장음표시 사용
281쪽
sequatis terminis resultantis aequationis, quorum dimensiones haud videntur esse eaedem.
Et sie de infinitis aliis huiuscemodi aequationibus deducendis, quae vel in homogeneas aequationes vel in alias cujuscunque datae formulae reduci possunt. a. Sit data fluxionalis homogenea aequatio sn) ordinis, quantitates x &I, & earum fluxiones x, Π γ, J, . . ., F Sc j involvens, ubi x fluit
uniformiter: in ea pro F, F, F, . . F &γ scribantur respective Ux,
. . . o & v ; deinde ex data algebraica sequatione A o inveniatur oin terminis reliquarum v, υ, . , v , o & Ut, & substituatur haec quan .
valore u ri & resultant n- i) fluxionales sequationes primi ordinis
282쪽
involventes su) quantitates v, Q v , ..., v & earum fluxiones primi ordinis: & exinde, si modo reducantur hae sn- I) sequationes in Unam, ita ut exterminentur omnes praeter quascunque duas variabileS& earum fluxiones, per prob. 26. resultabit fluxionalis sequatio invol-Vens duas praedictas variabiles quantitates & earum fluxiones ordinis, qui non major est quam n- I). s. Sint duae homogeneae fluxionales aequationes primi ordinis involventes variabiles x o&χ &earum Primas fluxiones: in his duabus aequationibus pro 3 & et scribantur respective v x & π x, & pro3 & et substitu antur v x & πω, & resultabunt duae algebraicae aequationes Aino & B-bquatuor variabiles v & π, Ο & is involventes: ex praecedente methodo
pro es & scribantur respective functiones quantitatum o &is ex sequationibus A o & B o petitae; & resultabit fluxionali, sequatio primi ordinis relationem inter v & & earum fluxiones ex
primenS. 4. Sint duae, tres vel m homogeneae fluxionales sequationes ordinis n), tres vel quatuor vel a) variabiles quantitates F, π, Sec.
&c. &z. & resultabunt m) algebraicae aequationes sm) su 'I) variabiles quantitates habentes , & per methodum Prius traditam de
duci possunt aequationes - - P, - - &c. -
283쪽
&c.: in his aequationibus pro υ', &c. scribantur earum valores; la resultabunt m κ n- 1 diversae fluxionales aequationes primi ordinis involventes m κn variabiles quantitates; si hae aequationes in unam reducantur, ut exterminentur omnes praeter duas variabiles quantitates & earum fluxiones; tum resultabit fluxionalis aequatio, cuJus ordo non major est quam mu- I. S. Ex iisdem principiis & reductione aequationum facile constat si modo dentur m) homogeneae fluxionales aequatioDes ordinum r, , i, &c.); & reducantur per methodum Prius traditam aequationes deductae in unam, ita ut exterminentur sm- I) variabiles quantitates& earum fluxiones) aequationem resultantem habere ordinem, qui non ma)or est quam r in s --t in&c. - I. T H E O R. XXXVIII. Desin. AEquatio relationem inter x Sc I & earum fluxiones exprimens dicitur homogenea, si non solum variabilibus x &3, sed etiam singulis earum fluxionibus x & y, itemque 3,st &c. unam dimensionem obtinentibus, omnes aequationis termini eundem dimensionum numerum contineant.
Hinc; si γαm p x dc q, litera ρ nullam habet dimensionem,
litera ρ unam habet dimensionem negativam, Scc. Ex iisdem principiis, via. substitutionibus, fluxionales aequationes superiorum ordinum reduci possunt ad fluxionales inferiorum ordianum aequationes. Ex. i. Datam sequationem fluxionalem secundi ordinis, quae sit homogenea, ad sequationem fluxionalem primi ordinis reducere. 5ὶnt p x &Iῖ - ρx, & habeatur aequatio inter quatuor quan titates
284쪽
titate. x, I, p bcq relationem exprimens : fingatur u ux & Τ - ',qVibus valoribus pro γ & in data aequatione substitutis, resultat aequatio relationem inter u , υ & p exprimens, ex qua unam Per duas reliquas definire liceat: cum autem sit γ p x, erit u x -- xu paedeinde si yx ;
minis quantitatum p & u, substituatur valor inventus Pro v in Praedicta sequatione psi - up Uu, & resultabit aequatio relationem inter variabiles p dc u la earum primas fluxiones exprimen S. Ex. 2. Si aequatio fluxionalis evadat homogenea, cum alteri variabili 3 tribuantur n dimensiones, tum ejus resolutio eadem erit ac aequationis in ex. praeced. contentae; scribatur enim .' pro γ & resultabit sequatio homogenea; vel quod ad idem redit, fingantur F - x v, 3
stituantur etiam in data sequatione pro F, p & ρ praedicti valores, &resultabit aequatio relationem exprimens inter u, t dc υ; ex qua inveniri potest v in terminis quantitatum e dc u; scribatur hic valor in
quatio quaesita. Sit n - o, i. e. si quantitati γ & ejus fluxionibus nullae tribuantur dimensiones, data aequatio evadet homogenea; hoc scilicet casu variabilis x cum suis fluxionibus in singulis terminis easdem constituunt
Sit u infinitus, & dimensiones e variabili 3 & ejus fluxionibus in sin
gulis terminis evadent eaede EX. gr. Sit y cx 'x Ἱγ, ejus fluentem invenire. Quoniam γ p x, & γ - ρ xy, erit 3 cxb 'p'x'; fingantur x - xla,
285쪽
aequat. quaesiit. Primi ordinis.
