장음표시 사용
91쪽
i in O; & in priori casu iidem valores semper earundem radicum Θ ME), in posteriori haud semper iidem valores praedicti in correspondentibus terminis ejusdem correctae fluentis continentur. Et sic de fluxionibus, in quibus plures continentur variabiles quantitates & earum fluxiones. Τ H E O R. IV. Data fluxione Ax), quae est functio quantitatis x in x; scribat ut data sunctio quantitatis et pro x, & ejua fluxio pro & resultet fluYio Bαὶ inveniantur valores quantitatis et, cum x evadat vel in a, vel se qui sint respective α, iS, γ, A M.; & π, ιτ, τ, &c.; inveniantur etiam valores fluentis datae fluxionis inter duos valores a & b quantitatis x) positi ue iisdem radicibus, ut in praecedente regula docetur, in
92쪽
troque casu semper adhibitis: sint α & re duo valores praedicti qVantitatis m, in quibus eaedem semper adhibentur radices, eaeaemquo etiam ac eae in praedictis duobus casibus usurpatae, cum x eVactat Ve- o, Vel b; tum erit fluens fluxionis Ax) inter valores a Gquantitatis x contenta, eadem ac fluens fluxionis Ba) inter valores
si modo adhibeatur signum -: & similiter radices aequationis et Sin 6 erunt 6) 6 cum adhibeatur signum Q. , dc - - I, modo usurpetur signum -: unde inter Valores & 6 quantitatis et duo valores fluentis fluxionis BR) Vi Z. P dc etiamque inter valores - a & - 1 quantitatis et continentur duo valores
93쪽
Cor. Hinc, si modo Ax sit fluxio, cujus fluens vel in finitis terminis exprimi potest, vel non; vel etiam sit fluentialis vel exponentialis,&c. fluxio; & deducatur fluxio Bz, cujus variabilis quantitas est z, ubi et est functio quantitatis x; tum ex hoc theoremate deduci possunt valores quam plurimi fluentis fluxionis sB zὶ inter α & π, β & 6
γ & ir, &c: valores quantitatis et contenti, qui erunt inter se sequales, si modo correspondentes radices in α & π, β & ρ, γ & ir, &c. irrationalium quantitatum in fluente L. BZ contentae, respective, ut prius docetur, sint eaedem. Cor. a. Consimilia etiam applicari possunt ad casus, in quibus xest functio quantitatis E e data aequatione relationem inter x & et exprimente deducenda; etiamque ad casus in quibus plures variabiles, quantitates & earum fluxiones Primi, secundi, &c. ordinum in data fluxione continentur.
quantitatis x in x inter valores a ta b quantitatis X contentam; cum inter valores a Gy b contineatur valor vel valores α, β, γ, δ, &c. quantitatis x, in quibus evadat X O; vel valores Vr, ρ, ir, τι &c.), in quibus X evadat in ira quantitas, di consequenter X O: in X - o Y o semper e; dem adbibentur radices se. g. quadratica - - - , Sc.), e demque etiam ac eae in quantitatibus ex substitutisοὸ quantitatum a ta b pro x in praedictd quantitate X exortis; ut in rheορ. 3, si' 4. docetur.
