장음표시 사용
221쪽
H L, &c. quascunque invariabiles quantitates rei pediive denotant ;etiamque dentur n i) fluentes fluxionum hujusce generis si aes ' - β in γω γ' in Sec Ix πγ''' -- ργ x -- &c.)j, ubi n. tam integri sunt numeri assii mativi, & m major quam Π; & β, γ, &c. f, dcc. sunt in variabiles quantitates) quae nec a fluentibus quibus ae unque in V. nec a se invicem detegi possunt; tum ex omnibus fluentibus generis V & praedictis n-1 fluentibus detegi potest quaecunque fluens generis M. Ducatur data sequatio respective in m- n se a) quantitatbs γη '
versae sequationes: sed in aequatione II continentur hu i) fluxio nes, Vi Z. y ''x, I x x, γ' ' xy x, dcc. . . F x x ; quarum fluentes forsan
nec a se invicem, nec a fluentibus fluxionum in P contentarum de duci possvnr: unde ex sin I) - m - n a) ni independentibus fluentibus fluxionum formularum γ' ' ὰ, y ci x, x ν' 'x3x, dcc. & ex omnibus fluentibus generis V acquiri pollunt fluentes omnium fluxionum generis In quam plurimis casibus fluens IV e paucioribus fluentibus quamn - I praedictis deduci potest. In nonnullis casibus denominator nihilo evadat aequalis, in quo
casu fluens quaesita e praedictis non dctegi potest. Eadem etiam ad algebraicas, fluxionales dc incrementiales aequationes ; & fluxionales, dcc. quantitates applicari possunt; in plerisque casibus faQile deduci potest numeriis datarum fluentium vel integralium, quaa eZigit data aequatio. PROB.
222쪽
DG G clebraica vel sua seniali aequaliove α o,ta fluxionali quaIti- site π; in quibusdam on ius invenire, annon suens quantitatis de Sipsi tes ope datarum suentium. In Veniatur, an non data quantitas or sit sit inma quarumcunque directarum scinctionum quantitatis ri in finitas quantitates vel variabiles
vel navariabiles ductarum ; & fluxionum, quarum fluentes detegi pos-1unt ope datarum fluentium.
Hoc vero spepe perfici potest, I '. ex auserendo vel pro nihilo habendo quascunque quantitates in quantitate or contentas, quae e datis suentibus detegi possunt: aqq. ex observando & inter se comparando irrationales quantitates, & dimensiones & rationalium & irrationalium quantitatum in α & π contentariam ; exinde enim constabunt functiones quantitatum in α contentarum ; etiamque quantitates, in quas ducendae sunt praedictae functiones, ita ut pciebeant quantitates in or contentas, quae haud detegi possunt ope datarum fluentium: 3 j'. e reducendo per methodum prius traditam datam fluXioiralem quantitatem in fluXionale in quantitatem, cujus ordo sit minor quam ordo datae fluxionalis sequationis; & deinde ex inveniendo, Utrum fluens fluxionalis quantitatis resultantis ope datarum liuentium deduci Potest, necne.
Ι'ei hanc methodum, viz. reductionem fluxionalis quantitatis ita ut ejus ordo minor sit quam datae fluxionalis sequationis ordo, saepe ex resultante fluxione detegi potest, utrum fluens datae fluxionalis quantitatis sic exprimi potest, necne; cum in ea plures involvantur variabiles quantitates do earum fluxioneS.
