장음표시 사용
231쪽
Et sic de fluxionalibus aequationibus superiorum ordinum : multiplicator autem superioris ordinia Potest esse quaecunque fluxio cujuscunque inserioris ordinis. ΤHEOR. XXVI. 1. Sit quaecunque fluxionalis sequatio P x αγ o, ducatur haec aequatio in q, & sit fluens fluxionis resultantis generalis λα S; i. e. S qPx qS3; tum fluens datae aequationis eris universaliter quaecunque functio fluentis S. Sit enim quaecunque functio quantitatis S r ) o fluens quaesita, cujus fluxio erit Δ : S) κ S o, Ubi Δ : Sy designat functionem quantitatis S; dividatur haec aequatio Per Δ : S vel Δ : S) κ ρ
quaecunque functio quantitatis S erit resolutio datae aequationis. Hic animadvertendum est, quamvis p e S umo .cit fluens datae fluxionalis sequationis; attamen Vκ ip : S o, ubi V non est functio quantitatis S, non proprie dici potest Auens praedictae fluxionalis aequationis, quamVis in ea fluentem continet. a. Sit sequatio Ax -- Bj o, ducatur haec aequatio in q, ita ut suens quantitatis ρAx -- ρ BF inveniri possit, quae sit P; pro P vel quavis functione quotalitatis P scribatur z, & erit Q o. Et sic de aequationibus fluxionalibus superiorum ordinum. a. Sit aequatio et Q o, & erit ejus fluens et se a vel quaecunque functio quantitatis Q o; minime vero Q o proprio dici potest resolutio datae sequationis; quamvis in casibus pro hac re designatis ejus fluens erit valor datae aequationis.
I. Sint α - ο 6c is in o duae fluxionales. aequationes m & r ordinum respective, quorum m minor est quam r, & K δο L duo multiplicatores ita
232쪽
A- Lmum V, ubi V est fluxionalis quantitas ομ
ae H E O R. XXVIII. Si detur fluens generalis sW-οὶ fluxionalis aequationis P - ο
faeile exinde deduci potest multiplicator M, qui in datam aequationem ductus, reddit eam integrabilem. In data generali fluente sit C quaecunque invariabilis quantitas ge
sunt quantitates in quibus haud continetur C erit multiplicator quaesitus. Et silc de fluxionalibus aequationibus superiorum ordinum. E- g. Detur generalis fuens o fluxionalis aequationis, quae continet duas C & D invariabiles coefficientes ad libitum assumendas,
J RRud ontinentur respective C & D, quarum fluxiones erunt α - o; deinde ex sequationibus α o & β o respective deducantur D m & C de evadunt duae sequationes αρ - ο &-o eadem
233쪽
eadem sequatio, cujus generalis fluens secundi ordinis est data aequatio ι duo vero inveniuntur ejus primi multiplicatores vel et vel
I. Sit quaecunque fluxionalis aequatio n ordinis P o, cujus generalis fluens sit IV o, quae continet quascunque n diversas invariabiles quantitates a, b, c, d, e, &c. ad libitum assii mendas & in data
δeio, &c. n) diversae aequationes, quae sunt fluentes sn i) ordinis datae sequationis o, in quibus continentur solummodo n- i invariabiles quantitates pr.edicti generis; deinde ex aequatione α - o inveniatur vel b - β vel c &c. & sic ex sequationibus o,
sunt fluentes s n - a) ordinis datae aequationis P ο, & sic inveniri
nes, quae sunt fluentes m ordinis fluxionalis sequationis P - ο ; &quae continent m) diversas invariabiles quantitates ad libitum assu mendas, quae in data aequatione haud continentur; si m n, tum ex singulis hisce substitutionibus eadem resultabit aequatio. Cor. Sit quaecunque algebraica m ) inquatio, cujus variabiles snt x, γ, E, dcc.; &n inVariabiles so, b, c, d, e, &c.) tum ex ea inve niantur n) fluxionales sequatione. α - β, β o, γ o, &c.; ex quibus exterminatur una invariabilis quantitas, Vi Z. a, b, c, &c. respeetive; deinde detegantur n. fluxionales sequationes secundi Ordinis,
234쪽
ci HuSionales aequationes tertii ordinis, ex ioneS o&W-st in unam; ut exterminetur vel a vel k EI ,αz.: dc resultabunt praedictae aequationes. θά o, sto o, i,
constat e problemate, quod in aequatione fluxionali n ordinis uidantur diveris fluxionales aequationes su-Iὶ ordinis, quae sunt fu- elates generales datae sequationis; & consequenter vin sunt proprii hi λυό- q- ς βψ VM MRQrum, qui ducti in datam inpiationem ' λη'Qnζ8, quarum silentes primi ordinis inveniri posituit .
