장음표시 사용
171쪽
Supponantur α, γ, δ, &C. diversi Valores variabilis quantitatis νin data algebraica sequatione; quibus substitutis in fluxionali, laeorum fluxionibus pro incognita quantitate F S ejus fluxionibus; resultant quantitates A Q ὰρ H &c. in &c. A ιῖ' β β γ &c. &e. q, γ t γ'&c. - &c. &c. ducantur hae quantitates continuo in sese, & contenti prob. et s. ope inVeniatur aggregatum, quod nihilo fiat aequale, & resultat aequatio quaesita. a. i. Duas fluXionales aequationes A in o 5c B in o in unam transeformare, ita ut variabilis quantitas I & ejus fluxiones exterminentur.
Sit di fluxio variabilis quantitatis F, cujus ordo π est maXimus eorum, qui in datis sequationibus continentur; & sint duae aequationes Aym B, - . - - &c. & bae ' - &c. o, ubi A, B, C, &c. B, b, c, &c. sunt quaecunque functiones Variabilium sci , et, &c.) & earum fluxionum, & quantitatum v, Τ, γ, &e. usque ad I; per methodum in algebraicis aequationibus traditam ita reducantur hae duae aequationes in unam, ut exterminetur fluXiOF; & resultat aequatio fluxio
nem di haud involvens; deinde inveniatur fluxio sequationis resultan
tis, quae contineat in se nuxionem y; hujus aequationis ope & alterius, quae continet in se simplicem potestatem fluxionis F, exterminetur
fluxio 3; & resultant duae sequationes solummodo involventes fluxio
nes λ, γ, &c. γ, &c. in quibus haud continetur fluxio I: deinde eo
dem modo exterminentur fluXiones sy, γ, &c-) & tandem extermi nabuntur quantitas 3 & ejus fluxiones. a. a. Sint γ&γ fluxiones maXimi ordini quantitatis ν praedictarum sequationum A in o&B o respective, & sit A minor quam inveniatur nuxio ordinis v - ρ aequationis B o; & resultet fluxionalis
172쪽
nalis aequatio Cino in qua continetur praedicta fluxio 3 ordinis π; reducantur duae sequationes Amo & C - o in unam, ita ut exterminetur flux1o γι & resultat aequatio D o haud involvens F; eulus sit fluxio γ maxime superioris ordinis: si Q major sit quam ρ,
tum inveniatur fluxio ordinis α' - ρ aequationis B o, & resultet aequatio C - o; deinde reducantur duae sequationes D - Ο &ς oin unam, ita ut exterminetur fluxio& sic deinceps: unde per hanc& praecedentem methodum tandem exterminabuntur variabilis quantitas 3 dc ejus fluxiones. Cor. Sint duae fluxionales sequationes Amtao & B o, in quibus fluxiones maximi ordinis quantitatis 3 sunt respective 3 Sc); deinde reducantur hae duae aequationes in unam, ita ut exterminentur quantitas 3 & ejus fluxiones, & resultet aequatio C - o; tum in aequatione C - o haud continentur fluxiones superioris ordinis quam fluxio su)ordinis quantitatum & fluxionum in sequatione B o contentarum, ερ fluxio ) ordinis quantitatum & fluxionum in sequatione H - o
a. Consimilia etiam praedicari possunt de ordinibus fluxionum in Q aequationibus resultantibus ex reductione sn) aequationum, ita ut exterminentur variabilis quantitas I & ejus fluxiones. a. Et sic de n aequationibus in unam transformandis, ita ut η- 1ὶ variabiles quantitates & earum fluxiones exterminentur. . Sint n fluxionales sequationes si o, b o, c o, &C.; r, de,&c. ordinum respective; reducantur hae fluxionales sequationes in unam, ita ut exterminentur n - I) variabiles quantitates & earum nuXiones, & non necessario resultabit fluxionalis aequatio superioris quam m-r s -- &c. ordiniS.Cor. Ex hac methodo transformandi aequationes, ita ut variabiles quantitatea exterminentur, irrepunt in transformatas aequationes valores, qui in datis aequationibus haud inVeniuntur; eodem modo, qUO
173쪽
