장음표시 사용
141쪽
142쪽
fluxiones; hae fluxiones enim evadiant eaedem. Si igitur dentur quaecunque r-a Praedictae fluentes, ex hac aequatione sequitur reliqua.
Sit terminus in praediista serie in ubi I est integer numerus, & lm --l- o; cujus fluens F est reliqua ; tum ex praedictis fr- i) fluentibus non deduci potest reliqua G. Cas. 2. Iisdem datis; scribatur et pro fluente fluxionis sa --ba
w- m i) κ nbB anc C--.3 nd D -- &c. -- pnet; unde si modo dentur r - 1 fluentes B, C, D, &c dabitur etiam fluens Cor. Si fluxio constet ex r, nominibus vel terminis in vinculo radicali, id dentur r - I fluentes praedicti generis; dabuntur etiam,
bantur in data fluxione successive quicunque integri numeri; oc idontur α - β γ &c. fluentes independentes resultantium fluxionum, ubi literae α I, β 1, ν - i, &c. respective denotant numerum terminorum in quantitatibus R, S, T, M. contentorum; tam dabuntur fluentes omnium praedictarum fluxionum resultantium
Constat ex principiis in priori exemplo traditis:
143쪽
Cas. . Datis singulis fluentibus fluxionum a -- bU-
e fx' gx ' &c. N. P mryx, ubi r integrum denotat numerum; datis etiam fluentibus: 1 - 1ὶ suxionum hujusce formulae
gx &c. contentorum, & t & v integros denotent numeros; exinde inveniri possunt fluentes singularum fluxionum hujusce formulae. . Eadem etiam principia facile applicari possimi ad omnes algebraicas fluxiones utcunque com sitas.
κ '. . x ' κ Px; per regulam datam ex Di q)fluentibus formulae κ κ κx inter se independentibuqubi literae et , e & ir quoscunque integros denotant numeros, deduciossunt omnes aliae ejuidem formulae; at quoniam R κ κ
144쪽
&c., & nullum habeant inter se communem divisorem a etiamque singulae nullum habeant divisorem, qui est quadratus x - - σ)φ, Vel cubus &c.: tum raro ex paucioribus quam α - - β εγ Φ' &cJ fluentibus fluxionum inter se independentibus, formulae
Rφαλ κ κ T ιαν κ - lx - e x &c. , ubiliterae λ, μ, ν, &c., & ir inte os denotant numeros, semper deduci possunt fluentes omnium fluXionum ejusdem formulae. Hue etiam applicari Possunt consimilia iis, quae in theor. praecedentibus traduntur. 6. Sint sa -- cx &c.. x x 'δ x, ubi er est quicunque integer, & m & λ qescimque integri affirmativi numeri; tum ejus fluens semper vel inveniri potest, vel solummodo exigit fluentem
Constat ex reducendo fluxionem datam in seriem secundum dimensiones quantitatis x progredientem. . Si vero mi assirmativa quantitas haud sit integer numerus: at 'λ&α sint integri assirmativi numeri; & tum ex fr-1ὶ fluentibus fluxionum formulae a -- bx' - cx -- . . in α' -κ datis, deduci possunt omnes reliquae fluentea ejusdem formulae r sed ex praedictis r-1 fluentibus non deduci Possunt omnes fluentes formoli a bH cx' - .. - κ' γκρ' ae; sed ex μ) fluentibus in ter se independentibus, i. e. quM nec in finitis terminis, nec a se in vieem exprimi possunt, formulae so b in . . - κωpη νη-ix deduci possunt omnes fluentes ejusdem formulcet etiamque ex omnibus, i. e.'infinitis fluentibus fluxionum formulae fa bae'
Literia S, T, M. easdem quantitates ac in cas S. a. denotanti bus ; sint mi &c. integri assirmativi numeri λ α ρ, &c., non inteari numeri : tum fluens omn4s fluxionis formulae , Rαρ καμ μ &c., ubi λ ammati a numerus, colligi potest ex
145쪽
βρ γ &c. in diversis fluentibus praedime formulae inter se independentibus: a. etiamque ex singulis, viz. infinitis fluentibus formulae
8. Sit p integer aflirmativus numerus, tum ex α -- β - γ - &c. - 1) fluentibus inter se independentibus formulae κRφελ κSρεμ κ T κ &c. κ ubi literae ir, λ, ii, &c. sunt assirmativi numeri, & m, o, i,&c. affirmativae quantitates, deduci possunt fluentes omnium,fluxionum ejusdem formulae; at ex fluentibus omnium fluxionum hujusce formulae non deduci possunt fluentes omnium fluxionum formularum, in quibus praedicti numeri σ, λ, ει, ν, dcc. fiant negativi.
