장음표시 사용
201쪽
- - r l)Τ x '' x --- t c x o & r b x γ x s' - n) b x γ 'γ Η-r c x , V - nc x 'F - n o; quae duae fluxionales sequationes easdem praebent fluentiases. In hac sequatione duae vel Plures sunt invariabiles quantitates ad libitum assii mendae.
Et sic de fluxionalibus aequationibus superiorum ordinum, di pluribus arquationibus. P R O B. XXXVI.
Corrigere suentes in genere. I. Datis quibuscunque fluxionalibus aequationibus; & quantitate, quae est fluxionalis fundi io literarum in datis fluxionalibus aequatio nibus contentarum ; datam quantitatem generaliter corrigere.
Sit data quantitas fluxio sn) ordinis; dc υ fluxio n-I ordinis, quae
fluit uniformiter; tum correctio primae fluentis erit a X v, ubi literaa invariabilem quantitatem denotat; si vero V sit prima fluens data
quantitatis, tum erit prima fluens correcta V a v: sit is fluxio n a ordinis, quae fluit uniformiter, & correctio secundae fluentis erit s. ati' -- beto, ubi b denotat invariabilem coessicientem; sit IV fluens fili
deinceps. a. Fluentialem aequationem in genere corrigere; IU'. ducatur utraque datae sequationis pars in eandem quantitatem; inVeniatur fluens
sequationis resultantis si modo fieri Possit , qux sit fluxionalis aequatatio n -i in ordinis; alteri parti aequationi. fluentis inventae addatur
vel subtrahatur quantitas a U, ubi G denotat invariabilem quantitatem, & v denotat fluxionem n - I ordinis, quae fluit uniformiter; &vere corrigitur praedicta sequatio, & vera etiam est fluentialis aequatio, quam
202쪽
quam designat data fluxionalis: eodem modo inveniri potest correctio a quationis resultantis; & sic deinceps. ἔ- Sit data fluxio ara 3 xφx, cuius fluens est yy in x ; al- . ij 'R P' xk R id tur Vel subtrahatur invariabilis quantitas addi bitum assumenda, & erit fluens correcta νη - x a quae est
i aliter fluentialis aequatio datae tuatur enim Pro I m data fluxionali aequation ejus valo a mn & haud resultant utraeque aequationis Partes inter se
his; ι-- , y ' Qsolutionibus problematum vel fluenti aequationis e data ducendo utrasique aequotionis parte. neandem & haud diversas quantitates) deductae; & haud quantitati e Praedicta fluente quocunque modo deductae. . , ' βδ' , λψHRli. . quatio P o plures recipiat diris res A, B.
. ' i' ζ' . AA B X CX&c. - o; & inveniantur quantitates α. si ' quae in datas in C, &c. ductae praebent quantitates, quarum
203쪽
Cor. 3. Eadem etiam applicari possunt ad plures fluxionales sequationes plures Variabiles quantitates involventes ; singula enim fluxionalis sequatio corrigenda est praedicta methodo. Et sic de aequationibus, in quibus continentur fluxiones superiorum ordinum. . Cum nulla inveniatur quantitas; quae in datam fluxionalem
aequationem ducta, creat fluxionalem, cujus fluens inveniri potest, tum e data fluxionali aequatione inprimente relationem inter quantitates x & ν & earum fluxiones inveniatur particularis valor 1 2 quantitatis 3 terminis vero variabilis quantitatis x; ut corrigatur valor
quantitatis I inventus, scribatur pro γ ejus valor Υ--X correc. quaesit.); & e data Sc resultante aequationibus inveniatur X terminis quantitatis x, & erit correctio quaesita. Cor. In generali correctione fluxionalis aequationis primi ordinis
eontinetur invariabilis quantitas ad libitum assia menda, secundi vero ordinis duae continentur invariabiles quantitates ad libitum assumendae, & sic deincepS. Eadem etiam applicari possunt ad plure. nὶ aequationes fluxionales plures su in i) variabiles quantitates quorumcunque ordinum in
s. Si vero generalis fluens haud inveniri possit finitis terminis, con fugiendum est ad infinitas series, e. g. data fluxionali sequatione nordinis duas involvente variabiles quantitates x & γ Sc earum fluxiones; e methodo inveniendi series Progredientes secundum dimensiones cujuscunque literae x inveniatur series, in qua continentur su) literae invariabiles ad libitum assumendae, bc erit series vere correcta.
