장음표시 사용
321쪽
tum resultabit aequatio, in qua deficit terminus, qui fuit functio
et . Substituantur pro quibusdam functionibus quantitatum in clatis aequationibus contentarum quaedam functiones novarum variabilium assumptarum; & exinde nonnunquam deduci Possunt aequationes, duarum fluenteS dantur
322쪽
- &c.: ex hisce sequationibus inve
323쪽
Ex. s Sint m aequationes smq-Iὶ variabiles quantitates et,&c.& t) involventes, & si in singulis terminis datae aequationis solummodo contineatur vel una dimensio quantitatum x, F, z, U, &c. , Vel earum fluxionum quorumcunque ordinum ; Vel nulla; & contineatur unus terminus in singulis aequationibus, qui est functio quantitatis e in i , ubi t est quantitas, quae fluit uniformiter; i. e. sint aequationes
lum resultabit sequatio hujusce sormulae P i es f R Testa S es &c. in L i , ubi P, Q, R, S, &c. dc L denotant functiones quantitatis t, quae facile deduci possunt.
Et similiter erui possunt formulae sequationum resultantium eae datis aequationibus, quarum formulae haud sunt multo magi. compositae quam Priacedentes.
324쪽
Cor. Sint m aequationes m -- i in variabiles quantitates x, η,
h ; C, P, C , 5cc., . . . C ; quascunqUe invariabiles quantitates respe
ctive denotant, & Test quaecunque functio quantitatis reducantur hae m sequationes per prob. 26. in unam, ita ut eXterminentur omnes variabiles & earum fluxiones praeter duas, viz. x & ejus fluxiones, & e
& t; tum resultabit sequatio formulae Ax in B x f C x ty D x is in ... Hxi I xi se T t'; literis A, B, C, D, &c., H dc I invariabiles quantitates denotantibus, & T denotante functionem quantitatis t: hujusce sequationis fluens in theor. 42. tradita fuit. a. Resolvi etiam postiant duae Vel plures n aequationes tres vel plures n i) variabiles quantitates habentes, assumendo generales quantitates, quae in se continent resolutiones quantitatum quaesitas; dc eas pro valoribus e singulis variabilibus quantitatibus in datis aequationibus contentis scribendo, & correspondentes terminos resul
tates; scribantur hae quantitates pro suis valoribus in datis aequationi bus, & e resultantibus sequationibus investigari potest fluens quaesita. EX. a. Sint x aγ T cx - a)ὶf o,
325쪽
hae quantitates, &c pro suis Valoribus x, γ, x, γ, in datis sequationibus, dc exinde inveniri potest fluens quaesita. Faeile deduci possimi infinitae aequationes hujusmodi, quarum fluentes innotescunt; asiumantur enim aequationes pro fluentibus quaesitis, quarum inveniantur fluxiones, & methodis prius traditis consequuntur infinitae sequationes fluxionales, quarum fluentes acquiri possunt. Aliter: assumantur quaecunque aequationes relationem inter Variabiles quantitates,&c. exprimentes pro fluentibus ipsis; deinde assumantur quaecunque fluxionales quantitates L m, n, &c. R ex
assumptis sequationibus & earum fluxionibus, &c. inveniantur quantitates P, R, &c. quae aequant assum Ptas quantitates L m, n, &c. respective, tum I P, m n R, Sc. erunt aequationeS, quarum fluens particularis erit assumptae aequationes praedictae.
T II E O R. XLVI. Sit sequatio fluxionalis A - ο ordinis n), in qua fluit uniformiter
x, cujus fluens sit B o; deinde transformentur utraeque aequationeῖA - Ο & B - o respective in duas alias C - o dc D - ο, scribendo
pro γ, -& sic deinceps, ut docetur in Prob. 3ς; tum D - o erit fluens fluxionalis sequationis C - o.