Υ H E O R. X. Saepe per substitutionem acquiri possunt particulares formulae generalis fluxionis, quarum fluentes e paucioribus inter se independentatibus quam per regulam assignatis, deduci possunt; e. g. sit fluxio a bH 'x' quae ex una data fluente hujusce formulae acquiri potest, ubi literae α & β integros denotant numeros: in ea prox' scribatur c in det' -- e κ' & resultat fluxio a in be -- bda hὸ ΔΜ )λ- κ se in det: --ez' y x dZ ae ν' ')z: unde fluentes omnium fluxionum hujusce posterioris formulae erui possunt ex fluente unius datae fluxionis ejusdem formulae. Τ H E O R. XI. 1. Sit x κ a hx' - ubi literae α, β & m respe ctive denotant affirmatiVOS integros numeros: tum ex datis fluentibus
N. i) inter se independentibus nuXionum hujusce formulae, ubi summa α β π nunquam major est quam N; detegi possunt fiuentes omnium fluxionum praedictae formulae. Hoc theorema ex iisdem principiis; ac ea, quae in prob. 22. traduntur; deduci potest: e. g. sint P a A Auexin R
146쪽
inceps. a. Sint v & ni integri numeri, & δε eorum maximus communis divisor; et iamque sit, major numerus v vel tum ex ν independentibus fluentibus fluxionum formulae x α' βm se cx hoπx datis semper acquiri Possunt fluentes omnium fluxionum ejusdem formulae, vi Z. sa -- bx'-c x ) π x. a. a. Si vero n & m sint fractiones, c.; reducendae sunt ad mini-
mum communem denominatorem r), & evadant & -; inveniatur
maximus communis divisor numeratorum μ dc bc sit ν major numerus - vel tum ex b independentibus fluentibus fluxionum praedictae formulae semper deduci possunt fluentes omnium fluxionum ejusdem formulae. 3. Sit fluxio κ)Φ η'β η γ εδ εφφ κ a --brincW-dU--e &C.) ' x, in qua α, β, γ, δ', &c. & π reperiuntur integri affirmativi numeri: sit α - β -- γ-- &C. -- π n Umerus non major quam tum fluentes omnium fluxionum hujusce formulae inveniri possunt ex fri
π tasPζctive integros denotant assirmativos numςrp. ; facile deduci possunt.. N
147쪽
1. Sit fluxio XI. Υx, ubi X est fluxio, cujus fluens semper inveniri potest; & sit numerus fuentium inter se independentium in formulis fluxionum rx & Xri contentarum, respective m & r ; e quibus detegi possunt omnes reliquae earundem formularum; tum ex sm in r) fluentibus fluxionum XI. N inter se independentibus detegi possunt omnes fluentes ejusdem formulae. Constat ex eo, quod fuens datae fluxionis in Υx -s Dx; &si modo dentur m independentes fluentes fluxionis ri, per hypothesin dabuntur omnes; & similiter si modo dentur r) fluentes indepen
κ χ &c. x x Mo I: numeri independentium fluentium in formulis fluxionum 1 x & IVx contentarum erunt respective α - β - γ - &c., & οι - β -- γ &c.; ergo numerus fluentium inter se independentium, quarum fluxiones datam habent formulam, non potest esse major quam 2 α - β - γ - &C. . Si k - θ αρα in, ubi I est integer numerus ; tum Praedictus nume rus non potest esse major quam α -- β - γ -- &c. a. Sit fluxio rx r, ubi S o in bX' i cx''. . . 'κ -- ρα --rx . . . t xD ' x x x; assumatur I .f-i- Bx -- Cin
sunt qu cunque integri numeri; tum ex datiS fluentibus δ--ε &c. suxionum so multa I x haud a se invicem pendentibus, in quibus