Vxς ' φ' servandum est, quod si aequatio fluxionalis sit P - η' si multiplicator eam reddens integrabilcm,. i. e. DIP sit fluxio, cujus
235쪽
cuius fluens inveniri potest; per Mφ: γ, MP) volo multiplicatorem ejusdem haud vero diversi generis.1 H E O R. XXX. Sint A se o, B M o, C o, D m o, &c. n) generales fluentes primi
ordinis fluxionalis sequationis α - o, &c.; sit α o BUXionalis sequatio n ordinis, variabiles quantitates x, F, & earum fluxioneS X, I, γ, γ,
... γ involvens, & x sit constans; & in A o continetur a invariabilis quantitas ad libitum assumenda, quae in fluxionali sequatione α - o non continetur; & similiter in B o continetur invariabilis b, quae in praedicta aequatione α o non inVenitur; deinde in C - o, D - o, &c. continentur res PectiVe invariabiles quantitates e & ri&e independentes & ad libitum assumenda , quae in α- o non inveniuntur, R in singulis his aequationibus Aseo, B - o, &c. haud continetur D, tum ita reducantur sequationes A o, B meto, C o, D se o, &c. ut exterminetur fluxio F & resultant n . --- aequationes, quae erunt fluentes secundi ordinis datae fluxionalis sequationis is in O; & sic deinceps; ita reducantur hae sequationes Amo, B in ob
C- o,&c. in Unam, Ut eXterminentur fluxiones F, F, F, &c. & tandem resultabit sequatio, quae nullas implicat fluxiones, & quae generalis erit fluens datae fluxionalis aequationis. Cor. I. Fluens generalis n-I ordinis e singulis n) aequationibus A o, B o, C o, D o, &c. eadem evadet.
P R O B. XLVII. Sint x, y, is tres variabiles quantitotei, et sint φ oής, - ο dure functi vel quantitarum x, y li g, in quibus fuΠctionibus contineantur m in rinvariabilei quantitates a, b, c, d, e, occ.) ad libitum assumendae; invenire
236쪽
nire duas etyliationes fluxionales m S r ordinum, quarum generasti fluente sunt φ o G φ O. I. Ex utrisque sequationibus φ - Ο & φ o inveniantur a M. G& a S respective, unde β or, α o, & o treS aequatio nes, quarum una est algebraica, duae vero reliquae fluxionales primi ordinis, in quibus haud continetur a; deinde ex sequatione, βinveniatur b - , etiamque ex aequationibus π o, Sc V o, inVeniantur respective b e & b - γ, unde resultant duae fluxionales primi Ondinis aequatione S o, dc ρ in qui blas nec contine
tur a nec b; tum ex aequationibus π o, & ρ - γ, inveniantur c r, & c la exinde resultant duae fluxionales sequationes σπιλ& o, quarum prior erit Oxionalis aequatio primi ordinis, postelior vero secundi ordinis, in quibus continetur nec a nec b nec O:& sic ex hac methodo ratiocinandi continuo repetita, erui possunt duae
aequationes quaesitae. a. Si vero ex data aequatione λ o non inveniri possit a & coi sequenter λ o aequatio, quae non involvit quantitatem a , tum reducantur duae aequationes λ - Ο & o in unam, ita ut exterminetur quantitas sa), & resultabit sequatio praedicta λ o; &c. aliter:
Ieducantur duae sequationes φ - Ο & p o in unam, ita Ut exterminetur a), Se resultet aequatio α o; deinde inveniantiar duaraequationes ip o & ς o, & ita roducantur hae dia se aequationes in unam, ut eXterminetur a i & resultet aequatio π o; Unde resultant duae sequationes, una algebraica α o, altera vero fluxionalis Primi ordinis o, in quibus non continetur invariabilis sa deinde ita reducantur tres sequationes α o, α o& π o in duassu ionales sequationes sue o & i, se o) primi ordinis, ita ut ex tς. minentur invariabiles quantitates sa & b): tum ita reducantur aequationes φ - Ο &-- o, ut exterminetur in Variabili. quantitas b, resultet aequatio α - οι R ita reducantur aequationes o &φ o in unam, ut exterminetur quantita. b, & rQsultet aequatio
237쪽
. - οι unde res Altant duae aeqtiationes, una algebraica α - ο, altera vero fluxionalis Primi Ordinis etr o, in quibus non continetur invariabilis b , deinde ita reducantur tres aequationeS α o, α - ο & π - oin duas fluxionales sequationes sue o & ν - ο) primi ordinis, ita ut exterminentur invariabiles quantitates a & b; tum inveniantur fluxionales aequationes secundi ordinis o, i o; o dc mo, in quibus non inveniuntur variabiles quantitates a & b: ita reducantur praedictae aequationes, Ut exterminentur fluxiones X, y, Δ,&c.; θύb; & resultabit algebraica aequatio, in qua non inveniuntur invaria-hiles a & b; unde resultant duae aequationes una algebraica, bc altera fluxionalis secundi ordinis, in quibus non inveniuntur a & b: & sic deinceps ad exterminationem quantitatum G, b, &c. &c.) progredi
Consimilia ctiam applicari possunt ad tres vel plures datas aequationes quatuor vel plures variabiles quantitates & 5 invariabiles in
Ea, quae in hoc prob. tradita fuere, similiter applicari possunt ad plures n) fluxionales sequationes m, Γ, Γ, C, &C. Ordiniam detegendas, quarum variabilium quantitatum dantur u algebraicae sequationes generales relationes eXprimentes.
