장음표시 사용
261쪽
functio quantitatis x, ita asitimi potest P - e g ut fluens fluxionis 'x Pqx inveniri potest; sin aliter vero non. I.a. Fluens terminorum datae sequationis, in quibus continetur F, erit
Ps. q); ubi pers is intelligo fluentem fluxionis q), cum x finiatur invariabilis: & fluens fluxionalis sequationis erit FV--f. abe A o, ubi ' - x, & Wx est fluxio rectanguli P κ Vex hypothesi quod κ solummodo sit variabilis.
Aliter: inveniatur fluens fluxionis sq) eX hypothesi quodae sit invariabilis quantitas, quae sit ri tum fiat VP PVin tibi et est ea pars quantitatis ρ, in qua continotur I Vel ejus functio & non. lummodo quantitas x & ejus sunctiones; tum ex hypothesi quod in
262쪽
quantitatibus V & e) solummodo habetur variabilis x, quaeratur multiplicator P ex fluxionali sequatione P Vp αα PII, utidui' - μP i ergo, si sit functio unica quantitatis x in x, P erit etiam functio quantitatis x. a. Sit aequatio P 3 Q3 κ RF Q - S 3 x3 in &c. --
ργχ' ' - σFx' - -- ν 'x' ie Xω jubi x fluit uniformiter; & P, Γ, &C. χ istant scinctiones quantitatis x; tum ejus nin multiplicatores su) erunt functiones quantitatis x, quae erunt in fluentes fluxi
263쪽
M--πῖ x' ' -- &c. , &c.; tum fluens datae fluxionalis sequationis semper detegi potest.
Cor. Sit fluens datae fluxionis P γ- γ - ' &c P - ο; tum, ut e praecedentibus constat, erit multiplicator Mφ: P. a. Sit fluxionalis aequatio ordinis sn), viz. P γ -- er x R di x -- &c. o; ubi P, R, &c. sunt functiones quantitatum x de 3 ocearum fluxionum ordinum haud majorum quam n-Ι, π-2, n-3,&c.; & x fluit uniformiter: sit multiplicator sq, qui reddit sequationem integrabilem, fundito quantitatis x; tum inveniatur fluens
quantitatis P γ ex hypothesi, quod F solummodo sit variabilis; quae
qua solummodo supponitur sx invariabilis; deinde inveniatur fluens fluxionis MetFA-αμ-Mά - MPI ex hypothesi, quod F Ω- Iummodo sit variabilis, quae sit -Ms. α -- φ. x-ά -- Pjὶ - - Ma Mβ: tum inveniatur fluxio quantitatis β M- β ex hypothesi quod x solummodo sit invariabilis, quae sit Mγ μγ -- Mγ : deinde inveniatur fluens fluxionis MRγ xη M,
Mν - μγ- Mά - αM M PF-M. x ex hypothesi quod F solummodo sit variabilis; quae si in My My ; cuius in veniatur fluxio ex hypothesi quod x solummodo sit invariabilis, Mse deinceps: & si ultimo evanescant quantitas 3 & ejus fluxiones;
tum integrari potest data aequatio per multiplicatorem, quα. est functio quantitatis x; sin aliter vero non . Cor. Si ex assumptis valoribus praedictarum quantitatum ultimo evanescant quantitas F & ejua fluxiones, tum dabuntur fluxionales Nquationes, quarum fluentes innotescunt.