Data fluxionali inquatione duas variabiles quanti stra X U y, θ' earum xiones involvente; invenire functiones praedictarum quantitarum x G yei earum fluxionum, quarum fluentes dantur. I. Divi-
223쪽
i. Dividatur data sequatio in duas partes sibi invicem aequales, ita ut fluens unius partis inveniri potest; tum etiam erit fluens alterius partis. a. Ducatur data aequatio in quamcunque quantitatem, & ita dividatur fluxionalis aequatio resultans in duas inter se aequales partes, ut fluens unius partis inveniatur; & erit etiam fluens alterius. Ex. i. Sit fluxionalis aequatio 3x nax 3 x -- ma 3 x F --hx x--c3b, & erit fluens fluxionis I x, i. e. area curvae, cujus relatio inter abscissam & ejus correspondentes ordinatas per datam fluxiona-
sit invariabilis quantitaS. Ex. a. Sit 3φx P Ax -- BF, ubi A & B sunt quaecunque functiones incognὶtarum quantitatum x &v respective tum erit fluens fluxionis 3, Ι Ι6 i. e. contentum solidi generatia rotatione curvae, cujus relatio inter abscistas & ejus correspondentes ordinatas designatur Per datam aequationem a, i i 6 P - fBγ -- a), ubi a est invariabilis quantitas. Ex. 3. Sit aequatio fluxionalis Fx -- nxγ bγ cx' ducatur data aequatio in quamcunque quantitatem, e. g. V & re'
3. Si modo e fluentibus praedicta methodo investigatis deduci pota sint fluentes plurium fluxionum, tum harum fluxionum consequentur fluentes. Ex. Sit fluxionalis aequatio 3yx a x x b)'y fi & si modo detur
fluens fluxionis 1 x c, dabitur etiam fluens
224쪽
Et sc de pluribus fluxionalibus aequationibus datis. xx quatio vel algebraica vel fluxionalis P o, dentur fluen- ni L, M, &c. & sint etiam R, S, T, &c. fluxioneS, quarumentes e fluentibus datis fluxionum L, M,&c. vel separatim vel con-Jum im deduci possunt: tum fluens cujuscunque fluxionis αc : Pὶμ . CT &c. 'l' er subi a, b, c, &c. sunt invariabiles lyantitates; & α quaecunque fluxio vel quantitas, quae pro eiuS denominatore haud habet functionem quantitatis P vel ejus diu sorem &φ: P sit quaecunquς functio quantitatis P o ita uti
continetur potestas vel nihilo aequalis vel negativa) e pradictis ilicentibus L, M, &c. deduci potest.
Cor. Data quacunque fluxione sq), facile deduci possunt infinii
fluxionales aequationes, quarum fluens fluxionis soὶ inveniri potest. Dividatur fluxio dita quascunque duas partes α& β, i. e. O - Ω quarum una inveniri potest ope datarum fluentium; tum vel
allumatur o, vel qu ecunque functio π) quantitatis β nihilo aequalis, quae talis sit, ut functio sπὶ quantitatis β haud in se notestatem contineat nihilo aequalem vel negativam ; & deducitur aemistio quaesita. uP R O B. XLIV. Data suxionali inquatione P κ - o, ubi P Q sim C m
quantitatum X Uy; imenire uentem uxionis Wx Ry, bivv eri sunt functiones quantitatum X U y.i '. Si W-α x - βr, & R πX er, & β - π tum integrari potest data fluxio. a. Sit A P - - Σ - - R)3, ubi A est functio quantitatum x & y, fluxio integrabilis; tum inveniatur eius fluens, quae etiam erit fluens fluxionis I x RF. 3. Si modo fluens α - ο) fluxionalis sequationis P x - o
detegi possit, tum in data fluxione ' pro I scribatur -
225쪽
quaesita. Et sic de pluribus sequationibus plures variabiles quantitates &fluxiones superiorum ordinum habentibus. s. Data fluxionali aequatione r Ordinis, cui is variabiles quantitates
sint ae & ν, & x sit constans ; data etiam nuxionali quantitate, quae sit functio variabilium GF & fluxionum x, j, γ, .. usque ad ordinem invenire quantitatem fluxionalem, quae haud implicat fluxiones quantitatis F, quarum ordo superior sit ordini r-I, i. e. superior ordini fluxionis F, datae fluxionali quantitati aequalem. Inveniatur fluxio data: pequationis Ordini S m; eX aequatione resul-
tante deducatur valor fluxionis F; scribatur valor inventus pro in data fluxionali quantitate, & exterminabitur γ' ex eodem processa repetito exterminari possunt fluxiones j, γ, &c. ad ι & tandem
resultabit quantitas quaesita. Eadem principia etiam applicari possunt ad plures fluxionales sequationes & fluxionalem quantitatem datam Plure. Variabiles quan titates & earum fluxiones habentes.