in algebraicas aequationes per consimilem methodum transformatas irrepunt Valores, qui in datis haud inveniuntur, ut constat e prob. 3I. medit. algebraic. e. g. Sint duae fluxionales sequationes -- z )γ - Σ - o, & x in f) κἰ - x o; ita transformare has duas fluxionales sequationes in unam, Ut exterminetur z & et: in una sequatione a ducitur in I, in altera in x'H-f; ducatur respective singula sequatio in coesticientem fluxionis Q, quae invenitur in altera;
tur valores, qui in clatis baiad continentur, ViZ. in his resultantibus aequationibus inveniuntur omneS Valores, qui in datis continentur,
etiamque valores, qui in aequationibus x 'im o & H- , ) κα-μω- ο inveniuntur. Et sic inveniatur fiuXio aequationis Q--Σ ) κ χ'
x P ae)γ bH 'x in x' et; b - x o; haec vero Sc datae sequationes x - et x o habent omneS Valores, quos habent aequationes x -Z ) κ F- --do &tibi litera denotat invariabilem quantitatem ad libitum assumen dam, & v quantitatem, quae fluit uniformiter: e resultante & data aequatione inveniatur aequatio, in qua haud continetur fluxio Ei & e praecedente methodo inveniri possunt valores in duabus resultantibus aequationibus, in quibus haud invenitur z, qui in datis haud inveni untur ι & sic repetitis operationibus tandem ita transformabuntur aequationes, ut exterminetur z; & eadem methodo argumentandi continuo repetita, tandem deduci Possunt Valores, qui in resultante aequatione inveniuntur, haud Vero in datis aequationibus.
Et sic de pluribus aequationibUS in unam transformandis, ita ut exterminentur duae vel plures incognitae quantitates. Hoc problema aliter saepe resolVi potest e multiplicatione datarum sequationum in assumptas quantitates, quae reddunt quantitates evanescentes, quaa Signi Problema. Sed de his nimis.
174쪽
Et silc de pluribus aequationibus plures divisores habentibus. P R O B. XXVII. Da a fluxionali gyuctione; in Iure ut u ea reduci potest iu duas
ubi χ fluit unimrmiter Hae fluton s aec atta continet duos
nuens prioris fluxionalis aequationis erit xy o, quae correcta bx o, ubi litera b quamlibet invariabilem quanti- QR idt: fluens vero hujus aequationis erit 3 -- x - - b κ lost . . qWδ' Correcta fit ' x -- b κ log. x - o, ubi c denota 'l ζt invariabilem quantitatem: fluenS Vero Posterioris aequa
ci inpunctae quantitatem denotat; unde data sinion lis
175쪽
tis aequatio duas independentes recipit solutiones, viz. y --x - - , κ
log. x c o, Vel . I A o : haec fluxionalis sequatio ad resolutionem duorum diversorum problematum respicit: in multatis casibus, si fluxionales sequationes diVersos habeant ordines, fluxio nates aequationes superioris ordinis solummodo pro resolutione problematis habendae sunt.
Si fluxio st maximi ordinis in data fluxionali aequatione plures n)
habeat radices: inveniantur singuli n) valores praedictae fluxionis j, & resultant su) diversae fluxionales aequationes, quarum fluentes requirantur.
Cor. 1. Hinc facile deduci possunt infinitae fluxionales sequationes, quae diVidi possunt in alias: assumantur enim fluxionales aequationes, quibus in sese ductis, exorietur fluxionalis aequatio, quae lacile reduci potest in assumptas. Cor. a. Data fluxionali aequatione involvente variabiles quantitates x & 3 & earum fluxiones; data etiam alia fluxionali aequatione habente duas variabiles quantitates Q & υ & earum fluxiones ι invenire an non E eadem est functio vel algebraica vel fluxionalis quantitatis C, ac litera x est quantitatis F: Pro z & V dc earum fluxionibus scri bantur x &γ & earum fluxiones respective; deinde inveniatur, utrum hae sequationes resultanteS communem habeant divisorem, necne; iacon fit coroll.