94쪽
I '. I. Si fluens vel quantitas V continua, i. e. quae in ea eas lem radices involvit, ex valore sa) quantitatis ae ad valorem b, semper stilaita & possibilis; scribantur a, γ, h, ir, &c., b successive pro x in ilia ente IV, & resultent quantitates A, P, R, S, T, &c., B; inveniantur differentiae A - P - λ, P - R - μ, R- S - ν, S- T π,&c.:
summa omnium quantitatum λ, μ, ν, &c. assirmative sumptarum sit Σ; tum erit Z fluens quaesita. aqq. Scribantur v- γ, v -- δ, &c.; v - ρ, υ - ος, &c.; Pro x in data quantitate W, ω resultent quantitateS Γ, Δ, &c.; Ρ, Σ, &c.; reducantur hae quantitates in convergentes series secundum dimensiones
- - &c., SQ in lac. - &c.; ubi . , &c.; I, 7, &c. sunt fractiones ad minimos terminos reductae: in his seriebus & quantitatibus ut in
theor. 3, & 4. docetur, semper adhibendae sunt eaedem radices: i. si omnes numeratoreS m, m , m &c., r, , , &c. sint pares, & consequenter denominatores impares; tum in fluente W pro x scribantur a & b; & differentia inter quantitates resultantes A & B erit fluens quaesita. a. Si omnes numeratores 1 ' Vel m 'φ' r Φ m kΦ . . . . m - vel ruΦe, praedictarum fractionum inter m ' vel HL Sc m vel H ' positarum, sint pares; quorum correspondentes valores quantitatis x sint respectative e, f, g, ... st: tum in fluente W pro α' scribantur e & & differ
entia E - Κ inter quantitates resultantes E dc K erit fluens quaesita. Si denominator sit par, tum evadit fluens impossibilis. Si numerator & denominator sit impar; tum inveniendae sunt flu ςntes utrinque, quae incipiunt ab eodem puncto.
FIG- α. 3. Sit fractio I - - vel 1 - 2, &C. Vel st, Vel assirmativa quantita ; tum erit fluens inter a la b contenta, infinita: duae autem hujusmodi fluentes semel, vel bis vel ter, &c. Occurrent, quarum dii-erentia non erit infinita. e. g. Sit curva ba rabi, cujus crura in infinitum.
95쪽
infinitum pergentia bas&gbi, sint continua; la consequenter in functione abscisiae, quae designat ordinatas am & bn ad praedicta crura,
eaedem radices involvuntur; tum erit differentia inter duas areas
famol &gbnol semper finita quantitas.
. Si vero continuus valor quantitatis X; i. e. quae easdem radices semper involvit, inter valores a & b variabilis quantitatis vel abscisisex evadat impossibilis; tum inter valores a & b non continetur possibilis fluens vel area. FIG. β. 3. Quamvis curva a πρb continue progreditur a puncto a ad punctum b; tamen nec ordinata am; nec area am αμ, amβν,&c. proprie dici potest continuari a linea iam ad lineam bn. o. In investigandis diversis Ordinatia αμ, αμ&αμ , vel β ν, ρ. , β Π,&c. ad eandem abscissam semper usurpantur diversae radices in functione abscissae, quae exprimit ordinatam : ab ordinata a m ad ordinatam rebeaedem radices semper usurpandae sunt in functione abscissae, quae exprimit ordinatas; & m functione abscissae, quae eXprimit areas curvae: in functionibus abscisiae, quae exprimunt ordinataS & areas curvae ab ordinata ob ad ordinatam πι eaedem semper continentur radices, at non omnes eaedem cum iis, quae usurpantur in iisdem functionibus ab ordinata a m ad ordinatam Γ: Ordinata πύ evadet eadem, utrum hae vel illae radices usurpantur: ab Ordinata ad ordinatam bn eaedem radices, sed non omnes eaedem cum iis, quae in hoc vel illo praecedente casu, i. e. in praedictis functionibus usurpantur. Eadem, quae asserimus de areis do ordinatis, aeque ad Ruxiones &fluentes applicari possunt. F1o. Ad has res magis illustrandas: sit curva continua, quae tria habet continua crura; nempe m b c d gb ἐυqrn & αβν &requiratur area inter ordinatam iam & Ordinatam bae contenta. imo.