. Data fluxionali aequatione n Ordini. ο), quae sit data functio quantitatis 3, ejus fluxionum; at x M ubi x est invariabilis: &
264쪽
multiplicator eandem habeat formulam ac data sequatio, i .e. in eo in-Volvantur datae functiones quantitatis 3 & ejus fluxionum I, I, I, &ς-
Rd F ; per quamcunque datam methodum cum incognitis & cognitis functionibus quantitatum x & x; invenire ejus fluentem, si modo data aequatio sit integrabilis.1 '. Reducenda est data fluxionalis sequatio, ita ut fluxio maximi ordinis in ea contenta unam solummodo habeat dimensionem, i. e. sit
' -- &c. - Α- ο ι deinde ducatur data sequatio in multiplicatorem
M, & invitatur fluens fluxionis MPr ex hypothesi quod F solum modo sit variabilis, quae sit α; & exinde inveniatur fluxio quantitatis
α ex hypothesi, quod quantitates F, γ, γ, . . . I &- sint variabiles,& resultet fluxionalis quantitas B ; tum inveniatur fluens fluxionalis quantitatis MA- B ex hypothesi quod F solummodo sit variabilis,
si γ in quantitate ΜΑ - B unam solummodo habeat dimensionem, quae sit di; si autem in quibusdam terminis quantitatis MA B in-Veniantur aliae dimensiones praeter unam fluxionis I ; tum ita assumantur functiones F, G, H, &c., ut evanescant illae dimensiones fluxionis 3; deinde inveniatur fluxio quantitatis γ ex hypothesi quod
Τ, γ, γ, . . ., I & X re Praedictae incognitae functiones sF, G, &e. & earum fluxiones sint variabiles, & resultet fluxionalis quantitas Citum inveniatur fluens fluxionalis quantitatis ΜΛ-B - C ex hypo-
thesi quod F solummodo sit variabilis, si F solummodo habeat unam dimensionem in quantitate m--B - C, quae sit A si autem in quibusdam terminis quantitatis praedictae MΛ - Γ - C inveniantur aliae dimensiones praeter unam fluxionis γ , tum ita assumantur quantitates & earum fluxiones ut evanescant illae dimensiones fluxionis :deinde
265쪽
deinde inveniatur fluxio quantitati β ὀ eX hypothesi quodia,s, . . 5eae & praedictae quantitates s F, G, &e. &c.) & earum fluxiones sint variabiles, & resultet quRntitaS D; tum inVeniatur fluens quantitatis MA B- C-D ex hypothesi quod o solummodo sit variabilis,& sic deinceps; usque donec evanescant quantitas I & ejus fluxiones ex fluxione deducta: & si ex hac reductione resultent si) independentes sequationes totidem incognitas functiones quantitatum aeoc x c. involventes; tum ex ouentibus prae φctarum fluxionalium sequationum detegi potest data fluxionalis aequatio & ejus multiplicator: si plures m) sint incognitae functiones Praedictae quam aequationes, tum forsan pro m - i functionibus assumi Possunt quaecuniaque functiones quantitatis x & ejus fluxionum, &c.
Cor. Data aequatione p= P γ r γ - 1 F . . . t γ' ubi et mminor est quam n, & p esst data functio quantitatum γ,
usque ad F ; & q data functio quantitatum X, A, F, , γ, &e. Usque
ad ρ ι& rest functio quantitatum X, Ν, F, γ, γ, ... γ ; & s functio quantitatum X, x, , γ, ... I ; S sic deinceps: tum erit fluens
detegi potest e fluente fluxionalis aequationis B) P p - Pρ-- &e. - ο : si P sit fluxionalis quantita3 τ' ordinis; & p, q, r. s, &c.n iri ales quantitates ri, γ, dic dinum res pedive; tum erit praedicia sB) fluxionalis aequatio Ordinis, qui inventus fuerit maxiω
266쪽
Equatio resultans per consimilem methodum reduci potest, si a mminor sit quam n I; & sic deinceps. T H E O R. XXXIV.
I. Sit fluxionalis sequatio α - o, quae continet fluxionalem quantitatem γ ordinis n; dc si ducatur aequatio α o in P fluxionalem
quantitatem y ordinis m, ita ut aequatio resultans evadat integrabilis ;tum plures erunt fluxionales sequationes ordinis m , quae sunt fluentiales aequationes ordinis n- n,' datae aequationis α o, i. e. influentiali sequatione ordinis sn - m) datae sequationis fluxio F ascendet ad majores quam unam dimensiones. a. Si vero dentur n) algebraici multiplicatores, viz. a, b, c, d,&c; tum una solummodo datur generalis fluens, viz.f af b. f. cf. d &c. κα - o;&, si una solummodo detur generalis fluens, tum dantur n) algebraici multiplicatores; etiamque n) diversi algebraici multiplicatores, qui reddent datam sequationem integrabilem.
