장음표시 사용
201쪽
COROLLARIUM. i I. Si igitur Candela accensa ponatur in Foco Speculi Elliptici uno F; Radii ejus post reflexionem coeunt in altero G.
CAPUT VI. De Cato trica AOblica, seu modo investigandi Theoremata Cat trica per Analysin.
PROBLEMA XXVIII. Tab. 3I2. T) Ata distantia AB Puncti ra-VII. diantis A is superficie Speculi Sphaerui Concavi DBE, indienire Punctum F , in quo Radius reflexus DF cum
Sit in C Centrum Speculi & CB Radius a, distantia Puncti radiantis AB b, DF x; erit FC b-x. Qtioniam supponimus Oculum , qui videt Imaginem Punctis radiantis A in Speculo, esse in Axe constitutum, ut Radius reflexus DF in eundem incidere possit, Radius incidens AD Axi AB valude vicinus esse debet, ut adeo Arcus DB, Anguli DCB mensura (S. 3T Geom. , consequenter & ipse Angulus DCB admodum exiguus sit (S. 38, 3s Geom.). Erunt igitur multo magis Anguli oden(S. 23 si Geom. , itemque Angulus J(S.i valde exigui. Eadem de causa. DC&CB, itemque DF&FB tanquam quantitate contemtibili differentes pro aequalibus assumi possunt. Quoniam lita Tab que :) FD : CF & n : o DC: VII. AC (S is Trigon ; erit et o DC AC : AC (S. is o Arithm o , seu ob
Theorema. Si Radius AD in superficiem Speculi Concavi incidens ab Axe AB di- , vergit; erit distantia puncti concursus F a superficie Speculi BF ad semidiametrum 'BC, ut distantia puncti radiantis a supera ficie Speculi AB ad compositam ex eadem distantia & distantia Puncti radiantis a Centro AC.
202쪽
tib. Quodsi distantia Puncti concursus Fuls. sive Foci a Centro CF desideretur sit
Theorema. Si Radius AD in superficiem Speculi Concavi incidens ab Axe divergit erit ut composita ex distantia Puncti radiantis a superficie Speculi & ejus distantia a Centro, ad distantiam a Centro Speculis, ita semidiameter Speculi, ad distantiam Foci a Centro.
COROLLARIUM I. 313. Si distantia Punisti radiantis AB sit infinita, erit BC respectu AB infinite parva, adeoque AB & AC haberi possunt pro aequalibus ( s. Anes f. insin. . Quamobrem FB gra m BC, hoc est, distantia Foci a Speculo FB est dimidio Radio, seu quartae Diametri parti aequalis et quod consonum iis, quae supra demonstravimus ( s. aos, et11 .
COROLLARIO M II. 3I . odsi ut ante distantia Puncti radiantis AB sit infinita, erit CF ob ratio- , AC. BCnem eandem l BC , hoc est, distantia Foci a Centro est quartae Diametri parti aequalis: id quod convenit cum
tollario praecedente ( s. 323 . COROLLARIUM III. gis. Modsi AB ABC, hoc est, si pun- Tab.
istum radians A ultra Centrum C a Specu- VII. Io Sphaerico Concavo distet; cum sit a AB
si AB. BC dividatur per quantitatem ipsa AB majorem, veluti hic per a AB BC; erit FB e BC ( f. ror Arithm. , hoc est, distantia Foci F a superficie Speculi est Radio BC minor, seu Punctum concursus cum Axe intra Centrum a Speculo distat. COROLLARIUM IT 316. Similiter si AB, BC, seu distantia Puncti radiantis a Speculo Sphaerico Concavo major Radio; erit AB M AC & AB AC M aAC (S. so Arithm.). Quam- AC. BCobrem cum sit
s. ror Arithm.), hoc est, distantia Punisti concursus a Centro est BC, seu quarta Diametri parte. COR O L LARIUM TSI T. Quamobrem cum Focus Radiorum parallelorum ( qui proprie Focus dicitur distet a Centro interiailo I BC Radius vero divergens AD cum Axe post
reflexionem concurrat intervallo minore quam BC; Punctum concursus F erit inter Centrum & Focum Radiorum parallelorum.