T II E O R. XIX. 1. Data generali fluente fluxionalis . quationis sm) ordinis, quae continet m) invariabiles quantitate. A, B, C, D, &c.) ad libitum assumendas, etiamque r) variabile. quantitates x, γ, z, &c.): datis etiam smin diversis valoribus e singulis r) variabilibus quantitatibus x, , et, &c ); qui sint respective a, &c.; b, b ς, &c.; c, H H, &c.;
204쪽
&Q.; scribantur hi valores a, b, c, &c.; a: Q c &c.; a δ', d, &z.; M.; iei pective pro suis valoribus in data generali fluente, & resultabunt m a quationes totidem m) incognitas quantitates habentes s A, B, C, D, &c ) e quibus deduci possunt quantitates. B, C, D, 6 Q.; quae Pr bent correctiones datae fluentis datis sm) valoribus e singulis variabilibus respondentes. a. Sint duae vel plures n) fluxionales sequationes sm, r, i, &c.) Qrinum respective, tres vel Plures n I in variabiles quantitates X, y, ' &c. & earum fluxiones habentes, in quibus x est constans ; in veniantui genet ales fluentes variabilium F, π, &c.; quae sint F p :
p : x), &c. vel quantitates quacunque alia methodo designatae:& si modo sint m Φ r s &c. invariabiles quantitates ad libitum assumendae in hisce functionibus φ, i ,&c. tum exm r - ό --&c. invariabilibus quantitatibus ad libitum assumendis in una functione φ, deduci possunt m - r - s &c. invariabiles quantitates ad libitum assumendae in singulis reliquis ; vel quod idem est, praedictae invariabiles quantitates in singulis diversis functionibus erunt eaedem.
Data inquatione vel alebratia vel suxionali, cujus radix y exprimit
fummam fri ei a xh bx' cx -&c. secundum di mensiones sileri X progredientis; invenire quantitatem alteruis seriei terminis oeyualem;
U denique feriei terminis, quorum di antia a semetie si e n- I. Si modo series requiratur alternis seriei terminis aequalis; pro x, x, α , &c. in data aequatione scribantur respective x, x, x, dcc. & - x, X, - x, &c. dc exoriuntur duae aequationes, quarum radices sint γ f; & erit summa quaesita : si vero requiratur summa secundi, quarti, sexti, &c. terminorum, erit summa quaesita. Si requiratur summa terminorum, quorum distantia a se invicem sit n ii sint α, β, γ, &c. respective radices aequationis x i' - Ι - o, SC in V a data
205쪽
sita & sic e algebr. inveniri possunt summae secundo, ues' 3, 2n- - , 3n- - S, &c. terminis; summa e tertio, Π - - ψ, an S, 3 n - 6, &c. terminis; & sic deinceps. Cor. Si requiratur aequatio, cujus radix E) est summa alternorum seriei terminorum, cujus summa est I: per prob. 25. inveniantur aeqUationes, quarum radices sunt 3 &,: ergo e duabus resultantibus arqua
Et sic inveniri potest sequatio, cujus radix est h iCor. Eodem modo ratiocinari liceat de pluribus aequationibus plures incognitas quantitates habentibus: sed haud tam facilis vel elegans dici potest hujusce problematis solutio in aequationibus ac inquantitatibus datis: in sequationibus Cnim Plurimae dantur radices, quae minime ad problema resolvetidum attinent. PROB. XXXVIII. Invenire, annon data aquatio W o sit generalis suens datae suxionalis requationis ία - ο) primi ordinis. i. Sit a quantitas invariabilis ad libitum assumenda, quae in data fluxionali sequatione haud invenitur, tum eX sequatione Widio inve
niatur a in V, ubi V est quantitas in qua non continetur litera sa), tum, si p ad minimos terminoa reducta sit quantitas, quae nullas continet fluxiones, erit W o fluens generalis datae fluxionalis aequationis; sin aliter non. 2. Si