148쪽
τ, υ, &c, & ξ haud eosdem habent valores, erui possunt fluentes singularum fluxionum formulae praedictae 1 x, deinde ex singulis fluen-xibua fluxionis γω datis & ex fluentibus α - β - &c. --- δ- - ε - &c. nuXἰOnum formulae raes)x haud a se invicem pendentibus, in qui hu4 π, ρ, &c. & ο ; τ, υ, &c. haud eosdem habent valores, erui possunt fluentes singularum fluxionum formulae r x I I x. 3. Consimiles propositiones etiam deduci possunt de fluentibus superiorum ordiniam ; fazPe enim reduci possunt in fluentes primi ordinis. e. g. Sit fluxio xκfrxκf. Zx ; Sc x x π α 5c x Z x fluxiones, quarum fluentes detegi possunt, i. e. sint f. x Mi. xπα
π, ρ, tr & τ; tum ad Plurimum eX--- ρ -- σ -- τ) fluentibus inter se independentibus datae fluxionis detegi possunt omnes fluentes ejusdem formulae.
. Sit data fluxio n. Υxf. Zx cujus fluens V. 1 aes Zx-sXΥxfZx: sint X, Z x & Xra fluxiones, quarum fluentes detegi possunt,
i. e. sint respective X, α & β. Inveniatur numerus fluentium inter se independentium, ex quibus detegi possunt omnes valores fluentium Z x, α Z α 5c β Z x qui sint respective π, e & ir ; tum ex sας - ρ ir ad plurimum fluentibus datae fluxionis inter se independentibus semia per detegi possunt fluentes omnium fluxionum ejusdem formulae.
ubi per X & Υ denotentur eaedem ac prius quantitates ; tum quod Prius traditum fuit de fluentibus fluxionum n. Υx, etiam ad fluen tes fluxionis pae applicari potest. Facile constant casus horum theorematum, in quibus e minore numero independentium fluentium quam PQr haa regulas assignato deduci possunt omnes fluentes datam formulam habentes. N a THEOR.
149쪽
sunt integri numeri; tum ex fluentibus μ) fluxionum praedieta foramulae independentibus, i. e. quae habent μ diversos valores quantitatis b, datis ; acquiri possunt fluentes omnium fluxionum ejusdem
. κρη κ A in BQ in Cx' . . . Ext N ubi Ο & υ sunt qui cunque integri numeri; tum e fluentibus μ - ' ρ -- ξ fluxionum supradictae formulae independentibus erui possunt fluentes omnium fluxionum ejusdem formulae. . Sit exponentialis fluxio ' i - ' κ si ,E ... sa X A - BA'--CA' . . . Exse in 7 κ - PN; ubi ir, et, υ, dic. sunt quicunque integri numeri; tum ex omnibus fluentibus formulae Px datis; & ex π -- ρ -- ξ) independentibus fluentibus flu xionum Armulde . a b x' - ' .. - hx ' ri P x, ubi r est etiam quicunque integer numerui; acquiri Postiant fluentes omnium fluxi Onum ejusdem formulae. Facile constant hae propositioneS.Cor. I. Sit exponentialis fluxio er 'ae, cujus fluens detur, tum
150쪽
numerus: signum αα erit si π sit par; sin aliter a. Sit π negativus numerus, & erit L. x- e M -
. . - Η P: signum et in hoc casu
etiam erit se, si or sit par ; sin aliter -. Ea, quae prius tradita fuere de algebraicis fluxionibus, aeque adnuentiales applicari possunt. PROB. XXIII. i. Sit fluxio '' 'x, invenire fluentem inter duos valores ο Sc - Θ quantitatis α' contentam. In fluente ex. 3. prob. 2 a. inventa pro κ' scribantur respective o &ὶ ; & erit resultantium differentia