COROLLARIUM VL318. Quodsi fuerit AB M BC, hoe est, si Punctiim radians fuerit in Centro Spe- X a culi
203쪽
ctum concursus erit in pso Centro C. Idem AC. BC etiam patet hoc modo. CF
H AB - BCho, adeoque CF m o, hoc est, distantia Puncti concursus a Centro nulla est , consequenter Punctum concursus in ipso Centro est , seu Radius reflexus cum Axe in Puncto radiante concurrit.
COROLLARIUM VII. 31 v. Qiaodsi fuerit AB m BC, hoc
est, si Punctum radians fuerit in Foco Radiorum parallelorum (s. 3rg); erit BFZBC. BC , - 'BC. BC pC BC o Quamobrem cum BF in hoc casu sit quantitas infinita, Punctum concursus cum Axea Speculo infinito intervallo distat. Quoniam itaque Radius ex Foco in Speculum incidens post reflexionem cum Axe non concurrit , nisi intervallo infinito, hoc est , nunquam ; Radius ex Foco in Speculum incidens erit post reflexionem Axi parallelus, quemadmodum supra demonstratum
Est igitur distantia Puncti concursus a Cen-m tro infinita, hoc est, Radius ex Foco in Speculum Concavum incidens post reflexionem ultra Centrum concurriti interval- Io infinito, hoc est, nunquam et id quodicum-Corollario praecedente convenit. par. Quodsi fuerit AB e CB , sed Tab. ACB, hoc est, si Punctum radians Vil. inter Focum & Centrum consistat, erit si AB M CB. Ponamus excessum rectaea AB supra CB esse rectam quandam GH : erit
hoc est , si Punctum radians inter Centrum atque Focum constituatur Radius divergens ab Axe post reflexionem cum eodem concurrit in distantia quarta Diametri parte majore a superficie Speculi. COROLLARIUM X. gar. Iisdem positis, quae in Corollario praecedente, erit
204쪽
. VI. DE CATO PTRICA ANALYTICA &c. 16;
rab. hoc est, si Punci tam radians inter Centrum VII. atque Focum constituitur, Radius diuergens ab Axe post reflexionem cum eodem concurrit in distantia a Centro quarta Diametri parte minore. COROLLARIUM XI. 323. Quoniam si ex Ptincto radiante inter Centrum & Focum constituto Radius in Speculum Sphaericum Concavum non procul ab Axe incidit, ab eodem reflexus cum Axe concurrit in distantia majore quarta Diametri parte a superficie Speculi (S. 3 a1 &minore quarta Diametri parte a Centro( S. 3 et a); Focus autem a Centro non minus,
quam a superficie dimidia Radii seu quarta Diametri parte distat ( S. 313 ; Punctum
concursus in hoc casu inter Focum atque
COROLLARIUM XII. 3r . Si denique AB U CB , hoc est, vii si Punctum radians fuerit inter Focum &h. superficiem Speculi ; erit etiam a ABAE CB iso Arithm. & hinc a AB BC quantitas negativa (,. IT Anabis finit. , consequenter FB et: '' 'C 'quanti
tas negativa s s. g et Anes f. su.) ; id quod
indicio es: Punctum concursus esse post Speculum. Ut enim sit positiva, fieri debet AB. BC BC - 2AB COROLLARIUM
3 et s. Quoniam Radius AD ex Puncto A inter Focum is superficiem Speculi posito in superficiem Speculi incidens ita reflectitur
in DG, ut retro continuatus concurrat cum
Axe post Speculum in F; ex Pu iacto F post reflexionem ab Axe divergit ( S. 8q Geom. . COROLLARIUM XIV.
