장음표시 사용
211쪽
cunda fluxio, &c. & pro γ in aequatione B scribatur ejus valor e secunda fluxione sequationis A deductus; in aequatione eXinde resultante scribatur pro γ ejus valor e prima fluxione praedictae sequationis A deductus, & data aequatio erit divisor sequationis resultantis ; e principiis prius traditis constat datam algebraicam sequationem non proprie pro fluente fluxionalis sequationis habendam esse. a. Ex iisdem principiis etiam inveniri potest, utrum data fluta xionalis aequatio sit fluens alterius datae fluxionalis aequationis,
Si in data aequatione or o, quae est fluens fr) ordinis datae fluxi onalis aequationis α - o, contineantur in Variabiles quantitates a, b, c, o c. ad libitum assumendae, quae in data fluxionali aequatione haud continentur; la quae in diversas iunctiones variabilium quantitatum in data . 'Patione contentarum ducuntur ; i. e. quae inter se sunt inderendentes:
212쪽
P i denteS. tum, si data sequatio m. o sit fluens datae fluxionalis. quationis, i. e. si in aequatione α - o scribantur quaecunque quantitateS Pro suis valoribus ex aequatione et o deductis; & evanescat . quat O resultans, erit π o generalis fluens fr) ordinis fluxionalis aequatIOnis α o: si n autem non contineantur rὶ praedicti generis i Variabiles quantitates, exceptis excipiendis erit particularis fluens: Farticularis semper continetur in fluente generali.
tiones, in quibuS CODtὶnentur susem dcc in invariabiles & independentes ad libitum assumendae quantitates, quae in datis aequationibus non inveniuntur: in aequationibus α st, β si, γ o, &c. scribantur quaecunque quantitates pro suis valoribus ex aequationibus λ γ, μ st, ν - , &c. deductis ; & si evanescant aequationes resul
Cor. Sit π o aequatio, 'lux Continet smin invariabiles quantitates a, b, c, α, &c. ad libitum assumendas & inter se independentes, quae in aequatione e st non inveniuntur: in aequatione, o scribantur
sultante non pluma quam r) e PrMdictis invariabilibus quantitatibus a, b, c, d, &c.) evanescent.
. . Sit fluxionalis aequatio r ordinis; & si modo ejus fluens ordinis a ii veniri possit, tum a fortiori ejus fluentes r - I, a, &c. Ordinum detegi possunt. Inveniatur enim ejus fluens r Ordini ), cujus prima fluxio erit fluxionalis sequatio primi ordinis, & fluens r - i ordinis datae fluxionalis aequationis: & sic deinceps; unde constat theor. . X a P R O B.
213쪽
P R O B. XL. Datis Maionali aquatione tres x, y, Ζ,) variubiles quantitates V ea rum fluxiones habente; invenire utrum una x) ex iis exprimi potes in te minis duarum reliquarum sy, Z), necne. I. Asiumatur x tanquam invariabilis quantitas, deinde inveniatur quantitas in), quae in resultantem sequationem ducta, creat aequationem, cujus fluens P) inveniri potest; deinde assumatur I tanquam invariabilis, & inveniatur correspondens quantitas g, quae in aequationem exinde resultantem ducta, creat fluxionem, cujus fluens
inveniri potest; 3 -'. assumatur z invariabilis, & inveniatur Correspondens quantitas r, quae in aequationem resultantem ducta praebet fluxi
onem, cujus fluens E) inveniri potest. Si vero quantitates s oc 7 habeant omnes eosdem factores, in quibus invenitur z; & quantitates s & r eosdem involvant factores, in quibus continetur & tertio quantitates q &r eosdem habeant factores, in quibus invenitur x; i. e. sint correspondentes; & si omnes termini, in quibus continentur literae x & γ & z) iidem sint in tribus fluentibus P, e&R; & omnes termini, in quibus inveniuntur z, γ, x sint iidem in duabus fluentibus P & P & R, R respective; tum inveniri potest fluens datae fluxionalis aequationis, sin aliter vero non . Ex. i. Data fluxionali sequatione lix'I c) z - - xy z - F
a' - - cx ) A: ubi A est functio quantitatis x: eodem modo supponatur et invariabilis, & ducatur aequatio resultans in praedictam
214쪽
iidem sunt in fluentibus P &O termini, in quibus has P em
