장음표시 사용
241쪽
DE FLUXIONALIBUsT II E O R. XXXIII.
. De methoclis inveniendi fluentes fluxionalium aequationum.1. Sit sequatio, in qua continentur Variabiles quantitates es & ν Mearum Luxiones r ordinum, & in qua nulla quantitas fluit' uniformiter; & si supponantur omnes termini, in quibus haud continentur
x vel 3 nihilo aequales, & sit aequatio resultans P x o, & assii- matur sequatio P α - - o, R ducatur ea in quantitatem ρ, ita ut fiat integrabilis, & inveniatur fluens aequationis resultantis qPx-qQγ o, quae dicatur t; fueras datae aequationis erit funetu, quantitatist, qua inventa Plerumque e Principiis in theor. a. datis deduci potest fuens qUaesita. Demonstrari potesst hoc theorema e methodo inveniendi fluxiones fluentiti m. Et sic inveniri potest: fluens m ordinis datae aequationis, si modo fluentem recipiat data aequatio. a. Si ae sit maxima dimensio fluxionis F, cujus ordo est maximus data sequatione contentus; tum Iss'. ita reducenda est data sequatio,
ut haud plures quam una dimensio quantitatis r in ea contineantur: Scresultabunt plures fluxionales aequationes P o, o, R o, &c., quarum diversae sunt resolutiones, diversique etiam multiplicatores ;e. g. sit fluxionalis aequatio γ- - A-ρ B I H- AB - o, ubi literae A& B respective denotant functiones quantitatum F, F, F, F, - γ, reliquarum variabilium & earum fluxionum; tum reduci potest data fluxionalis aequatio ad duas alia. γ A st &2 B o, quarum si uentes la multiplicatores possunt este diversi. In resolvendis fluxionalibus aequationibus, in quibus involvuntur Dium modo x &γ. x bi: I''. ita reducendae sunt datae sequationes, ut liaud plures quam una dimensio fluxionum x &γ in datis aequationibus contineantur.
242쪽
EX. g. sit sequatio fluxionalis x x - xFxI in ab , erit x xy - ου -- Iby ay byb', unde xx et a' - - bῆ P. 3. Transformetur data fluxionalis sequatio in eandem sequationis Partem, i. e. nihilo fiat aequalis; & quantitatis resultantis inveniatur Per methodos in praecedente capite traditas fluens, si modo fieri possit, do invenitur fluens quaesita. . Si fluens haud praecedente methodo deduci possit; investigandae'. quantitas, quae an datam aequationem ducta, creat sequationem, cu)us fluens inveniri potest.
In hisce quantitatibus deducendis, quae in datam aequationem ductae, praebent aequationes, quarum fluentes inveniri possunt; haud inutiles forsan erunt subsequentes observationes. 1 LὶNullam compositam irrationalem quantitatem, i. e. irrationalem quantitatem duobus vel pluribus terminis constantem involvi necesse est plerumque in quaesita resultante aequatione, quae in data haud invenitur, ni exponentiales in quaesita fluente contineantur quantitates; e. g. sit data fluxionalis aequatio xi et a lxx --γγ) ay -- xy I xy --γ )ἴ γγ say xy)ἶ; in hac sequatione duae continentur irrationales compositae quantitates, viz. sa'--xy)ἱ & H--γη)ζergo haud improbabile erit finitam aequationem, quae exprimit fluentem a - κλ)έ -- - κη - γη)iὲ - - yy b, nullas alias compositas irrationales quantitates involvere, ni in ea Contineantiar exponentiales
vel fluentiales quantitates et in genere igitur assumatur quantitas praedicti generis, quae est generalis rationalis functio quantitatum α' &irrationalium quantitatum in data aequatione contentarum, ad potestatem vel radicem sm) evecta; hic forsan haud indignum est: obser-Vatu generalem rationalem functionem quantitatum x & esse fractionem sa x '-- b ' c x &c. in υ ' sis, B &c.) υ' --JA. -αβε xi . . occ.) υ τε- m &e I, & eXinde deduci Potcst liuens, ni in ea con tineantur exponentiales vel fluentiales quantitates.