326. Cum Punctum radians A supponatur in Axe Speculi, qui utpote per Cen--arum C transiens Geom. ad su-
hrficiem Speculi perpendicularis (F. 38
An Jf. in sinit. dii erit Axis Speculi Cathe- Tab. tus incidentiae ( S. 16 . Quamobrem cum VII. in Speculo Sphaerico Concavo plerumque Fig. . locus Imaginis sit in concursu Radii reflexi cum Catheto incidentiae per ea, quae de Puncto concursus dicta sunt, locus Imaginis in diversis casibus determinatur , suntque distantiae illius Puncti a superficie Speculi distantiae Imaginum a Speculo. COROLLARIUM XV. et . Sit distantia Punctorum radiantium a superficie Speculi in ratione I . m. Erunt ergo distantiae Imaginum a Speculo ut AB. BC . m AB. BC ad (S. II, 326 ,
COROLLARIUM XVI. 328. Quod si ergo AB in BC, hoc est, si
Punctum radians fuerit ultra Centrum a Speculo remotum s Objecto a Speculo recedente, Imago ad idem accedit (s. 3 rq . COROLLARIUM XVII.
et s. Quodsi punctum radians fuerit ultra Centrum a Speculo remotum , Objecto ad Speculum accedente , Imago ab eodem recedit.
COROLLARIUM XVIII. 3 3 o. Sit jam a AB M BC, adeoque AB Q
205쪽
Fig. . 3gr. Quodsi ergo Objectum inter Focum& superficiem Speculi constitutum ad Focum accedit, seu a Speculo recedit, Imago quoque ab eodem recedit. COROLLARIUM XX. Ua. Si vero idem a Foco recedit, seu ad Speculum accedit; Imago quoque ad idem accedit. COROLLARIUM XXI. 333. Quoniam itaque Imago Objecti intra Focum & superficiem Speculi consti tuti post Speculum apparet (s. 32 U; Imago majore intervallo post Speculum comparet, si Objectum Speculo propius, quam si ab eodem remotiuS.COROLLARIUM XXII. 33 . Quodsi BCm oo, hoc est, si Radius ponatur infinitus a Speculum Concavum degenerat in Planum. Enimvero tum AB respectu ipsius BC infinite parva, adeoque nihilo aequalis (F. Ana f. in . . Quamobrem etiam a AB nihilo aequivalet, et: -- m AB, hoc est , Imago tanto intervallo videtur post Speculum planum , quanto ante ipsum abest et quemadmodum superius demonstratum est (s. sc).S C n O L I O N. 33s. Ex Corollariis hisce apparet, quanta
facilitate ex Formula Anablica deducantur palmaria de Speculis Concatiis Theoremata. Poteramus ex eadem quoque deducere, quae
ad Specula Contiexa pertinent ; sed majoris evidentia causa Problema sequens subnectimus.
PROBLEMA XXIX. 336. Disa distantia AB Puncti ra-
cantis A a supersici, Speculi Spbarici
Convexi DBE , invenire Punctum F, Tab. in quo Radius reflexus GF cum Axe
Sit in C Centrum Speculi & Radius
CB a, distantia Puncti radiantis a superficie Speculi AB - b , distantia Puncti concursus Radii reflexi cum Catheto incidentiae ab eadem superficie Speculi BF x ; erit distantia ejusdem
Theorema. Si Radius AD incidens ussuperficiem Speculi Convexi ab Axe Ad
206쪽
Cap. m. DE CATO PTRICA ANALYTICA dec.
I Tnon nimis divergit; erit distantia Puncti concursus Radii reflexi cum Axe a superficie Speculi ad Radium convexitatis, ut dis alitia AB Puncti radiantis a superficie Speculi AB ad compositam AC - BA ex distantia ejusdem Puncti a Centro & distantia a superficie.
Quodsi distantia Puncti concursus Radii reflexi cum Catheto incidentiae Fa Centro Speculi FC quaeratur, erit ob CF BC - BF
Theorema. Si Radius AD incidens insuperficiem Speculi Sphaerici Convexi non multum ab Axe ejus AC divergit, erit distantia Puncti concursus F Radii reflexi GF a Centro Speculi FC ad Radium convexitatis BC, ut dis antia Puncti radiantis a Centro Speculi AC ad compositam ex
eadem distantia AC & distantia ejusdem a superficie Speculi AB. COROLLARIUM I. 33 . Quoniam AC fBA MAB: erit
que ei BC (s. 18o Arithm. . Distantia igitur Puncti concursus Radii reflexi cum Catheto incidentiae in Speculo Sphaerico Convexo ab ejus superficie semper minor est Radio.