i labilem quantitatem ad libitum asiumendam. z. I. Saepe vero ex hac methodo haud constat resolutio problematis, quoniam haud cognoscuntur methodi, e quibus deduci possunt Praedicti cognati multiplicatores; in his casibus confugiendum est ad Ini Inito serieS, i. e. inveniatur variabilis quantitas xὶ in terminis Progredientibus secundum dimensiones reliquarum 'in , si modo fieri Pollit, dc confit problema. a. a. Forsan vero in fluxionalibus aequationibus superiorum sn ordinum haud inveniri potest variabilis quantitas x in terminis reliquarum j zὶ , sed forsan inveniri potest fluxio ordinis m, ubim minor est quam n, In tCrminis secundum dimensiones reliquarum 1, zὶ δρ earum fluxiones Ordinum haud majorum quam v - m progredientibus, i. e. reduci potest data fluxionalis aequatio in alteram. minoris ordinis quam π.* Eadem principia etiam applicari possJunt ad aequationem quatuoi ve Plures variabiles quantitates & earum fluxiones habentem ;iς ῆς duas vel plures aequationes tres vel plures variabiles ouansi 'titateS & Carum fluxiones involventes. 33. Sit aequatio P x RE - οε & M quantitas, quae in datam aequationem ducta, Praebet fluxionem, cujus fluens inveniri potest,
215쪽
- o; sin aliter non. a. a. Sit sequatio P x - QI RQ - S U - - &C. o: 1 q. assumantur omnes quantitatus Pi . ter quascunque tres sx, γ & E)tanquam invariabiles, & resultat aequatio P x - - γ Rz - οι per praecedentem methodum inVeniatur, annon haec aequatio sit integrabilis , si modo sit integrabilis, tum assumantur omnes quantitates praeter tres alias sx, 3 & v) tanquam invariabiles , & inveniatur, an non sequatio ex hac hypothesii resultans sit integrabilis; si modo sit integrabilis, tum assumantur omnes quantitates Praeter quascunque tres alias tanquam invariabiles, & si omnes aequationes ex hujusmodi asia sumptis resultantes, sint integrabiles ; tum integrari potest resultans sequatio; sin aliter vero non.
ubi quantitas Z denotat quantitatem ex hac methodo in veniam; nempe ex deducendo fluxionem Wx quantitatis V ex hypothesi quod es solummodo sit variabilis; deinde fluxionem 1 3 quantitatis V, ex hypothesi quod 3 solummodo sit variabilis; bc tertio fluxionem Z et quantitatis Γ ex hypothesi quod et solummodo sit variabilis.
216쪽
Sit aequatio fluxionalis sn in variabiles quantitates & earum fluxiones habens; tum resultant x aequationeS, e qui bus dici potest, annon data fluxionalis aequatio sit integrabilis. 3. 3. Si modo fluxiones variabilium superiorum sn, n-I n-2
sequatio in Λ functionem variabilium x, y, π, &c.ὶ in data amuationC C nt niarum, & earum fluxiorium ' V- ordinum; assumatur N functio incognita priodictamni M. V l &e variabilium; deinde Inveniatur fluxio n) ordinis functionis , MeX aequatis correspondentibus terminis resultantis & quantitatis ἶσα uxionis u ordinis deduci potest, an non data aequatio sit integrabilis. P R O B. XLI
Asiumantur duae aequatione , quae exprimunt algebraicas relationes inter x, 35cz,v; ita ut fluens functionis P literarum et & o de duci potest algebraice e stuente functionis P, i. e. e data fluxionali functione literarum x Sc Di ita reducantur xquationes resultantes, ut ζ terminentur incognitae quantitates xla', & resultat quaesta aequatio relationem inter z5 v exprimens EX DRta aequatione relationem inter x M' & earum fluxiones ev
217쪽
& consequenter ala -- h, et & p, -- q, -- in τι fluens functionis P rava inveniri potest, si modo fluens fluxionis γω inveniri possit; nam Ix Jn 'μ qu in r) on bu), cujus fluensi dixi: as z --raz-- ΛΤT' FrbU-'bpzv-- a - θρ)υΣ:unde e fluente f.3x deduci potest sua; scribantur hae quantitates in data sequatione pro suis valoribus, & resultat aequatio quaesita relatio. nem inter α & V exprimens. Cor. I. Data fluente suxionis 3x, ex ea semper inveniri potest fluens fluxionis v et vel TU: datis fluentibus trium fluxionum 3 My ω,γxx; 5c ex iis semper inveniri possunt fluentes fluxionum vis.