243쪽
αβ . In datis diversis terminis datae aequationis contineantur diversae irrationales quantitates ; supponantur omnes termini, in quibus continentur eaedem irrationales quantitates, Vel eaedem duae vel tres diVersae irrationales vel rationales quantitates nihilo aequales , tum ex sequatione resultante saepe detegi potest quantitas, quae in data tam sequationem ducta, facit aequationem, cujus fluens inveniri potest. a ''. Di mensiones quantitatis 3 in fluxionem x ductae debent esse majores per unitatem, quam dimensiones ejusdem quantitatis in diductae, in termino, in quo involvuntur simul literae x dc 3 ; & sic de
litera x. EX. Sit aequatio py -- qFx rx, ubi literra p, g & r respective
denotant quascunque functiones literae X; ducatur data sequatio in Pstinctionem quantitatis o , & resultat Ppy -- Pyyx Prae; supponatur -l- Pρ' fluens nuXionis Ppy Pqrx, bc consequenter P sto
5. Sit fluxio Ax -- M Cx DF - o, subi literae A 5c B denotant functiones quantitatum x bc γ respective, & C 5c D sunt quaecunque functiones quantitatum x Sc y conjunctim) cujus inveniri potest fluens: sint vero dimensiones quantitatis di in functione B majores
244쪽
majores quam dimensiones ejusdem quantitatis 3 in functione D:
dividatur sequatio Ax--Bγ--Cx -D3 o per functionem Pquantitatis x, & resultat sequatio in qua dimensiones quantitatis 3 influxionem x ductae minores erunt quam dimensiones ejusdem quantitatis 3 in termino P in quo continentur literae x de F conjunctim)in I ductae Per quantitatem majorem quam unitatem; sed facile reduci potest sequatio - α -- ' PF - ο ad aequationem integrabilem Ax--B3 Cx - - DF o ex ejus multiplicatione in P: omnes
igitur datae fluxionales sequationes, ubi dimensiones quantitatis a in fluxionem x ductae haud superant dimensiones ejusdem quantitatis 3 in termino, in quo involvuntur quantitates x dc 3 conjunctim in rductae per unitatem) reducendae sunt ad fluxionales aequationes formulae praedictae; quod saepe perficietur, si modo auferantur quantitates in quibus continetur x e terminis, in quibus dimensiones quantitatis 3 sunt nimis magnae. Et sic de reducendis terminis, in quibus dimensiones quantitatis aesunt nimis magnae. Ex. Sit fluxionalis aequatio 837 π βF -- 7 a FS x -- S a xγεF - 6 b e x - o: in hac sequatione dimensiones sue) quantitatis y in xcluetae haud superant Praedictas dimensiones spin ejusdem quantitatis Fin F ductas per unitatem; ergo auferatur quantitas sx β), in qua continetur x, e termino praedicto 827x b), i. e. ducatur data aequatio in αβι & resultat sequatio quaesita 8γ73 -- 7σJ XVx -- Sax7yb -h6 bxS x o, cujus fluens erit γ' in a ys x7 -- l x const. 6. Si vero multiplicator constet e pluribus terminis; asiti matur pro multiplicatore primus terminus e praedicta methodo inventus -- p,& e methodo prius tradita inveniatur proximia. Valor quantitatis s, qui erit secundus terminus quaestus; & sic deinceps. Hic vero animadvertendum est, multiplicatorem constare Posse e terminis do in numeratore & denominatore contentis; etiamque, quod si nulla exponentialis & fluentialis quantitas in data aequatione contineatur,' B b a nullam
245쪽
nullam exponentialem nisi formulae se ) vel in multiplicatore vel influente necessario contineri; & generaliter si modo sint h, r, &e. exponentiales quantitates in data fluxionali aequatione contentae nullas esse exponentialeS quantitates in ejus multiplicatore vel fluente necessario contentas, nisi formularum π, ε, &c. e , es et e &C. eXPonentiales. i 'ν 7. Eadem etiam principia applicari possunt ad detegendas fluentes fluxionum, in quibus continentur fluxiones superiorum ordinum; sed assiimi debent indices, &c. in terminis magis generalibus quam influentibus nuxionum primi ordinis detegendis. In hoc loco animadvertendum est. 1. Sit data sequatio, in qua Continentur quaecunque functiones quantitatum x Ec I in i ta y ductarum ; aequationis multiplicator qui eam integrabilem reddit, quantitas erit algebraica, itemque functio quantitatum x de). Ist. Si in data aequatione contineantur functiones quantitatum x, v, x, γ, κ&γ ; tum Potest esse ejus multiplicator quaecunque functio
quantitatum x, F, x dcy. s. Si in data sequatione contineantur functiones quantitatum x, v,
- o, cujus fluens reperieturi I x' i -Φ- x - - - ubi C &x sunt in variabiles quantitates. Exc
246쪽
ά Cv''', ubi V est quantitas, quae fluit uniformiter. Ex. 4. Sit 3 xij -6x'υ - a x3xy; ducatur haec aequatio ina xI - yx, & aequationis resultantis fluens erit xγη - γxI x γ' - 4 x IIX xyγ'xη -- Cxη, ubi C in const. 8. Saepe e quibusdam datae fluxionalis sequationis terminis nihilo aequalibus esse suppositis detegi potest multiplicator, qui in datam fluxionalem aequationem multiplicatus, praebet fluxionem integrabilem. Inveniantur enim multiplicatores, qui in hos & reliquos terminos multiplicati, praebent fluxiones integrabiles ; ex his vero saepe constabit multiplicator quaesitus. a. tu nasis aequatio A B - o; inveniatur quantitas sa),
quae in is ducta, reddit fluvionem a A integrabilem, coicis fluens sit A; etiamque anueniatur quantitas b, quae in B duina, praebet fluxionem bB integrabilem, cujus fluens sit B I inveniantur tales functiones quantitatum A' & B viet. φA' & ΔΒ ut fit φΛ': ΔΒ :: b : & quantitas acpA in datam sequationem A -- B M o ducta, eam reddit integrabilem.