COROLLARIUM II. 338. Quare cum Imago puncti radiantis A videatur in isto Puncto concursus(S. 1 si); in Speculo Sphaerico Convexo semper videtur inter Centrum & superficiem Speculi. COROLLARIUM III. 33s. Sit AB m m , erit BC respectu AB infinite parva , adeoque a AB - BCm et AB (s. Anal. insin. , consequenter AB, . BC- BC-xaABi BC 1 AB Distantia igitur Puncti concursus Radii reflexi cum Catheto incidentiae nunquam majore intervallo a superficie Speculi distat, quam dimidio Convexitatis Radio. COROLLARIUM IV. 3 o. Quoniam distantia Puncti radiantis habetur pro infinita, si Radius ab Axe
divergens eidem ad sensum sit parallelus; Radius a Puncto remoto in superficiem speculi Sphaerici Convexi incidens cum Catheto incidentiae concurrit intervallo quartae Diametri partiS.COROLLARIUM V. 3 i. In Speculo Sphaerico Convexo Imago nunquam majore intervallo distat a superficie Speculi quam quarta Diametri
parte (S. 33s & Imago quidem Objecti
valde remoti a Superficie Speculi quarta Diametri parte distat. S c H o L I O N. 3 a. Objectum an Dalde remotum sit , aestimatur ex ratione Radii BC ad ejus distantiam a superficie Speculi AB. In minoribus adeo Speculis minor di stantia ad hoc ficit, quam in majoribus. . COROLLARIUM VI. 3 3. Quodsi Radius convexitatis BCfuerit infinitus, hoc est, si speculum fuerit Planum; erit aAB respectu BC m o (S. AB. BC
207쪽
In Speculo itaque Plano Imago tanto intervallo videtur post Speculum, quanto ante ipsum ab eodem abest. COROLLARIUM VII. . 3 A. Sit ratio distantiarum Punctorum radiantium et: ir n; erunt distantiae Imaginum a superficie Speculi inter se ut ad , adeoque ut ab (etii, a adnab (ab j a (F. 1 8 Arithm. , consequenter ut anb j a ad anb- -na (S. 18I Arithm. . S C Η o L I O N. 3 i. Hoc ergo n explicetur per aliquem
numerum, denturque adibit ratio distantiarum innotescit in numeris.
3 6. Quodsi 1: n: fuerit ratio majoris inaequalitatis seu n I; erit na a, adeoque an, --rnbH a hyo Arithm.). Crescente adeo distantia Puncti radiantis extra Speculum crescit distantia Imaginis a superficie Speculi intra Speculum. Recedente igitur Objecto a Speculo , Imago ejus intra Speculum a superficie versus Centrum recedit. COROLLARIUM IX. 3 q. Quodsi 1: n fuerit ratio minoris inaequalitatis, seu n m 1 ; erit na UA, adeoque an, na rvb a (s. 'o Arithm. . Decrescente adeo distantia Puncti radiantis a Speculo decrescit distantia Imaginis a superficie. Visibilis itaque ad Speculum accedentis Imago ad ejus superficiem accedit, a Centro recedenS.COR O L LARIUM X. . g 8. Quodsi b fuerit m o, hoc est, si visibile superficiem Speculi tangit, erit abet: o, adeoque distantia a superficie
peculi nulla est. Videtur igitur Imago in ipsa Speculi superficie.