fuerit functio quantitatis ae in a) b ; & τ, &c. functiones quantitatis. Ee 2. Sit
267쪽
vx' υ -- &c.; ubi literae M, N, P, P in m σ α sunt functiones quantitatum x & ν; & R, &C., &c. sunt functiones quantitatis x; haec nuxio eandem habet formulam ac data fluxio in praecedente casu ; & sic deinceps: unde, si modo datae fluxiones hujusce generis integrari Possint, continuo ex inveniendis earum fluentibus deprimentur datae fluxiones in alias, quarum formula est magis simpleX. P R O B. LIV. Per infinitas series invenire Wia psic tores datarum fluxionalium σμ
i. Ex datis fluxionalibus aequationibus inveniatur series, quae exprimit valorem unius variabilis in terminis reliquarum & earum fluxionum; & si data fluxionalis sequatio sit primi ordinis, tum in serie generali continetur una solummodo invariabilis quantitas ad libitum assumenda; ea hac serie per methodum infinitarum serierum postea traditam inveniatur quantita3 A - Pti tum A in P erit ge
P ci' neralis fluens sequationis α - ο & ' multiplicator quietatus. a. Si data sit fluxionalis aequatio superioris sm ordinis, tum in serie generali Pra ducta inventa continebuntur mὶ invariabiles & inter se
268쪽
non dependentes s A, B, C D, &c.): ex hac serie inveniatur quaecun- quo praedicta invariabilis quantitas, e. g. AMPI tum erit A P
generalis fluens & - multiplicator quaesitus.1 H E O R. XXXV.
I. Sit aeqUatio fluxionalis α - o, quae ducta in P fiat fluxio, cuius fluens n ordinis inveniri potest : sit β fluens n ordinis fluxionalis
aequationis α o, tum - erit quantitas, quae ducta in α creat fluxio-
erunt multiplicatores, qui ducti in datam fluxionalem arquationem. creant fluxiones, quarum fluentes n-2, n-3, &c. ordinum inveniri possunt .
i. Pα - ε,&c. & multiplicatores, qui ducti in datam aequationem α - o Praebent aequationes fluxionales, quarum fluentes primi, secundi, tertii, &c. ordinis inveniri possunt, erunt respective P, .
α ' ιι Τ H E O R. XXXVI. I. Saepe e substitutione separari possunt variabiles quantitates: emethodis prius traditis deleri possunt quaedam ii rationales quantitates, e quibus nonnunquam resultabit separatio; vel saepe substitutio ex sequatione data satis manifesta erit, quae separationem variabilium quantitatum inducet; saepe etiam distingui potest data sequatio in E e a diversas
269쪽
diversas partes, quarum singula est functio fluentis in ejus fluxionem, quod e subsequentibus exemplis constabit. Ex. i. Sit xy ε yxὶ ii' - πνὶ - facilis. est observatio, uis sxI M' I x xF, cujus quadratum xyγη solummodo continetur in quantitate a- - xyγη; fluens vero fluxionis xx - γγ erit x' γ'); sed quantitas xy --γη solummodo continetur in quantitate sx- - - γη)l: scribantur igitur xΙ - Σ & x γη - m, & exinde resultabit sequatio et cisa - Σ ) - in qua variabiles et & v se
Ex. 3. Sit nuxio nunc supponatur irrationalis quantitas o x' - γη) qua quantitate larius fluxionibus pro suis valoribus in data sequatione substitutis resultat,SE κ ίxR H- zx) z; scribatur xz p, dc ex hoc aia sumpto valore deduci potest --
270쪽
zx' ; e data sequatione exterminentur 3 & ejus fluxio, & resultat
Ex- 9. Sit ἶ-- g Τ x, ubi p & 7 sunt algebraicae functiones literae x; si ρ - , tum separari possunt indeterminatae a