238쪽
Data fluxionali aequatione P ubi P sit quaecunque functio literarum x dc 3 dc earum fluxionum, ρ funetio literae x & eius primarum fluxionum, formulae vero ita ut multiplicator sit functio quantitatis x, qui ductus in P praebet nuxionem, cujus fluens, i. e. f M P inveniri potest; tum etiam erils M P-ρὶ fluxio, cujus fluens innotescet; sed data generali fluente aequationis P - ο inveniri possunt omnes ejus multiplicatores, & consequenter inveniri Pollunt omnes multiplicatores aequationis P - o, iidem enim invenientur; & exinde deduci potes fluens aequationis i edidiae P-p o.
E. g. Sit sequatio AF - BF . . . PF x' ἀ- ',' o, ubi in B. . R NIunt functiones quantitatis x es, tum, sit modo detur generalis valor quantitatis I in aequatione AF ε BF. . PF Q o, in qua deficit Ul
timus terminus, & conseqUenter omnes m UltiPlicatores eam reddentes
integrabilem, qui vero multi Plicatores erunt fumitiones quantitatis x; consequenter dabuntur etiam multi Plicatores, qui reddunt aequationem AF -- Β γ . . PI x' abc o integrabilem. EX. 2. Fluens fluxionalis sequationis xyγ mrast Xy zzzz o erit vel x ' γ n3 Q x in a x, vel U' 'F -- αγα ala; ubi X fluit uniformiter: fluentes autem harum duarum fluxionalium . quationum erunt x 3 - fi vel x y b dii ubi a b
a &b sunt invariabiles quantitates ad libitum assumendae. Si
239쪽
Invenire fluxionalem σJuationem, cujus particularis valor sit da a re qua tio, viz. y φ : X , vel gu cunque oeytiatio sis se o) relationem inter XV y exprigeias. Assii matur quaecunque fluxionalis quantitas P x in Q , ubi P ερ esunt functiones quantitatum x &3: in hac quantitate nonnunquam Pro 3 scribatur φ : x vel pro quibusdam quantitatibus scribantur earum valores ex aequatione Vr o deducti; & pro F scribatur ejus valor ex sequatione F φ : X Vel ex aequatione or o deductus Scresultabit fluxionalis aequatio, cujus particularis fluens erit 3 t : α) vel F o. a. Invenire sequationem fluxionalem, cuius particulares valores sunt quaecunque datae quantitateS α o, β o, γ o, &c. Inveniatur fluxionalis sequatio, cujus partiularis fluens erit φ : αὶ κ φ : β) κ φ: γ) κ &c. o : Vel inveniatur aequatio, cujus particu laris fluens erit ρ a π -- - - cσ -- &c. V o, ubi p aetr - α,
p H- θ ρ - β, p c σ γ, &c. dc a, b, c, &c. sunt coessicientes ad litabitum assumendae; & perficitur problema. Infinitis modis facile deduci potest hujusce problematis resolutio. P R O B. XLIX. Datis duabus quantitatibus P e' q, quin sunt functiones vel alebraten vel Uxionales quantitatum XV D, HV βὰς ut Vm p At functio quantitatis q, necne.
Sint P & functiones quantitatum X dcr, quibus aequales sunt ρ &ρ respectiνς, i. e. sint P diras, et g ; ita reducantur hae duae sequatio
240쪽
nes in unam, ut exterminentur x & ejus fluxiones, ξο si etiam evaneleat quantitas & ejus fluxiones, tum p erit functio quantitatis hs ἡ Γ V UV. . quationibus plures variabiles quantitates ha- Cor. Data fluente P) fluxionalis sequationis, & p & functionibus quantitatum x γ): per hoc problema detegi potest, annon est
Ctiam Huens datae aequationis. φP R O B. L. 1. Invenire suxionales aequationes, quarum uentiates innotescunt. A matur quaecunque aequatio pro suentiali, inveniatur ejus pinio, G dividatur per quamcunque quantitatem N; tum erit resultans requatio fluxionalis, cujus uentialis innotescit. . a. Ex iisdem principiis deduci possunt duae vel tres vel plures n) -xionales inquationes, tres vel quatuor G denique quemlibet numerum Variabilium cst earum fluxionum involventes, quarum uentiales innotescire. A ssumantur quaecunque n) aequationes involventes nH-i vel plures) variabiles quantitates & earum fluxiones, &c. pro fluentialibus; inveniantur fluxiones cujuscunque ordinis praedictarum sn) assumptarum aequationum, & ducantur aequationes resultantes in quascunque invariabiles quantitates; addantur simul haec Producta, ita ut evadant n) diversae independentes aequationes ; tum clividantiar li n) αqciationes per quaslibet quantitates; & resultant n) fluxionales aequa tiones, quarum sn) fluentiales innotescunt. Assumendae sunt sequationes pro fluentialibus hujusce formulae P -- aseo, lac. ubi P est quaelibet functio variabilium & earum flu-Xionum, & a est quaecunque invariabilis quantitas ad libitum asili- menda. ι