장음표시 사용
191쪽
Haec sequatio facile deduci potest e Priore, scribendo pro υ eius valo rem υ : nam per hanc substitutionem transformatur prior aequa ito ad aream, i. e. cujus diversorum Valorum summa evanescit, cum abscissa evadat nihilo aequalis; in aequationem ad aream, cujus summa valorum erit A, cum abscissa se o. a. a. Eodem modo sit aequatio ad aream su) υ - Ax- - η)υ Dx . Ex3 - dcc.)U' ' - - &C. o, cujus valorum summa evanescit, eum abscissa se O: in hac aequatione Pro v scribatur U - , & sequatio resultans erit sequatio ad aream ζjusdςm curVae, cujus summa valo rum erit A, cum evanescat abscissa x.
s. Paulo aliter progredi licet in hoc & multis aliis casibus; e. g. eadem sequatione data, & iisdem literis easdem quantitates denotantibus; assumatur etiam sequatio ad aream v -- A l Bx - Caea in
192쪽
litatum, i. e. aequationes resultanteS inter se contradictoriae sint tum 'itis terminis haud exprimi potest fluens. VmSi pro x scribatur P, & requiratur fluens crin ordinis rirrix scribes; pro Q stribex'- , &c. & eodem Eaqw0 p λ deduci potest resolutio. N s. Dat lgebraica aequati ne B ' -- Cv -- ubi literV A, B, C, &c. quascunque rationales functiones litei 'spective denotant) relationem inter dua. incognitas quantitates x&F
193쪽
exprimente; data etiam quantitate, quae est fluxionalis functio o)incognitarum datae aequationis quantitatum invenire utrum fluens τ) praedictae fluxionalis func tionis inveniri potest, necne ; i. e. relatio inter incognitas quantitates π&IS v Per algebraicam pequationem exprimi potest, necne. Ex data algebraica sequatione inveniatur aequatio, cujus radix est data fluxionalis fundito variabilium datae sequationis quantitatum
Assumatur sequatio, cujus radix est fluens quaesita U); & formula, quae necessario continet radices quaesitae fluentis v, si modo illae radices finitis algebraicis terminis quantitatiam X 5 F QXPrimi Possint, viz. ,
ri in βα -- &c.) D' --- A in B x - &c. &c. Hujus aequationis formula plerumqUe e data sequatione & fluxionali quantitate facile erui potest: e numero enim radicum, quas praebent data sequatio & fluxionalis quantitas, constat numerus dimensionum quantitatis V in quaesita aequatione contentarum: & sic de numero dimensionum, &c. quantitatum Vel I in quaesita sequati
Ex assumpta sequatione inveniatur altera, cujus radix est υ; resul tantis sequationis, etiamque aequationis, cujus radix est: fluxionalis quantitas, terminis correspondentibus inter se aequalibus esse suppositis; resultant sequationes, e quibus methodo communes clivisores inveniendi erui possunt incognitae coefficientes assumptae aequationis: si vero hae sequationes inter se contradictoriae sunt, tum fluens quae
sita haud inveniri potest. Et sic de duabus vel pluribus aequationibua trea Vel plures varia biles quantitates habentibus. Cor. i. Hinc inveniri possunt q amplurimae algebraicae curvae, quarum relationes inter earum areas & abscisias sae) exprimi possunt
per algebraicas sequationes: assumantur enim quaecunque datae sequationes AO' ,-- BU H- CO H- &c. o, ubi A, B, C, &c. quascunque
194쪽
que functiones abscisi e x respective denotant; & per prob. as, inveni tur quatio, cujus radix sit οῦ - γῆ & invenitur aequatio relatio-Πzm inter abscissam x & ejus ordinatas ' exprimens; & cujus aequa . 'V ς primit relationem inter aream V praedictae curvae & eius
abscissam x, est Av' -- B υ' ' -- &c. - o. Facile constat, si modo aequatio Av' -- Βυ ' - Ω - possit in duas alias, aequationem relationem inter abscissam x & eius
o natas V exprimentem etiam dividi Posse in duas alias; sin aliter Cor. a. Hinc eadem methodo etiam inveniri possunt quam plurimae algebraicae curvae, quarum relationes inter abscissias x la fluentem v cuiuscunque algebraicae functionis Pin abscissie x & ordinata v in x ductae Per algebraicam aequationem designari possunt: assumaturenina aequatio I elationem inter V dc x exPrimens, cujus radix v est fluens fluxionalis functionis; deinde inveniatur aequatio, cujus' radix est P, pro Pscribatur praedicta functio quantitatum x&F;& resultat aequatio quaesita relationem inter x dil γ exprimens. 'Et sic de consimilibus ad fluentes superiorum ordinum Draedictatum fluxionalium functionum quantitatum A: &v ω earum H Inum applicandis. I Calum Uuxio-6. Hi quinque casus etiam resolutionem accipere Possiant e methodo convergenteS serieS Inveniendi: e. g. data algebraica aequatione ,
a bxὶΥ ' &c. ο; invenire, annon ejus area exprimi potest in algebraicis terminis abscissae x. Per convergentes series inveniantur u valores ordinatae: v, qui sint
195쪽
Ducantur hae aequationes in sese, & resultat aequatio v - πχη ex in σ) υ' &c. quae erit aequatio ad aream, si modo ea in alge-hraicis terminis inveniri possit; quod constabit e terminis resultantis aequationis haud in infinitum progredientibus, i. e. haud in negativas dimensiones quantitatis υ descendentibus.
