolis lindrum F M essed , dc tubos huic consequentes per ordine esse , sd ,δcc.
ut supra ad sinem pag. ra'. seu spropter infinite exiguum excessum ipsius a, seu F o supra ai sumptam unitatem Q D. qui excessus penitus evanescit, ubi solidorum series in ipsum Logislieae solidum deficit accepta loco ipsius a, unitate , quae ad quemlibet gradum elevata non crescit, nec terminos dividens illos immutat, erit praedicta solidorum series aequalis dD - 3 dct -- s dD - b , &c. suspenditur autem in libra F B primus terminus ad punctum C, medium ipsius F B, & secundus terminus ad punctum x, ubi cadit axi parallela, ducta ex medio puncto k lineae Q. N ; & tertius terminus ad y punctum , quod determinat parallela yD bifariam se. eans ipsam P V ; similiter & quartus terminus pendet ex Eper lineam EE bisecantem ipsam TI; sunt enim puncta C, X, Υ, Ζ,&c. centra gravitatis per ordinenis alium solidorum; per
168쪽
per puncta Verb C. A, D, E, & alia similiter bifariam secantia singulas Logisticae orditiatas , transit utique linea pariter Logislica EDAC g. Producta igitur O F in f, ut F faequetur semissi ipsius F Q adeoque a fortiori sit infinit EParva quantitas, ac penitus evanescens ) ad parallelam ordinatam fg producantur axi aequi distantes EZ, Dy, A tu rid, a, c; poterit similiter fg sumi pro libra, ex qua pendeat primum solidum per lineam Cc. secundum per lineam A a. terdium per Dd, quartum per Ee , &c. & quidem quarum partium P f, seu C c ponitur talium Aa est 3. Dd s.
Ee 7. &e. , juxta Progressionem arithmeticam numerorum
imparium, secundum quam ipsa solida ex iis pelidentia procedunt; perinde igitur onerabitur linea fg , vel FC a talibus solidis ex ea pendentibus, ac oneretur fg a lineis Logisticae gCADE; sed ab his ordinata fg sic oneradur, ut centrum aequilibrii habeat distans ab axe Fo per quadrantem
ipsius f g , vel F C illi proxime aequalis talis quippe ex
Theoremate Duodccimo est distantia centri gravitatis Logistici spatii, quod tales lineae implent) ergo & centrum aequi libria, aut gravitatis omnium illorum solidorum, seu integri solidi ex Logistica circa ordinatam revoluta, distat similiter ab axe per quadrantem ipsius FC, seu octantem integrae FB Ordinatae; quod est proposit uni. Si quis autem majorem in praesenti demonstratione rigorem desideraverit , is poterit apagogico circuitu sibi penitus satisfacere , sumptis , loco linearum Cc , Aa , Dd , E e, parallelogrammulis Ceg, Aac, Dda, Eed , &c. quae penitus proportionalia deprehendet dictis solidis, siqui-clem eorum altitudines B F, QN, PU, &c. proportionantur earumdem semissibus , & talium semissum disserentiis gC, Ca, ad , de , &c. bases verti talium solidorum sunt, ut d lisere tritae quadratorum ex lineis Fin FP , FT , &c.
arithmetice crescentium. scilicet ut impares numeri, vel uti mea: Cc, Aa, Dd, Ee, &e. Unde cum accepta fuerint tot
silida, quae integrum Logillice solidum impleant, & totidem parallelogramma, quae Logillicum illud spatium adaequent, cunilabit, in eodem puncto,tum Logistici illius spatii centrum, V aequi-
169쪽
aequilibrii, tum solidi illius centrum gravitatis reperiri. aded-que ad quartam ipsius F C, vel octavam totius F B partem ab axe: acceptam. Quod . &c. - s Sed abiit, ut hic ego subsistam; tamdiu mihimet ungues corrodam, quousque clariorem, & vero generalissimam rei hujus demonstrationem detur extundere; mihi certe videtur universa Ilus quidpiam hinc relucere , quam ut Peculiaribus Logisticae proprietatibus adstringi mereatur. Iam iam a sic quor .' an non hoc illud est, quod in qualibet figura F B U. cujus basis F B, axis F seq. quam rationem habet dis lantia centri gravitatis figurae planae ab axe, ad similem distantia a bali, eamderia & proportionem habent ad invicem distantiae centri gravitatis s uniuscujusque a sua hali) solidorum ex eadem circa basim, & circa axim revoluta progenitorum p Intelligatur enim tota figura circa punctum F in suo plano verticali converti, quousque axis F Q horigonialiter, si tuetur in Fq. in directum positus priori basi FB, quae jam perpendiculariter pendeat in Fh ; sumptaque axis portione F 'quali ipsi pq, ordinentur , qn , quae erunt aequale S imo eaedem; in solido quidem ex figura circa FB revo
170쪽
luta, cogitetur per punctum intransire cylindrica superficiesci linea descripta in sui rotatione circa FB, cujus quidem rectangulum per axem duplum erit, ut constat, inscripti rectanguli F αN P ; in solido autem ex eadem Figura
cirea axem Fq revoluta, concipiamus per pumitum q transire circulum radio q n descriptum , & buecta in A ipsam, . ducatur A X ipii F Q parallela; peti debit igitur in prio. ri solido cylindrica superficies a linea QN descripta ex puncto X , quod est ejus centrum gravitatis ἱ circulus vero radii qn pendebit ex suo centro q ; e Ii autem distantia qF ad F X, ut ipsa cylindrica superficies ex Q N ad circulum ex q ns est enim cylindrica superficies quaelibet ad datum circulu, ut rectangulum per axem illius, ad quadratum ex radio hujus, per propositionem qυ intam Torticullii de solid. spher. l. i. idest is proposito, ut duplum rectangulum P NQ ad qua
yerant igitur ex F. tum ille circulus , tum haec superficies ;&hou semper; quare &utriusque solidi ad libram continuatam BFq appenii aequilibrium habebitur expuncto F; unde distantia eeutri grauit iis solidi ex Fbov. circa F q a sua bali transeunte per punctum F, erit ad distantiam centri gravitatis solidi ex sigura eadem FBN U circa FB revoluta a sua basi per F transeunte, ut reeiproce hoc secundum soli-U 1 dum