206쪽
2. Si non deduci possit a - V reducantur duae aequationes IV oW- ο in unam, ita ut exterminetur quantitas a, & resultet aequatio fluxionalis β - ο); tum, si quotiens ad minimos terminos reducta nullas contineat fluxiones, W - o erit fluens praedicta. a. a. Si quotiens - vel Icontineat fluxiones, reducantur utraeque fluxionales aequationes α mo&β - ολ ita ut fluxiones x, γ, &c )
m us contentae solummodo habeant unam dimensionem, & resultent
quantitates et o & emo, &c.; tum si quotiens ad minimos terminos reducta nullas contineat fluxiones, fluens quaesiita erit W- o. Si autem non ita reduci possint praedictae fluxionales sequationes α - ο &β o, ut solummodo habeant unam dimensionem fluxiones contenta'; tum per medit. algebr. exterminentur irrationales functiones fluxionum x, j, &c.) ex praedictis aequationibus α - ο & β - o, & resultent aequationes γ o & Q deinde investigetur, an non aequationes γ o & δ o communem habeant divisorem, qui involvit fluxiones x & si communem habeant divisorem, tum IV o erit generalis
fluens fluxionalis aequationis α - o; vel in aequatione continetur divisor, qui erit fluens fluxionalis aequationis α - o
. ' β' Q si ςDζr'li 3 fluens fluxionalis aequationis L - ο) ordinis sn), & in ea W o) contineantur su) invariabiles quantitates is, b, c, &c.) ad libitum assumendae; tum ex aequatione o inveniatur sequatio a m V, cujus fluxio Vm o haud involvat quantitatema, deinde ex sequatione V o inveniatur b cuius fluxio V haud continet vel quantitatem a vel b, & sic deinceps; usque donec exterminantur omnes praedictae sn) invariabiles quantitates ad libitum as iumendae, quae in data fluxionali aequatione non continentur; &iesultet fluxionalis aequatio - ο) ordinis sn); tum, si fractio ad minimos terminos reducta, nullas contineat fluxiones ordinis in erit W- o generalis fluens fluxionalis aequationis α o. q. Si
207쪽
. Si non deduci possit a C lcc.; tum reducantur duae aequationes IV ei: o & o in unam, ita ut exterminetur incognita quantitas a, & sic de reliquis b V, &c.; & post syngulas has reductiones resultet fluxionalis sequatio e o Ordinis su), in qua nec continetur literaa, nec b, nec c, &c.: tum, si fractio ' ad minimos terminos
reducta nullas contineat fluxiones ordinis n), erit W- o generalis fluens fluxionalis aequationis α o. 4. a. Si quotientes - vel 'contineant fluxiones ordinis n redu-
cantur utraeque fluxionales sequationes α o & o, ita ut in iis fluxio ordinis nin variabilis quantitatis unam solummodo habeat di mensionem, & resultent aequationes ιr o & γ o ; tum, si fractiones μ
vel - ad minimos terminos reductae contineant nullas fluxiones ordinis sn), erit W O generalis fluens datae fluxionalis aequationis α - o, sin aliter non. . a. Si vero non ita reduci possint praedictae aequationes, ut fluxio oriadinis sn) variabilis quantitatis solummodo habeat unam dimensionem itum per medit. algeb. ita reducantur duae aequationes α o & -ο, ut extetminentur irrationales functiones fluxionum in iis contentarum.& resultent aequationes V o & irino; tum, si β - Ο & i o habeant communem divisorem, qui in se continet fluxionem ordinis n) praedictae variabilis quantitatis, fluentialis aequatio W-o continet in se generalem fluentem fluxionalis aequationis in data fluxio
nati aequatione α o contentae.