cur Imago Syli longioris superficiem Speculi altero suo extremo contingentis di Diametro
Speculi in directum sti sit eidem continua di in directum sita. COROLLARIUM XI. 3so. Si fuerit b eta a, seu visibile a Speculo Radii intervallo distet ; erit
m - bar, seu Imago tertia semidia-
metri parte a superficie Speculi distat, adeoque duabus tertiis a Centro. COROLLARIUM XII. as r. Quodsi fuerit b et: na & n in I, seu distantia Puncti radiantis major Radio; erit ab na Ag u
(F. arae Arithm. . Idem adhuc obtinet, fine 1. Distantia igitur Imaginis a superficie Speculi continuo minor est Radio, quantacunque fuerit distantia Imaginis: id quod jam alio modo ante elicuimus. COROLLARIUM XIII. set. Quodsi fuerit veta oo , erit unitas respectu an nihilo aequalis (s. Anabs infinit. , de distantia Imaginis a superficie
Speculi - la, seu dimidio Radio aequalis: quemadmodum denuo jam ante
COROLLARIUM XIV. 333. Quodsi ponamus hoc' est , si Imago a superficie Speculi distet
intervallo quartae partis Diametri ; erit et ab m et ab--aa, adeoque m o e quod
cum sit absurdum, Imago a superficie Serculi nunquam quarta Diametri parte distare
208쪽
distare potest, si Radius incidens a Catheto incidentiae divergit. SCITOLIO N. g; . Consentis hoc cum superioribus , ubi distantiam Visibilis infinitam requisiυimus , ut Mago diaet a superficie Speculi quarta
Diametri parte : tum enim Radius incidens catheto incidentia censetur parallelas.
COROLLARIUM XV.3ss. Si Radii duorum Speculorum suerint ut a ad na, sitque nri I r erunt dis alitiae Imaginum a superficiebus Speculorum , Visibili ab utroque Speculo eodem ab , nab
intervallo remoto, ut ad Tra ,
ro ry T lia adeoque ut ab se na ad avb - na (181 Arithm. . Quamobrem cum sit an, Asib ex hypothesi, distantia Imaginis in Speculo majoris Sphaericitatis major est, in Speculo minoris minor, seu Imago ejusdem Visibilis in eadem distantia a Speculo majore intervallo videtur post Speculum, si majoris fuerit Sphaerae segmentum, quam si minoris fuerit. COROLLARIUM XVI. sci. Sit b, seu distet Ima-ay i ago visibilis tanto intervallo a Superficie Speculi, quanto ante ipsum idem abest ;erit ab m abb ab , adeoque abb o :quod cum sit absurdum, in Speculo Sphaerico Convexo imago nunquam tanto intervallo post Speculum esse potest, quanto ante ipsum Objectum constituitur.
da Imaginis post Speculum distantiae Visi-Bllis a Speculo dimidia; erit ab cet bb
jectum igitur a Speculo intervallo dimidii Radii Speculi ab eodem distare debet, ut Imaginis distantia sit dimidia distantiae Objecti. S c II O L I o N. 3 8. Ex his Corollariis intelligitur, quanta facilitate plurima Caioptricae Theoremata inueniri possint, ope Theorematum generalium , quae di ipsa absque multa dissicultate
eruuntur. Poterat haec Theoria etiam extendi ad alias Curvas: possunt tamen aliis quoque Methodis Puncta concursis Radiorum reflexorum cum Axe inoeniri. Ut in Uriam Leetoris excitemus, sequens addere lubet Problema.
PROBLEMA XXX. Invenire unctum F, in quo Tab. Radius GM vel EM Axi AΚ Parabolae VII. AMN parallelus cum eodem po J reflexio- Fig. 66.
nem concurrit, sive in Concaditatem , sive in Convexitatem incidat. REsOLUTIO.
209쪽
i o ELEMENTA CAT TR. CO.' DE CATO TR. ANALYT.
Theorema. Si Radius parallelus FM vel MF incidat in Parabolam MN, post reflexionem in puncto F cum Axe concurrit, quod a Vertice A quarta Param tri parte distat. S c n O L ION. 36o. Non absimili modo Punctam ubi
Radius reflexus quicunque cum Axe alterius Curva concurrit, inveniri potes.