장음표시 사용
121쪽
quantitatum v & sa - - b κ' i' -υ cujus fluens etiam i
niri potest ope finitorum terminorum, circularium arcuum & logarithmorum.
--rv )' in cujus fluens e methodis prius traditis innotescit. Io. Sit data fluxio rationalis functio quantitatum κ' &
resultat fluxio, quae erit rationalis functio quantitatis v & υ in υ, cujus fluens e praedictis methodis innotescet. Et sic de fluentibus plurium hujusce generis fluxionum inveniendis :
122쪽
di. e. g. cum data fluxio sit rationalis functio quantitatum κ' & α'-Φ- I in x ) - Ο & si U'ὶ in x' 'x; &c. λο- Reducere datas fluxiones in alias, quarum fluentes innotescunte multiplicatione earum numeratorum & denominatorum in assumptas quantitates. Cas. I. Data suxione - e -- g x'' - - R h -- H I E tibi literae P, 5c K respective denotant rationales functiones quantitatis x'; ducantur & numerator sc denominator hujusce fluxionis in
κ ae ex ὶ cujus fluens in sormulis prius traditis continetur.
ubi literae P, R & S quascunque rationales functiones quantitatis x respective denotant: ducantur & numerator & denominator datae fiu-
123쪽
veniri potest, si modo fluens fluxionis in X se H ')J κ fg hD ,
M sl - m x detegi possit, ubi literae A & B denotant rationales funditones quantitatis x 4. Sit data fluxio is, cuius numerator sit x in quamcunque rationalem functionem irrationalium algebraicarum functionum α, β, γ, δ,&C. quantitatis x ducta, quae functiones α, β, γ, δ, &c. haud in sese multiplicantur ; & cujus denominator sit quaecunque rationalis functio irrationalium functionum algebraicarum uer, ρ, σ, τ, &c. quantita
quae sunt quantitates στ, ρ, r, &c- in quantitates β, γ, λ &c. respective ductae; rectangula sub quibusque duabus praedictis fore, πο-,eir, &c. in quantitates α, β, γ, λ &e. respective ductis; etiamque contenta sub quibusque tribus, quatuor, o c. quantitatibus π, O ir, τ,&c. in respective ductis in praedictas quantitates α, β, γ, it &c.)ὶ ductis in quascunque vel easdem vel diversas rationales fuia tiones quantitatis x in x; semper detegi potest fluens fluxionis A . Constat ex ducendo numeratorem dc denominatorem datae fluxio nis in quantitatem acquisiitam per methodum in prob. 26. medit. pNgebr. traditam, ita ut denominator evadat rationalis quantitas. 4. Data fluxione ' , ubi literae P, Q & A, B, C, D, &c. rationales functiones quantitatis cis respective denotant, & litera es de notat quantitatem, quaa in A e fm g U) B b lx in C. H-- j, κ' -- ο xv) in D g x' - r -- &c. ducta creat rationalem functionem quantitatis X ; ducantur numerator bc denominator datae fluxionis in quantitatem Tt, & resultat fluxio, cu
jus fluens e praedictis methodis inveniri potest; &c. THEOM
124쪽
1 H E O R. VI. Rationalis fundito cujuscunque literae x semper dividi potest in sun-plices divisores x- - a, lac.: hinc etiam multae fluxiones, quae apparent tanquam irrationales, transformari possunt in rationales fluxiones. EX. Ι. Sit data fluxio quaecunque algebraica & rationalis functio quantitatum P a --bx & in x 'x; & facile constat methodUS transformandi datam fluxionem in rationalem functionem quantitatis
P a -bx ),&c.; & exinde constat denominatorem dividi posse in suos simplices divisores hujusce generis ain bx ) H p, in in&c. ubi literae p Sc invariabiles quantitates respective denotant. EX. a. Sit data fluxio quaecunque algebraica iunctio & rationalis quantitatum in x ' x ducta; & erit data fluxio Z d -se ex )rationalis functio quantitatis ' ; la consequenter ejus denominator dividi potest in simplices divisores hujusce formulaeo δω- ' p, &c. & sic reliquis exemplis prius traditis; dcc.
Data sexto te, quise sit algebraica functio quantitatis P; invent e, an- Πρη ejus suens investigari potes Agarithmorum possibilium vel impossibiliumq*βNtitatum, i. e. circularium arcuum θ' sinitorum termiuorum ope.