s. Si vero dentur plures aequationes fluxionales α - o, β - o, γ o, Scc.; & fluentiales plures Variabiles quantitates habentes; tum per eandem methodum ita reducantur fluentiales aequationes, ut exterminentur n invariabiles quantitates generaliter assumptae,' quae in datis fluxionalibus aequationibus ία - o, β o, &c. non continen-
208쪽
tur, & resultent fluxionales aequationes λ o, μ st, ν ' o, &Q Semne inveniatur, an non datae fluxionales aequationes α o, β o,hh a..is yςfVix'nte4 λ V, μ o, ν o, &c. habeant commu-Πςm Givuorem, qui continet fluxionem sn) ordinis, quod per medit. gςPi, pei fici potest: ex reducendo fluxionales sequationes, ita ut eXerminentui irrationales functiones fluxionum maximi ordinis in
s. Hoc problema nonnunquam resolutionem recipere Potest ex lubititutione valorum nonnullarum incognitarum quantitatum & earum fluxionum ex datis fluentialibus aequationibus deductarum pro luis valoribus in fluxionalibus sequationibus, & si nihilo evadant
β qu les praedictae fluxionales aequationes; tum fluentiales erunt res utiones fluxionalium sequationum, sin aliter non. Quamvis quantitates ex data fluentiali aequatione acquisitae, & inata fluxionali substitutae, eam reddent nihilo aequalem; attamen nonnunquam data fluentialis aequatio non vere dici potest fluens datae Πu ionalis, ex eo quod in generali fluente non continetur; & quam-Vi. nonnunquam etiam in generali fluente continetur, attamen varia-Dλies quantitates ex assumptis evadant invariabiles, tum non propries h 'Hδ H ' ηiQ 'li* NqVRGOniS, nam omnino contradidit Prinest nuxionalis aequationis; hoc semPer evadet, ex eo quod aliqua quantitas in resolutione assiimitur invariabilis vel nihilo aequalis
Vel penitus ex sequatione ejicitur, quae in aequatione variabilis supponitur. e. g. Sit data fluxionalis sequatio α P - βPq tum P strat fluens fluxionalis sequationis αἴ o, & non fluens fluxionalis KqW'tionis βPj - ο, ni P sit functio quantitatis ρ, dc consequenter Π0nnuens datae fluxionalis sequationis; attamen, si modo scribanturq P o pro earum valoribus in data fluxionali aequatione
αPH βPy o, tum proprie evanescet terminus αP o, eX eo quod P o; etiamque evanescet terminus β Pq, ex eo quod P o, at non proprie; nam in data fluxionali aequatione q supponitur variabilis; .sed.
209쪽
sed in assumpta aequatione pro particulari Valore penitus ex aequati
sed non recte I xy-3y- ay) - o, nam xy - γη - ay non est functio fluentis θ) fluxionis θὶ, & consequenter non recte x x --γγα α γ α' -3y - a ): etiamque haec particularis fluens in generali non continetur, nam generalis fluens fluxionalis aequationis xx--γγ
- ο potius dici potest resolutio fluxionalis sequationis xx H- γγ - odcalgebraicae o xy-- γῆ - ay o. Cor. Hinc etiam in fluxionalibus sequationibus superiorum ordinum, si quaecunque sequatio sit vere fluens Prioris Partis fluxionalis aequa tionis; sed non vere fluens reliquae aequationis Partis, attamen divisor vel fluens fluxionalis quantitatis inferioris ordinis m), quae est divi sor reliquae sequationis partis, cujus partis fluxionum in ea contenta rum ordo est major quam m; tum aequatio praedicta non vere erit fluens datae fluxionalis sequationis. 6. Data fluxionali aequatione α o vel Oep IS P oi invenire, annon data sequatio π o vel P - o sit fluens datae fluxionalis aequa tionis : in datis aequationibus α o Sc π o Pro variabili 3 in ii, contenta, ejus fluxione F, &c. scribantur . - Ο, Π d, &c. ubi o est quam minima quantitas; tum ita reducantur duad resultantes aequa
tiones, ut exterminentur variabili. v & ejus fluxiones, & resultet aequatio e in o relationem inter x & si & earum fluxiones exprimens:& sit O minima potestas quantitati o in aequatione resultante ρ - o,
unde, si modo sit fluxionalis aequatio primi ordinis, erit in s Xx, ubi
210쪽
ubi X est functio quantitatis & exinde ins XX in A, ubi a Pst quaecunque invariabilis quantitas ; unde Ι - λὶ κ ο i. xx A γ iu Pr dicta a quatione α o sit vere fluens, in saltem F o, ubi o est quam minima quantitas, erit etiam fluens ;ut Vζi O, αὐ- A fiat nihilo aequalis, necesse est ut A evadat infinita
quantitas, & consequenter λ - I sit assii mativa q antitas. Si λ I, tum erit log. o faex log. A, unde ο- Ακ oc II tum etiam o evadet nihil.
IV utre, avustu data astebraica inquatio sit particularis vel generalis suens datae suxionalis inquationis n ordinis.
Datae algebiaicae aequationis inveniantur fluxiones primi, secundi&e. n ordinis; & exinde Prima, secunda, tertia, &c. fluxiones alterius variabilis quantitatis 3 in data fluxionali & algebraica aequatione Contentae; quibus fluxionibus pro suis valoribus in data fiuxionali aequatio resultans vel nihilo aequalis erit, vel ' Ri' algebraica aequatio communem habent divi rem
. 3 yn una m , ita ut exterminentur omnes Pra ter unam variabiles quantitates & earum fluxiones; & ex xquation resultante &
rinta Pixi l ui xi ditis facile constabit, ait nun data algebit