inde area inter asymptoton or crus bl dc abscissam ho contenta: etiamque area inter asymptoton eandem Oi, crus D & abscissam ορι si haeduae areae sint infinitae, tum summa areae inter am& bn erit infinita: disterentia autem inter has duas areas io hi & Ipol semper erit finita; ultimo
96쪽
ultimo inveniantur areae φρr & rnb; summa harum arearum erit summa quaesita. 7. Si fluens inveniri possit aliarum fluentium la finitorum terminorum ope ; & dentur casus, in quibus finiti termini & quaedam praedictae fluentes evanescunt; tum in iis casibus detegi potest fluens opereliquarum fluentium. 8. Si diversae radices ejusdem irrationalis quantitatis similiter involvantur in fluente, tum similiter etiam involventur in fluxione , & vico versa si similiter involvantur in fluxione, tum similiter etiam involventur in generali fluente. 9. Si unum crus vel valor fluxionis, quae est functio quantitatis αin x, habeat dimensiones quantitatis x) in denominatore majores per unitatem quam dimensiones ejusdem quantitatis x) in numeratore, tum area praedicti cruris vel fluens praedictae fluxionis non exprimi potest in finitis algebraicis terminis quantitatis x . P R O B. XI. Invenire, quando suens data fluxionis XX; vel area curvae, cusus ordinatas X, evadat impossibilis. Inveniatur, quando ordinata x evadat impossibilis; in quibus casibus fluxio evadit impossibilis, in iisdem casibus fluens etiam evadit impossibilis; si quantitas x iisdem radicibus semper adhibitis)perpetuo maneat possibilis inter duos valores a & b quantitatis x, tum fluens correspondens inter eosdem Valores a & b quantitatis Getiam semper possibilis evadet. Eaedem radices irrationalium quantitatum in ordinata X semper
a. Nonnullae exponentiales, &c. quantitateS A), etiamque fluentes earundem quantitatum Z in x ductarum, &c. continuo evadunt possibiles & impossibiles. e. g. sit ' - - a , ubi e est negativa quantitas:
haec quantitas continuo mutatux de possibili in impostibilem, & vice
97쪽
versa de impossibili in possibilem quantitatem: fluxionis log. -a κ
- ax fluens erit - a , quae etiam continuo mutatur de possibili in
impostibilem, & de impossibili in possibilem quantitatem. P R Ο B. XII. Invenire, utris fures fluxionis Xx), ubi X es functio quantitatis
x inter datam θ' in nitam di antiam contenta; i. e. inter valores initos V in ite magnos quantitatis variabilis γ' ,st ita, necne. Si maximae dimensiones variabilis x in numeratore quantitatis X sint minores per quantitatem majorem quam unitatem) quam dimensiones ejusdem quantitatis sx in denominatore; tum fluens praedicta erit finita, sin aliter non. a. Si correspondentes exponentiales vel quantitates cujuscunque generis ad infinitam distantiam habeant rationem, i. e. singula praecedens ad ejus subsequentem, quae major est quam ratio successivarum quantitatum ad easdem distantias, cum dimensiones variabilis quantitatis x in numeratore sint minores per unitatem quam dimensiones ejusdem quantitatis in denominatore; tum area erit finita; sin aliter vero non . e. g. Sit data fluxio e 'A Xx, etiamque duo successivivatores quantitatis X respective e & e ' ': correspondentes autem valores fractionum ad easdem distantias x &x in I, cum dimensiones quantitatis x in numeratore sint minores per unitatem quam dimensiones ejusdem quantitatis in denominatore erunt ad infinitam distan
e habet majorem rationem ad cum x sit infinita quantitas, quam ergo fluens contenta inter finitos & infinite magnos valores quantitatis x in fluxione e x erit finita; cum e sit major quam I, & x sit affirmativus numerus: etiamque ex iisdem principiis constat
98쪽
Constat praedictam fluentem esse finitam, cum e minor sit quam I, tax sit negativa quantitas, i. e. X sit e': sin aliter non. 3. Invenire, utrum area vel fluens datae fluxionis Xae inter duas finitas distantias vel valores a & b) abscissae x) sit finita, necne.