I. InVeniantur omnes divisores denominatoris datae fluxionis ina xime simplices, qui haud minores recipiunt dimensiones incognitae quantitatiS X; quam eas, quas habet data fluxio; de sint hi diVisores Κ a respective
125쪽
respective A, B, C, D, E, &c. i. e. sit A κ B κ C κ D κ E κ &c. - data fluxionis denominatori, ubi nullus datur divisor hujusce formulae a in bx' - ex ' -- &c.)ῆ, & litera s haud divisor est literae r; tum fluens datae fluxionis forsan erit aggregatum α κ log. A--β κ log. B --log. C in log. D in &c. ubi α, γ, δ, &c. invariabiles quantitates respective denotant. a. Sint vero duo divisores A dc B impossibiles & correspondentes. i. e. sint; -- μί- ν' - ί- ρ' hi tum α log. A β log. β de
notat aream circuli, Ut prius docetur.3. Denominator, &c. finitorum terminorum deducendus est e d nominatore dato, &c. Per methodum iri Prob. q. traditam; & consequenter summae fluxionum finitorum terminorum per praedictam
, x. Primo animadvertendum est denominatorem habere simplicem
divisorem sa -- bx' - e - ' I) αα H, qui in simpliciores divi sores haud resolvi potest; & consequenter si fluens datae fluxioni, inueniri possit finitorum terminorum, Imarithmorum, Sc circularium arcuum Ope; tum quaedam Pars fluentis erit α κ log. Η a
quantitates inveniendas denotant; & c ',' & se j &e. sunt irrationales quantitates in praedicto simplici divisore m eona tentae : α sic de pluribus simplicibus divisoribus in denuminatore data fluxionis
126쪽
suxionis contentis argumentari liceat: a '. pro singulis irrationalibus quantitatibus lx in data fluxione substituere liceat a X log.
ubi litera s integrum denotat numerum, Sc A, B, C, D &c. sunt rationales functiones quantitatis x'; pro parte fluentis quaesita: δ' si vero sit Π ubi t sit integer numerus, eaedem quantitates Pro toga
rithmicis partibus fluentis assumendae sunt. Hactenus de togarithmicis partibus fluentis; quarum, si aliquis evadat impossibilis, ea ad circulares arcus reducenda est. Nunc quoad partes fluentis, quae finitos terminos recipiunt; I '.
observandum est in iis haud contineri simplicem divisorem datae flu-Xionis denominatoris, qui non habet alterum sibi ipsi aequalem;
ergo, si talis divisor in denominatore contineatur, numerator partis fluxionis, quae per finitos terminos detegi potest, per eum divisorem dividi queat: quoad reliquos denominatoris terminos, & irrationales datae fluxionis numeratoris terminos, fluentes assumendae sunt per methodos in prob. 4. traditas; e. g. sint quantitates in denominatore a' --Fx'-Φ- dcc.)', &c. & in numeratore sc -- dcx' - &c. )t, &c. tum pro parte fluentis quaesita ad eas referta, & per finitos terminos investiganda, assumatur a --b, &c. κ d,'--5cc.) Ο κ λ--
stigandae: id sic de pluribus quantitatibus hujusce generis. Inveniantur fluxiones singularum praedictarum fluentium, deinde fiat earum summa datae fluxioni aequalis ; & ex aequatis correspontadentibus datae fluxionis & praedictae summae terminis deduci potestrius fluens; quae in hoc ex. erit lo . a --b X -- . ς dx'y κ g- bae') ; si modo per finito. terminos quantitatiqM, logarithmos & circulares arcus algebraicarum functionum praedictae quantitatis x' exprimi possit.