Si n sit infinitus, scribatur j ix &γ-ρx', & aequatio ita erit comparata, ut in ea tres variabiles F, ρ & g ubique eundem dimensionum namerum obtineant: statuantur ρ - μ' & y Vy, quibus quantitatibus pro suis valoribus in data aequatione substitutis, resultabit aequatio relationem inter variabiles x, u & v exprimens, ex qua inveniatur υ in terminis duarum reliquarum v dc x: sed quoniam p ust erit γ p x et u)x, & quoniam γ - Τ Ν', erit 3 vF x
x ubi ν u); ex his aequationibus sequitur ux- ' unde is x - 9 - sed invenitur valor quantitatis v in terminis quantitatum v & x, scribatur hic valor pro υ in aequatione v x is & resultat aequatio quaesita. 'Si in aequatione ti*κ-ti in via substituantur &- f., ἰθ' x F ix sit constans pro suis valoribus uticis, resultabit aequatio a ves Facile constant casus, in quibus fluens fluxionalis sequationis inveniri potest ex aequatione resultante, &c. Ex. 3. Si in data aequatione relationem inter x Sc 3 6c earum fluxiones designante, in qua fluit uniformiter desiit altera incognita quantitas 3; scribatur in dat a sequatione pro F eius valor assilmptus p x, & pro fluxione F - p x, pro p x & sic deinceps ; & resultabit aequatio, in qua ordo fluxionum minor unitate quam in data i e si data contineat secundas fluxiones, tum resultans continebit solummodo primas; &c.
I 20ς si a sit quantita), qu stuit uniformiter, supponatur x - ,- -p x p A & sic deinceps; quibus quantitatibus Prosuis
286쪽
sitis valoribus in data sequatione substitutis resultabit aequatio, in qua ordo fluxionis quantitatis p minor erit unitate quam ordo quantitatis x in data aequatione. inventus. Si nullus terminus in data aequatione assumatur tanquam constans, tum assumi potest quaecunque quantitas, cujus fluxio sit constans; sed praestat assumere talem quantitatem fluentem uniformiter, qua scilicet assumpta deleantur plurimae
quantitates e data aequatione; vel ita transformentur quantitates ut exinde ejus fluens investigari possit; vel reducatur aequatio in formulas pra: si as, quarum resolutiones docentur.
AEquationes, quae haud apparent sub hac formula, e substitutione nonnunquam in eam reduci possunt, e. g. sit aequatio Qx IF --γη -b. γ'I scribatur et, Sc resultat ex - E ER. EX. 4. Si duae variabiles sx & γ) quantitates in data sequatione contentae simul cum earum fluxionibus semper in singulis terminis
easdem conficiant dimensiones; & x sit constans quantitas; assumantur x - e' &I est, ubi e num. cujus log. est I; tum es in fu&- u o, quoniam x est constans, erit u - - ὰ .
resultabit aequatio, in qua haud invenitur u . Hoc ita loco Observandum est, nec quantitatem et nec u in aequatione resultante fluere uniformiter, sed '.