Datis vero fluentibus sn . θ inter se independentibus fluxionum
Cor. a. Datis n . - diversis, ic e. inter se independentibus sequationibus hujusce generis a f.γx -- bs3yx -Φ- cfγxx -- Fax &c.ls. ν' ' x I; ubi literae a, c, d, &c. t denotant datas invariabiles quantitates; tum facile constabit omnis Valor cujuscunque quantitatis hujusce generis p s. Uz - - ρfU' ἰ 'f' rs Uz z in &c. t fmη- E p,zυ- - qi zyU &C.; Ubi p, Τ, Γ, &Q.; t, L q, &c. datas etiam denotant invariabiles quantitates.
Et sic de datis consimilibus quantitatibus. T IJ E O R.
218쪽
219쪽
. Circa tres axes secum quoscunque datos angulos facientes gyretur quzecunque cui Va, cujus abscissae & ordinatae sunt respective κ& v ; transformetur data curva in alteram substituendo pro ω - υ-- Pu Z R pro γ - νυ -- fu -- r'; ubi π & u respective denotant abscissam de ejus correspondentes ordinatas novae curvae; & a . R C&c. . t , & r invariabiles coefiicientes: gyretur haec curva resultans circa suum axem, & e datis contentis solidorum datae curvae circa tres axes rotatione generatorum inter se independentibus deduci potest solicium generatum e rotatione posterioris curvae circa suum aXem. Constat e principiis prius traditis.
Ea, quae prius tradita fuere de areis, centris gravitatis & percus sionum, & contentis solidorum a rotatione datae curVae circa ejus axes; mutatis mutandis, aeque ad areas, pr dicta centra & solida cujuscunque curvae ex hac substitutione exortae applicari possunt. Cor. 4. Si pro x &F in data aequatione scribantur respective av* - -bzυ -- cety in det eυ - - Α & fίη - gvz hzy - lz - mu in HVel quaecunque rationales vel irrationales quantitates ; facile deduci possunt hujusmodi propositiones. Et sic de fluxionalibus functionibus quantitatum Z & υ pro datis fluxionalibus functionibus quantitatum x & γ in data aequatione vel
datis aequationibus scriptis exinde enim consimilia deduci possunt. T H E O R. XXII.
In fluxione 3x pro x & 3 scribantur respective a m b co)z f- --j v ) et '' -- &c. & AE B in CU) Z ' D -- Ευ -- FC ) E ' -- &c. ubi a, b, c d, e, f, &C. A, Γ, C, D, E, F, dcc. sunt quaecunque invariabiles coemcientes, m Vero dc r integri nuta meri , & ex fluentibus independentibuS m r-IJ. fluxionum ex praedictis substitutionibus resultantium datis, per simplices aequationes erui possunt fluentes omnium fluxionum exinde resultantium ; etiamque e praedictis fluentibus datis erui possunt fluentes
220쪽
quarumcunque fluxionum hujusce formula: z' ' Q, sit modo α naud maior sit quam m r - I, & α & β ssint integri numeri. Totidem m r - i) κ enim in data fluxione 3x continentur diversae fluxiones, quarum fluentes sunt independenteῖ, viz. vi
f. V V, . v d dis v z,s Uyzz f. Uzyz, &C. Et sic ratiocinari liceat de aliis substitutionibus in plurimis aliis fluxionibus; viZ. CXPonentialibus, fluentialibus, &c.
Gc. G, K, L, &c. quascunque invariabiles coefficientes respective denotant; & m est integer numerus. Si enim detur fluens fluxionis y x - α, tum dabitur fluens omnium nuxionum formularum Ir, Fx, v, XX, X, I ; ducatur data aequatio
sieri per hypothesin dantur fluentes omnium fluxionum hisce aequationibus contentarum Praeter duas fluentes P& P, fluxionum Ixx Myxydi, Vel fluxionum x'y β γ x, quae ex iis pendent erunt enim xy3- a P ms xyy rx a et f.γῆ es; scribantur haeduae quantitates pro suis valoribus in quationibus π o dc ρ - o dc
ubi F res sunt invariabiles quantitates in qu sunt fluentes duarum resultantium quationum π - ο dc ρ - δε i. e. exoriuntur duae aequa tiones, quatum singulta fluentes praeter P & deduci possunt, ergo Y a facile