Τ H E O R. XV. Datis duabus fluxionalibus aequationibus relationem inter z, γ, κ& earum fluxiones exprimentibus; ex iis deduci Possunt duae aliae in finitis modis, quarum Variabiles quantitates eaedem sunt. Ducantur datae sequationes in quascunqVζ quantitates, deinde addantur vel subducantur a se inVicem, & resultabunt aequationes quaesitae.
176쪽
Dμ σπ mlvationem fluentem involventem in fluxionalem reducere, in qua nulla continetur fluens. i. nuens ducatur in Iariabilem quantitatem, dividatur aequatio Per Illam quantitatem, mVeniatur fluxio quantitatis resultantis ta
r. a. Si autem majores sint dimensiones nin fluentialis quantitatis exterminandae, vel altior sit ordo m in ejus fluentis; tum opus est toties n) vel sm) ordinis inveniendi fluxionem datae aequationis. Ex. I. Sit data aequatio ' -nu. ay x'ὶxino; requiratur hanc aequationem ita reducere, ut exterminetur fluens Lin x a') . x. Haec fluens ducitur in variabilem quantitatem x in a) . x, dividatur data aequatio per hanc quantitatem, & resultat aequatio - x a). x . R. in a rex')x o. Inveniatur nuXio aequationis resultantis &exterminabitur fluens praedicta.
& resultat sequatio a fluentibus libera. EX. 3. Sit data sequatio x - - γη -- se in dx) Xs sa* in xy)x q. fluen. x V a*-sex ) η - οι maximae dimensiones fluentis Vsayinx )ae inVeniuntur duae, viz. fluen. x a -- xy))', sed had maximae dimentasiones In nullam variabilem quantitatem ducuntur, ergo inveniatur
fluxio datae sequationis, quae erit a x x -- 237 -- fisa
177쪽
. o. In hac sequatione s. ay -- x )x ducitur in variabilem quantitatem au- in ax*-- κx; dividatur inventa aequatio per hanc quantitatem, & resultat f. M say -- xy) o; hujus aequationis inveniatur fluxio, & resultat fluxionalis sequatio a fluentibus libera. Cor. I. Et sic iteratis operationibus de pluribus fluentibus exterminandis. Cor. a. Facile constabit ordo, ad quem assiirget aequatio a fluentialibus quantitatibus libera.
Cor. 3. Si quantitates irrationales Utcunque ex his Rcientibus compositae in data sequatione contineantur, tum Per meditationes alge
hraicas ab irrationalitate sua liberari potest sequatio resultans. 2. Haec methodus autem transformandi sequationem, in qua plures inveniuntur dimensiones sn) fluentialis quantitatis eXterminandae, invenit fluxionalem aequationem superioris ordinis, quam necessario exigat problema ι subsequenti igitur methodo uti oportet; sit fluens fluxionis Q quae dicatur V, quantitas exterminanda; & sit data
V, & confit prob. Eadem operatione saepius repetita tolli possunt duae vel plures fluentiales quantitates e data aequatione; etiamque fluentiales quantitates superiorum Ordinum.
Si vero irrationales functiones fluentis V contineantur in data
aequatione Aseo, tum e methodo in med. algeb. tradita ita reducantur duae aequationes A - ο & A- st, ut ex ea exterminetur incognita quantitas V. Et
178쪽
Et sic tolli possunt fluentiales quantitates e duabus vel Pluribu Mquationibus plures variabiles quantitates habentibu S. PROB. XXIX. Da a fluxionali inquatioue duas tuo guttas quantitates X U y N ear π/ωx oves tu mente, tu νυώ X Fuit uui Ormifer ; eam ita traus formare, ex ea exterm uentre LV si ut G 'antis x ta ejus sexis. Inveniatur fluxio datae fluxionalis aequationis, & aequatio data &resultans ita reducantur, ut exterminetur fluxio x; aequationis resul antis, in qua solummodo continetur quantitas x sine ejus fluxionibus, & quantitas γ & ejus fluxiones, inveniatur fluxio; & data & poterior resultans aequatio ita reducantur in unam, ut extermineturn xko .unde dylae veniuntur aequationes, quae solummodo continent algebraicas functiones quantitatis x la nullas ejus fluxiones; itat educantur hae duae aequationes in unam, ut exterminetur incognita quantitas x; & resultat aequatio, in qua solummodo continentur quantitas 3 & ejus fluxiones. Cor Data fluxionali aequatione m a ordinis unam solummodo variabilem quantitatem & ejus fluxiones involvente; eam transia
or mare in alteram, terminoS Variabilis quantitatis 3 & alterius x. Quae fluit uniformiter; vel cujus fluxio r ordinis fluit uniformiter, minor sit quam m- - 2 ; Involventem.