Datis fluxionalibus sequationibus involventibus x & γ, &c. & earum fluxiones, & data functione P quantitatum x de I, &c. & earum
226쪽
Praedictas fui ctiones quantitatum M v, &c. & earum fluxiones. P R O B. XLV.
Invoni tur stuens hujusce aequationis, quae sit P in P, ubi P & s
lecta erat P a, ubi a esst Invata abilis quantitas ad Ithiri, sed duo valores quantitatis I fiunt inter se aequales, cum
1 elatio inter x SC F, & in aequatione correcta P - Ο a exmimitur relatio inter treS incognitas quantitates x, F Oz a; uia e duae insultant
quenter haud detegi potest, quando duae radices quantitatis v fiant Inter se aequales, ni detur quantitas corrigens a. Dato autem uno Valore sπὶ quantitatam x vel v, quando fiant duo valores quantitatis r inter se aequales, exinde deduci possunt relichii '. ym VR Qxς qWδnxiinti. V vel F in aequatione β - o. exinde equitur eius correspondens valor quantitatis CF vel x , quibus valo β Pro F & x in aequatione P - Ο a substitutis, resultat unlrise
valores quantitatum ': ' ' Vςk possuiu reliquiter se aequalet δ' 'μ''d' 4 φ Vδ'Q ς' quantitatis 3 fi,ut in Si
227쪽
Si vero aequatio P haud exprimi possit in finitis terminis, tum
confugiendum est ad infinitas series. 2. Data sequatione fluxionali n Ordinis, i. e. in qua continetur fluxio γ, & x fluit uniformiter; invenire generaliter quando duo valores quantitatum sx vel ) fiant inter se aequales. Necesse est in hoc casu, ut dentur n correspondentes valores singularum fluxionum in
data aequatione contentarum, e . g. F, F, &c. x, etiamque quantita tum X F, quando duo valores quantitatum x vel γ fiant inter se aequales; de his datis generaliter deduci potest, quando duo valores
praedictarum quantitatum fiant inter se aequales. Hoc constat ex eo, qGod n incognitas ct invariabiles coemcientes
Eadem etiam applicari possunt ad duas vel plures aequationes tres vel plures variabiles quantitates habentes. Haec ratiocinandi methodus haud solummodo ad problemata resolvenda, in quibus duo valores quantitatum x vel 3 inter se aequales esse supponuntur, sed etiam in quamplurima alia extendi potest. 3. Data fluxionali sequatione duas variabiles quantitates & earum suxiones habente, invenire coem cientium constitutionem. Habeat sequatio n terminos, & consequenter horum terminorum sunt n coessicientes: scribantur pro n correspondentibus valoribus incognitarum quantitatum x &Iὶ οι, β, γ, δ, &c. π,- r, τ, &c. Pro correspondentibus valoribus primarum fluxionum respectiVe α, γ ,&c. π, ρ, er, τ, Sce. & sic de designandis secundis, tertiis, &c. fluta Σionibus incognitarum quantitatum x de γ): substituantur hae literae pro suis quantitatibus in data aequatione, & resultant n sequationes totidem incognitas coessicientes habentes, e quibua inveniri possunt coefficientium constitutiones.
Multa de impossibilibus radicibus, &c. deduci possunt fere ex eadem ratiocinandi methodo in fluxionalibus ac in algebraicis sequationibus usitata.