Primo inveniatur, annon inter duos praedictos valores a & b infinita evadat ordinata X; si non evadat infinita inter praedictos valores, tum area non erit infinita: si vero evadat infinita, cum x - α, tum x - α erit radix denominatoriS fractionis X, quae exprimit ordinatam , pro x in data fractione X scribatur Σ --α,& si minimae dimensiones quantitatis sa) in numeratore Contentae sint minores Per quantitatem minorem quam unitatem quam minimae dimensiones ejusdem quantitatis sa) in denominatore; tum area quoad hoc crus in infinitum pergens erit finita; sin aliter vero non. Et sic de pluribus cruribus in infinitum pergentibus. . Si exponentiales, &c. quantitates exprimentes ordinatas X, cum evadant infinitae, ad correspondentes distantias abscisis sa) evadant
minores quam omnes quantitates , Ubi d est data quantitas & z fere o; tum area vel fluens s Xx est finita quoad hoc crus, sin aliter
s. In omnibus his casibus a valore a ad valorem b semper Usurpandae sunt eaedem radices irrationalium quantitatum in ordinata X contentarum. x' x
99쪽
, , in his fluxionibus smin suppo-
aci et a x nitur major quam r vel 1; tum, si re minor sit quam ' per quantitatem majorem quam unitatem, fluens inter finitum & infini tum valorem quantitatis x contenta, erit finita; sin aliter non: et .
b in&c , vel λί- ὰπ 'Gra&c., Vel in b- x ' Σει&cia si n minor sit per quantitatem majorem quam unitatem quam major quantitas vel Vel tum fluens inter praedictos valores contenta erit finita, sin aliter non. Et similiter ratiocinari
ar bx - a H-ιix' x x T H E O R. V. Data fluxione, quae est algebraica functio literae x in x duecta, de quae nullos in se habet transcendentales terminCS; summa ejus fluentis valorum semper exprimi Potest Ppr sinit . t rminos, circulares arcus & logarithmos. Summa enim e singulis valoribus cujuscunque irrationalis quantitatis P nihilo semper erit aequalis, re exinde summa e singulis valoribus stupritis cPxὶ: summam vero e singulis valoribus fluentis
100쪽
Qλὶ, quae est rationalis functio quantitatis x in x ducta, semper inveniri posse finitorum terminorum, circularium arcuum occlogata morum ope, e subsequentibus constabit; ergo constat theorema. E capite primo medit. algebr. constat summam singulorum O-rum cujuscunque algebraicae quantitatis haud transcendentalis este
Data quantisisse vel algebraica vel sitientiali, quae exprimit summam y Hiei secundum dimensones sitem X progredientis; invenire quantitatem alternis seriei terminis aequalem ; Tel denque seriei terminis, quorum di-
I. Si modo series requiratur alternis seriei terminis aequalis ; pro x,
x, x, dcc. in data quantitate scribantur respective π, x, x, bcc. &-x, - - x, &c. emergent duae quantitates, quarum semisumma & semidisserentia erunt quantitates desideratae. 2. Si requiratur summa terminorum, quorum distantia a se invicem sit n. Sint α, β, γ, δ, ε, &c. respectivae radices sequationiS - Ι - ο ι in data quantitate pro x, π, x, d c. scribantur respective αx, απ, α x,&c. iSx, β x, β x, &c. γx,γx,γx, &c. &c. & resultant n quantitates: summa harum n quantitatum resultantium per n divisa erit summa quaesita, i. e. erit summa Primi, n I, an I, 3n I, &C. terminorum. Et sic e principiis in Prob. 27. tertiae edit. & in Praefatione nost. medit. algebr. traditis inveniri possunt summa secundi, n- 2, 2 n et, 3n a, &c. terminorum ; summa tertii, n 3, an 3,
terminorum 1 & sic deinceps: methodus enim, quae invenit summam Praedictorum terminorum seriei ab expansione irrationalium vel fractionalium quantitatum in terminos secundum dimensiones quanti-xδxi. x Progredientes, etiam deteget summam consimilium termino rum suriet progredientis secundum dimensiones quantitatiS x, quae estituens seriei ex expansione irrationalium Vel fractionalium quantitatum in terminos secundum dimensiones quantitatis x progredientes in x ductae,