C, &c. sant algebraicae functiones quantitatis x, & fluxionali quanti tale ; per cap. I. medit. algebr. inVeniri potest, utrum ejus fluens ex primi potest finitis algebraicis terminis abscisiae x, necne. Τ H E O R. XVI. Si fluens cujuscunque fluxionis e data aequatione deductae generaliter exprimi possit finitis terminis ejus variabilium quantitatum x &γ; tum summa e singulis valoribus praedictae fluxionis exprimi potest finitis terminis praedictarum variabilium quantitatum x & γ ; si igitur ita transformentur variabiles quantitates at &F, ut constet summam praedictam haud exprimi posse generaliter finitis terminis praedictarum quantitatum x & 3, concludere licet fluentem ipsam haud exprimi posse finitis terminis quantitatum x &I. EX. Data algebraica sequatione haud divisorem recipiente a b x) f c-H dx ex'γ' ' &c. o, & relationem inter abscisiam x & ejus correspondentes OrdinataS F exprimente. In data. quatione pro literis x & F scribantur respective lυ-mΣ-is las V in qE r, & si modo possibilo sit in resultet sequatio PE Q)
deest; &si Pa in thaud sit divisor quantitatis Rzy in Sz -l- tum curva quadraturam haud recipiet finitis terminis.
196쪽
i Z -- -- 5te. Π siniti. termini. haud exprimi possit, tum curva haud finitis terminis quadraturam reciPiet. Eadem principia etiam applicari possunt ad contenta solidorum, ad fluentes quarumcunque fluxionum, &C. Τ H E O R. XVII. I. Data algebraica aequatione a - - bxὶ γ' M. - orelationem inter abscissam x & ejus correspondentes ordinatas 3 expii mente; summa e singulis valoribus cujuscunque algebraicae functionis
esse, ' m 'VηiψRVm semper exprimi potest in finitig
mInIs abscissae & ordinatae, earum circularium arcuum & logarith- enim e ingulis valoribus ii rationalis partis nihilo erit aequalis, di summa e singulis valoribus rationalis functionis sem-
quantitatis fluenS inveniri Potest; tum summa e stingulis valoribus
nuxionalis quantitatis inveniri Potest; summa enim e singulis valor bus irrationalis quantitatis erit nihilo aequalis.
- Ita transformare giuationem fluxionalem, in qua μίμητοῦ γ cstv i-
Mb; secunda vero nuxio a mi; nunc nuat ordinata P uniform T a miter,
197쪽
miter, sit ejus fluxio Mb, tum prima abscissae AP, fluxio erit he, lasecunda ejus fluxio a me: sed duo triangula Mbe, me sunt similia, ergo es x) : hM F) :: a me sx) secunda abscisiae fluxio, cum fluat uniformiter γ : a -y) secunda ordinatae fluxio, cum fluat uniformiter x; & consequenter 1 - - quo valore pro in data fluxionali aequatione substituto, & sic deinceps 1 & ita transformabitur aequatio, ut fluat uniformiter Aliter.