Inveniatur fluentialis aequatio datae fluxionalis; fluentiali aequationi adjiciatur quantitas vel fluxio generalis, cujus fluens fluit uniformiter, i. e. quae erit functio fluxionalis quantitatis, cujus fluens uuit uniformiter; & perficitur corollarium. PROB. XXX. DG σyVatione relationem inter duas quam ita ei X U V N ea' in
179쪽
1. Substituantur pro x 23, x Scr, &c. in data sequatione qUpecunque algebraicae functiones literarum Σ & v, & earum fluxionum; &resultant sequationes quaesitse. EX. I. Data aequatione relationem inter praedictas quantitates x ic
& resultat sequatio relationem inter alco exprimens, quae algebraicee data relatione inter x Sc I petenda est. I. a. Si relationes inter quantitates υ & z, x & γ exprimantur per algebraicas aequationes ; tum e reductione Pliarium aequationum in unam, ita ut exterminentur omneS incognitae quantitates praeter a& υ, petenda est relatio inter quantitates et & v.
Datis algebraicis V suxionalibus inquationibus; invenire inquationem, cujus radices quamcunque habeant ab ignabilem relationem ad radices data
Si relatio vel exprimatur per algebraicam vel fluxionalem quantitatem, quae supponatur π); vel per algebraicas vel fluxionales sequationes , tum perfici potest problema e reductione plurium n) sequationum in pauciores n - m) ita ut exterminentur m) incognitae quantitates & earum fluxiones. a. Si vero versetur relatio inter diversos ejusdem incognitae quantitatis su) valores & eorum fluxiones. Inveniantur aequationes, quarum radices sunt respective v, via, υ3. . Q si modo n sit maxima dimensio ad quam ascendat v in data re latione): etiamque aequationes, quarum radiceS sunt v, v*, .. τ'
si modo m sit maxima dimensio, ad quam ascendat v in data relaiione); & sic de fluxionibus superiorum ordinum: e resultantibus aequationibu inust niri possunt per medit. algebr.) sequationes, qua
180쪽
ium radices algebraicam vel fluxionalem relationem quaesitam habent. ἈCor, Constat aequationes hac methodo derivatas multo plures h Z-bζ e radices, quam necessario exigat problema: saepe autem reduCipoliunt per methodum divisores inveniendi. 3. Hoc problema saepe recipere potest resolutionem e substitutione datae vel datarum aequationum; etiamque singulos ex deducendo Va-Iores Per infinitaS serieS, & exinde quaesitas radices investigando
ό ς' si j H. in sit Praedictae formulae; vel solidum
e X eius rotatione circa aXim suum tanquam basima generatum: vel
Iluens nuxionis, quae est rationalis functio quantitatam x Sc ' in x vel j, &c. ducta; exprimi possunt ope finitorum terminorum abscissis& ordinatae, & earum circularium arcuum & logarithmorum. Et sic progredi liceat ad aequationes, in quibus solummodo conti nentur termini n, n I dc n-2) dimensionum ; & sic deinceps. in Sit data sequatio a)' - ba' ' x -- cI ρx' - - &c. -- αγ 'x -Φ- γγ μα- -- &c. - o, in qua solummodo continentur termini n & m) dimensionum. Scribatur F Xz, qua quantitate pro eju4 Valorer in data sequatione substituta, resultat s az b . Ra