228쪽
PROB. XLVI. DG i formulis fluxionum; iuvemine Luxi ver proe dictarum formula π, in Vm fluentes evrimi possunt in Auitis terminis, vel in terminis fluentium, quarum dantur uxiones. I . Ex datis formulis fluxionum inveniantur formulae quantitatum in Praedictis formulis contentarum, ita ut fluentes fluYionum rei ultantium datarum formularum respective exprimi Possunt vel Derfinitos terminos vel per fluentes praedictas, quarum fluxiones dantur:
deinde ex comparandis quantitatibus praedictarum formularum interie saepe inveniri potest formula quantitatis, quae satisfacit omnibus conditionibus quaestionis praedictae. EX. I. Sit data fluxio se Pae, cujus fluens acquiri potest, ubi P est functio variabilium x & D; assumatur quaecunque functio se) quantitatis x pro fluente; tum erit P, quae est algebraica aequatio exprimens relationem inter x&3, unde ex variabili x detegi potest variabilis , , ita ut fluens datae fluxionis inveniri potest.
cujus fluxio sit Pae, tum fiat P γ, & Pφx γ'x sexceptis excipiendis) etiam erit fluxio, cujus fluens in finitis terminis exprimi po- tost: & sic detegi possunt plures hujusmodi formulae.
229쪽
I -R PRPH' R 'Cor. Haec methodus in detegendis curvis algebraicis, quae rectificari possunt, haud multum usui inservit. Τ H E O R. XXV. Sit quaecunque fluxionalis aequatio duas involvens incognitas quantitates x & γ dc earum fluxiones, in qua x fluit uniformiter , semper erit quantitas, quae in datam sequationem ducta, creat fluxionem, cujus fluens inveniri potest. Ex. g. Sit data fluxio A a x -Φ- ba o, sint etiam a αx in F - πx -- ργ, & π - β; tum ipsius aequationis fluens Per theor. a. inveniri potest. Si vero fluens haud inveniri possit; semper datur quantitas L, quae in datam aequationem ax - ιγ o ducta, creat fluxionem Lax
L b V, cujus fluens inveniri potest ;iit L - r ij, & per praedictum theorema erit as L β - L π br. Consimiles propositiones etiam de fluxionalibus sequationibus superiorum ordinum e theor. a. facile deduci possunt.
230쪽
Cor. I. Data una quantitate L, quae in datam fluxionalem aequationem ducta, praebet fluxionem, cujus fluens inveniri potest; ex ea L facile deduci possunt infinitae aliae: sit enim data sequatio ax inbγ- o, quae ducta in L dat fluxionem L a x -- L b3, cujus fluens in- Veniri potest, quae sit z: i. e. sit z Lax -- Lbr: sit Z quaecunque functio quantitatis z, dc fluens fluxionis Zz- ZLax -- ZLb semper deduci potest; i. e. fluxio est integrabilis: & consequenter plures
deducuntur quantitates XL, quae in datam fluxionem ax in b3 ductae praebent fluxiones integrabiles. 'Cor. 2. Inveniantur duae quantitates P & R, quae in a x. bst duet edabunt fluxiones integrabiles Pa x P Ra x Rb3
tum V & I erunt functiones quantitatis IV.Cor. 3. Sit M particularis valor fluxionalis sequationis vel fluxionalium aequationum; tum erit quaecunque functio quantitatis M, etiam particularis valor praedictae fluxionalis aequationis, &c. nam Particularis semper in generali uontinetur. Cor. q. Sit aequatio P x -- γ o; ducatur haec aequatio in II NAL de resultat M Pα -- i) - o, quae sit integrabilis aequatio, i. e. sit MFx--M 3 fluxio, cujus fluens inveniri potest: si vero
&PMen ullum habeat divisorem, qui reciprocat cum quantitate Hr,
tum per Prob. q. 6c S, &c. Π erit divisor particularis fluentis fluxionis M Pae & consequenter H o erit quodam modo particula