&c.: deinde et q. fluat uniformiter F, tum erunt P - ' , P -
duobus diversis valoribus quantitatum P, P, P, &c.; resultabunt R
198쪽
, , SQ , Pro F, F, ji, &c. in data fluxionali aequatione ; & resultat fluxionalis aequatio quaesita a. Datam aequationem involventem x εοῦ γ & earum fluxiones iii qua x uuat uniformiter, ita transformare, ut nec x nec 3 fluat uniformiter: assumatur y pic, & exinde F -fx p x fx cum x fluat uniformiter; sed p - & scribatur haec quan
ω3 k , &C- . in data fluxionali aequatione
Pro j dcγ ι & sic deinceps: & resultat sequatio quaesita. 3 In genere sit γαρ mx, &- constans quantitas; &erit j
hic Valor Prost in aequatione j - mxst, ct bab bimuS aequationem
199쪽
resultat quaesita. Si vero requiratur, ut qx ry fluat uniformiter, eodem prorsus modo progrediendum est. q. Datam fluxionalem sequationem α o relationem inter x & γ &carum fluxiones exprimentem, in qua p ip x &γ) data functio
quantitatum x fluit uniformiter, ita transformare, ut resultet aequatio relationem inter x & p dc earum fluxiones exprimens. Reducantur duae aequationes α o &I p x Sc , &c. , ita Ut eX-
terminetur quantitas 3 & ejus fluxiones, & resultat sequatio quaesita. P R O B. XXXV. Duas vel plures n) fluxionales σquationes sn--Iὶ vel plures variabiles quantitates habentes, in quibus una X fluit uniformiter, i, transformare, ut at uniformiter y. Pro γ scribatur in datis sequationibus ejus valor -& pro se
fluxio prius inventa, & sic deinceps; & ita transformabuntur aequationes ut fluat uniformiter F.
Et sic transformari possunt duae vel plures sn) sequationes sit in i variabiles quantitates habentes; in quibus fluit uniformiter mae, ita ut fluat uniformiter ρ x vel p x ἡ- ΤΙ, &c. T H E O R. XVIII. 1. Sit algebraica aequatio P Q, e qua deducatur fluxionalis P - si1 modo utrisque hujusce aequationis partibus addantur vel subducantur eaedem quantitates ; Vel utraeque partes fluxionalis aequationis in easdem quantitates ductae ; tum eadem manet fluxionalis aequatio, forsan vero etiam adjiciantur novae), cujus
fluens erit P a, ubi a denotat invariabilem quantitatem ad libitum
200쪽
libitum assumendam: si vero hae duae partes sequationis haud ducan- , 'ςm s d in aequales quantitates utcunque e data algebraica' aequatione deducias, tum particularis fluentialis sequatio ceducta e fluxionali aequatione resultante etiam erit P quod si
generaliter corrigatur, i. e. in genere inveniatur sequatio fluentialis acl Πuxionalem aequationem resultantem, haud erit P ' a. e. g. Ucatur Utraque pars fluxionalis aequationis resultantis in P & O, &i esultat P P tam cujus fluentialis aequatio erit in genere Py - Ο haud P et a: dividatur autem utraque Pars fluxionalis
fluentialis aequatio in genere erit P cet, & haud P o. Cor. I. Hinc, si modo detur aequatio, cujus inveniatur fluxio; & influxionali aequatione resultante substituantur quaecunque quantitatese data aequatione deductae pro suis valoribus; resultabunt diverse flu-Σionales aequationes, quarum eaedem dantur Particulares fluentiales quamvis forsan hae generaliter correctae haud erunt eaedem. Cor. a. Eadem etiam assirmari possunt de fluxionalibus aequationibus superiorum ordinum, & de pluribus aequationibus plures variabiles quantitates habentibus. EIQnx a Nquaxion'. 'HSionales diverse generaliter easdem p
heant fluentiales sequationes: assumatiar enim fluentialis tenuatio
ni qua unus terminus sit invariabilis & ad libitum assumendus - ita transformetur haec aequatio, ut fiat alter terminus invariabilis & ad libitum assumendus: harum duarum aequationum inveniantur fluxi ones, dc duarum fluxionalium aequationum resultantium fluentes in-Venientur eaedem aequationes.
EX. Sit aequatio algebraica assumpta af -- b x γ' in c--- d o, ubi termini d & a sunt invariabiles quantitates ad libitum assumendae: dividatur data sequatio pers, & resultat a b x e x γ- dr o; inveniantur fluxiones ex utrisque his Tquationibus, & resultant duae nuxionales aequationes diversae, viz. naγ' 'γ - - sbx γ' j