127쪽
In plerisque cassibus praestat, ut negativi indices ex denominatore
gebraicae functiones quantitatis x; tum erunt dimensiones quantitatis x in denominatore et major es qUam ejus di einsiones in numeratore P per unitatem; ni dimensi laesi quantitatis X in nulluTa ore αaequales sint ejus dimensionibus in P, in quo casu dimensiones denominatoris et superant dimensiones num Moris per quantitatem majorem quam Unitatem. 1 H E O R. VII. x FI. Sit 2 ., ; erit x v, ubi G sit invariabilis coessiciens ad ii bitum assumenda. e linis in ix
Cor. Hinc fluxio xὶ nullius quantitatis per suam quηntitatem sx
di Visa eandem habet quotientem, ac nu3io cyj esterius quantitatis per suam quantitatem a divisa; ni x ar. a. Sint duae praedictae variabiles quantitates x dc γ, dc sit. I x erit xx -υ , & e indz x γ' - G. - UI t
128쪽
'U x γ z Vaequatio x3 2 Q xx3 -333; R in genere sint nvariabiles quantitates, id n- I sequationes praedicti generis, & sit fluxionalis aequatio relationem inter x dc 3 exprimens praedicti generis A b ' ;tum sint n i variabiles quantitates & n sequationes praedicti generis,& erit sequatio inter x SCI dc earum fluxiones resultans x A Iγ', si modo γ fluat uniformiter. Ex resolutione suxionalium sequationum quaerendae sunt fluentes
s. E divisoribus denominatoris semper detegi potest, annon fluens datae fluxaenis inveniri Potest ope finitorum terminorum, circularium arcuum, do logarithmorum; constat enim e prob. 4. substitutio, quae necessario continet finitos terminos; & e divisoribus denomina toris, dic. semper constabunt termini, qui involvunt logarithmos &Circulares arcus, ni in casibus hoc theorem. datis, i. e. ubi α- β sit
divisor quaesitus & i , & consequenter β α' in a), ubi a denotat invariabilem quantitatem; ερ sic ubi α β γ sit divisor α β γ quaesitus S u '; Sc sic deince ..
129쪽
In hoc casu iacile constat si modo α fit rationalis algebraica sunctio, & β & γ finitae algebraicae functiones literae x) β γ cse r spective pP & qPl: ubi literae I , ρ & P denotant respective rationales functiones literae x: &c. In detegendis praedictis divisoribus denominatoris: stepe e denominatore in numeratorem ; & vice versa e nUmeratore in denominatOrem, transformari debent irrationales quantitates.
Ni igitur resolutioni obstet vulgaris algebra; semper inveniri potest, utrum fluens cujuscunque datae fluxionis investigari potest ope sinitorum terminorum, circularium arcuum & logarithmorum; necne.
P R O B. XIX. 1. Cenire, annon data suxis, quin es functio quantitatis x in q; serationalis functio quantitaris g), qua es data functio quantitatis X, in z. Asitimatur rationalis functio
' A BE in Ca*--DE3 - Ece. ης mhac functione pro Σ & et scribatur data functio quantitatis x & eius fluxio; & ex aequatis correspondentibus terminis datae & resultantis fluxionis detegi potest, annon data fluxio sit rationalis functio quantitatis et in z. a. Invenire, utrum pradina fluxio, ρ- es functio quantitatis x in x: sit rationalis functio quantitatum 2, v, w, M.; in fluxione rationalis functionis quantitatum X, v, w, ubi litera z, v, W, respectiUe δε- notant datas functiones quantitatis X; necne.
130쪽
vatores in datis functionibus quantitatis x & ejus fluxionis ; & exaequatis correspondentibus terminis datae & resultantis fluxionis detegi potest, annon data fluxio sit rationalis functio praedicta. PROB. XX.
Datis fluentibus xlanum da in formula; invenire aliai fluxiones, quarum fluentes e datis deduci posunt. In fluxionibus, quarum fluentes dantur, pro variabili & eius fluxione scribantur quaecunque functio novae variabilis & ejus fluxio: tum sequitur fluxio, cujus fluens e datis innotescit. Ex. I. Sit data fluxio γ γ κ ἔκ se3' -- b3 - a)-ἔ, ubi r est integer numerus positivu3 vel negativus; tum ex duabus independentibus fluentibus huiusce formulae deduci possunt fluentes omnium fluxionum ejusdem formulae. i. e. utcunque variatur litera r, si modo invariabiles maneant coessicientes a, b, & c; pro v & 3 scribantur in data fluxione x--ρ & x; & ita assumantur coesticientes a, b, e&p. b lac.) x ,.
ut evadat fluxio Bὶ λά, ubi litera b denotat integrum numerum: unde, si fluentes omnium fluxionum formuls υφ-b3 -ε- a)-ἱ detegi Possint, fluentes omnium fluxionum for
mulae A dologi possunt: a. in fluxione pro
έ - - f π ...titatem Vel pro quacunque irrationali quantitate in Prae-- L