Ex. s. Si variabilis 3 cum suis fluxionibus γ & 3 ubique eundem dimensionum numerum adimpleat in data fluxionali aequatione, eam in fluxionalem sequationem primi ordinis reducere. Sint 3 p x & ρ - ρ x, unde Variabiles 3, p&q ubique eundem
dimensionum numerum obtineant: statuantur prata v d y - UI&substituantur hae quantitates in data aequatione pro suis Valoribus, id resultabit sequatio relationem inter x, u R U eXPrimens, e qua inveniatur u functio quantitatum ae & ui ob p uJ, erit γ IX, ae exinde
287쪽
Cor. . Ex formulis integralium aequationum prius traditis constant formulae hujusce generis integrabiles. EY 6. Si variabilis 3 cum suis fluxi cnibus j, j, &c. 9 ubique eundem dimensionum numerum adimpleat in data aequatione, eam in fluxionalem aequationem sn - I) ordinis reducere. Substituantur pro, 3, 3, 3, &c. in data aequatione respective es νη, uxes η, su*x -- sex)ef Vi, su3x3 -- 3 uis xy Ux) &c. ubi ae est constans, & resultabit fluxionalis aequatio sn- i) ordinis. Hoc etiam perfici potest e praecedentibus principiis, quae omnino eadem sunt ac ea hoc in loco
Eodem modo scribantur pro u; vel - , vel K Mz. vel V E L NE'&e. in data sequatione, & resultantis aequationis fiant quicunque termini nihilo aequales, ita vero ut aequatio eXinde resultans evadat maxime simplex; &c. Paulo aliter in quibusdam casibus progredi licet: e. g. sit aequatio
288쪽
7 si e b ' ν' , ubi a & b sunt quaecunque invariabiles quantitates. Constat e substitutione. Facile deduci possunt formulae sequationum, quarum ex his substitutionibus γ - vel 3 - e t &x - e ', &c. fluentes deduci post
sunt: assumantur enim formulae aequationum, quarum fluentes dentur, & exinde investigentur sequationes, quae praedictis substitutionibus praebent aequationes formularum assumptarum: e. g. fluentes fluxionalium aequationum primi ordinis, in quibus deest una variabilis quantitas, vel quae in hanc formulam reducantur, inveniri possunt; &c.& e priori substitutione patet omnem aequationem, cujus singuli ter
'ini habeant formulam Af)bim' ubi in singulis A, n, m, & p sunt
invariabiles &n-sem -- p eadem quantitas) transire in aequationem fluxionalem primi ordinis, in qua deest x: deinde e substitutione posteriori constat omnem aequationem, cujus Primus terminus sit 3 , caeteri vero habeant formulam 'x' ', in qua A, n & m sunt invariabiles, & n -- m -- r sa-m I, ubi r & 2-m in singulis terminis eadem manet), transire in fluxionalem sequationem secundi ordinis, in cujus singulis terminis variabilis et cum ejus fluxionibus easdem con ficit dimensiones, & deest variabilis u. Idem etiam affirmari potest, si modo pro x in singulis terminis
pr dictis scribatur - , vel fluxi O cujuscunque fianinionis qUantitatis x.
Et sic de inveniendis sequationibus, quae substitutionibus praedictis reduci possint ad homogeneas aequationes primi ordinis, cίeterasve
289쪽
In hoc exemplo animadvertendum est nec t nec u fluere uniformiter, sed es; unde resultans aequatio hac methodo haud generalem resolutionem recipiet. Ex. 8. Sit sequatio PF Qγ x -- R x' - οι ubi P, Q & R sunt homogeneae functiones n, n - I & n- I dimensionum literarum x& 3 respective; scribatur 3 - x z, dc resultabunt F κα-- et x& j-xz--2zx, si modo x fluat uniformiter; quibus quantitatibus prositis valoribus in data aequatione substitutis, resultat sequatio p x* E-- ρxzx rx' o, ubi literae p, Τ & r respective denotant functiones literae z. 0. Sit aequatio PF QF - ' RI &c. - o, ubi literae P, P, R,
dimensionum literarum x Sca respective; fingatur I xet, & exinde
γ - & sic deinceps, quibus quantitatibus pro suis valoribus in data aequatione substitutis,
resultat sequatio pacta in qx' ' Z X -- rx ' z xy &c. - o, ubi literae I', Τ, r, &c. respective sunt functiones literae et, &c. Sint π α I variabiles quantitates in data aequatione contentae;
290쪽
eavendum est, ne in substitutionibus pro x & γ scribantur tales sunctiones quantitatum assumptarum et & v, quales reddant quantitatem X exinde deductam, pendentem e quantitate 3; aliter in errores ut nos inducamur probabile est: e. g. asium antur pro x & F quaecunque homogeneae diversae functiones nullius dimensionis quantitatum assumptarum et & v, scribantur hae functiones pro suis valoribus in
data aequatione, Sc resultat homogenea aequatio, unde reducitur omnis aequatio ad homogeneam ; sed in hoc observandum est, quod assumptio duarum diversarum homogenearum functionum nullius dimensionis praesupponit quandam relationem inter quantitates x F existentem.
Proposita aquatione suxionali, cujus fluens ex introductione novarum variabilium pro iis in data inquatione contentis detegi potes; invenire multiplicatorem, qui ductus in proso tam inquationem, praebeat Juxionem c*us uens inveniri potes. Sit P x -- - o proposita aequatio, quae per substitutionem reducatur ad aequationem P κ -- 23 - Rt -- Sis, ubi duae variabilest u introducuntur loco ipsarum x dea; dividatur sequatio Rt -- Suin o per V, cum igitur fluens fluxionis inveniri possit, tum
Perit multiplicator, qui in datam aequationem ductus praebet fluxionem, cujus fluens inveniri potest: in multiplicatore P pro Variabilibus u & e restituantur variabiles x Scr, & resultat multiplicator quaesitus. NCor. Hinc multae aequationes inveniri possunt. quarum multipli- H h catores