247쪽
Cor. Hinc, si detegi possit generaliter resolutio praedictae algebraicae aequationis aφ : A bc : B detegi possunt generaliter multiplicatores, nam, si generaliter detegi Pollini resolutiones aequationumis A bφ : D', quae sit Δ : detegi potest generaliter resolutio aequationis Δ : α cc : G , dc sic deinceps. Cor. a. Hinc inveniri possunt fluxionales aequationes, quarum fiuentes dantur: inveniantur enim duae diversae fluxiones Atic B, quae
si, et βω- - γxφJ ; & consequenter fluens fluxionalis sequationis
248쪽
Πuxionis fluens inveniri potest. Ex' 3. Proposita aequatione fluxionali αyx - βυ - x t ); O Rς. Vζω multiplicatores, qui ducti in ανου - . s. υPraebent fluxiones, quarum fluentes detegi possimi, erun sun i e, quantitatis in si ictionem Z ductae: eodem modo omnes tiplicatores, qui ducti in x γ' ίγyx - δυὶ Priebent fluxiones ouarum fluentes detegi possimi, erunt functiones quantitatis WV infra
249쪽
& exinde α I x -- β xy o. Multiplicator nonnunquam est algebraica functio variabilium quantitatum & earum fluxionum in data sequatione contentarum;
nonnunquam est etiam algebraica, fluentialis & exponentialis functio praedictarum quantitatum; & nonnunquam per infinitas series praedictarum quantitatum solummodo exprimi potest. Ρ R O B. LI.
Data formula requationis fluxionalis, ta quantitatis in s dictam inquationem ducendae; invenire casus, in quibus quantitas resaltans evadit integrabilis. Assumantur generaliter datae formulae fluxionalis aequatio & ejus multiplicator; ducantur hae duae quantitates in sese, & inveniantur Per methodos in praecedente capite traditas casus, in quibus datur fluens sequationis resultantis ; & perficitur Problema. Si innotescant formulae multiplicatorum, tum etiam innotescent formulae fluentium, & consequenter cum detur fluens ex assumptis multiplicatoribus, tum etiam dabitur fluens ex assumptis fluentibus: assumatur enim generaliter fluens datae formulae, cujus inveniatur fluxio, dividatur haec fluxio per datam fluxionalem sequationem, & si quotiens sit quantitas vel algebraica vel fluxionalis minoris quam ordinis datae fluxionalis sequationis; tum assumpta erit fluens datae fluxionalis, sin aliter non . .
Hie forsan haud indignum est observatu; cum in data fluxio nati aequatione dimensiones quantitatis I in x non superent ejus dimensiones in J ductas per unitatem; tum pro ejus multiplicatore vel fluente assumenda est quantitas, quae continet potestatem vel radicem quantitatis 3, quae in nullam functionem quantitatis x ducitur. ζ- g, Sit quantitas 33 H- PI x - - o, ubi P &4sunt
250쪽
functiones ipsius xi tum multiplicatores possunt esse 9 Φ M ' κ I ri &c.: vel etiam ex datis fluxionibus resultantibus a data
nu , ne in multiplicatorem ducta erui potest formula fluentis; Vel racile altumi potest formula fluentis, & exinde erui possunt casus, in quibus fluens datae fluxionis habet formulam assumptam. : : i R i0 γ' P o, ducatur haec aequa
; - - & consequenter erunt gantur
a. Hoc problema etiam e principiis in theor. a. traditis resolvi P xς M E g Sit stuxio. x - βF, cujus fluens inveniri potest; tum