miter x, scribatur pro γ ejus valor e prob. 34. deductua T, &resultat xγ 'in' ducatur haec aequatio in ae
arx o; quae si modo generaliter corrigatur, evadet xxγ
aγx ita in AEI' - ο, ubi A denotat quantitatem invariabilem ad
326쪽
ad libitum assumendam: aliter ducatur data sequatio in & resuru
J Ψό- A constant. quant. quae aequatio eadem est ac prae
Cor. . Sit sequatio p x - - q3 o, inveniatur ejus fluxio ex hypothesi quod ae sit constans, dc resultat s x -- y I in qy o, cujUs generalis fluens erit px - yγ Cx ; deinde inveniatur ejus fluxio
ex hypothesi quod F sit constans & resultat fi x - - ρ' -- p x cujus fluens erit px -- ργ - Ο; quae fluentes minime eaedem sunt: in aequatione s x -- ρ γ -- ργ o pro F scribatur ejus valor praeis dictus - & resultat si x F - o, ducatur haec sequatio I st y in la , & resultat fluxio, cujus fluens est ρ - - - - Q vel quod idem
est lx - ργ - Cx quae eadem est ac fluens aequationis p x qa -
ΤΙ - o. Idem etiam aflirmari potest de fluentibus quarumcunque fluxionum hoc modo transformatarum: & e principiis prius traditis & datis multiplicatoribus datarum fluxionalitam sequationum facile Criai POD sunt multiplicatores ex consimili substitutione fluxionalium sequationum hoc modo transformatarum.
Dotu suxionali aequatione duas variabiles quantita es X G y G earum fluxistuc babente, invenire utrum altera sy) exprimi potest iu silebraicisci haud exponentialibus terminis alterius X , necGe. Inveniantur singuli valores A, B, C, &c. quantitatis γ eadem cor-xectione adhibita) in terminis progredientibus secundum dimensionem.
327쪽
alterius x; deinde Per Med. Algeb. inveniatur annon summa e singulis hisce valoribus sit algebraica & rationalis functio literae x. Ducantur quique duo e singulis Praedictis valoribus in sese, deinde inveniatur utrum aggregatum e singulis praedictis rectangulis sit algebraica & rationalis functio praedictae literae x, necne. Et sic ducantur quique tres, quatuor, &c. praedicti valores in sese, & inveniatur, utrum aggregata e singulis hisce cootentis sint rationales & algebraicae functiones literae x, necne; si vero detegantur praedictae rationales functiones, tum datur aequatio algebraica, quae exprimit relationem inter x de ; sin haud exprimi possint praedicta aggregata per illas rationales functiones, tum nulla assignari potest
aequatio algebraica, quae exprimit relationem inter x & F. Et sic de inveniendis algebraicis aequationibus exprimentibus relationes inter quascunque functiones literarum x & 3. Omnia haec etiam ad plures fluxionales sequationes applicari possunt. P R O B. LXIII. Data suxionali aequatione exponentiales quantitates invoDente ; invenire
fluentem data inquationis, s modo snitis terminis exprimi posit. Per prob. 3. inveniri potest quantitas, quae in datam exponentialem datae aequationis quantitatem ducta, exponentialem fluxionem dat, cujus fluens inveniri potest; ducatur data sequatio. in quantitatem
inVentam, & resultantis aequationis inveniatur fluens; dc confit problema. Saepe vero exigit problema, ut prius transferantur eX ponentiales
quantitates e terminis datae aequationis, in quibus continentur, in reliquos; deinde per praecedentem methodum progrediendum est. Ex. i. Sit exponentialis aequatio fluxionalis IRX I x log. x κ γ - - xγ
p x ε 32 intζgrabilis, ducatur data aequatio in Q dc resultat aequatio, cujus
328쪽
cuius fluens invenietur x κγ-s p x - ργ) -- a, ubi a denotat invariabilem quantitatem ad libitum assumendam. PROB. LXIV.
Data luxionali aequatione, in qua fluentes continentur; invenire ejus uentialem aequationem. Hoc saepe perfici potest ex iisdem principiis, ac ea ; quae in Prae cedente problemate de exponentialibus & fluxionalibus aequationibus tradita fuere. Ex. . Sit aequatio fluxionalis r xs α γ x ''r aere px κ x ' ι ducatur haec sequatio in V & resultat rx ' xs Wr in x b in pae, cujus fluens est x s. x fp x -- a. AEquationes in quibus fluentiales quantitates involvuntur, facile reduci possunt, ita ut fluentiales quantitates exterminentur. Eadem etiam applicari possunt ad plures fluxionales aequationes fluentiales & exponentiales quantitates involventes.
Data Iuxionali requatione duas variabiles quantisa es x & y & earum fluxiones involvente ; invenire utrum X Os y algebraiciae, exponentiales velfluentiales functiones nova a Nix quantitatis Z.
Assumantur pro variabilibus x & γ functiones quantitatis et generalibus terminis expressae, quae necessario exprimunt valores quantitarum x &γ ; scribantur hae functiones pro suis valoribus x &3 in data aequatione, & ex sequatis terminis resultantis sequationis correspondentibus inveniantur functiones quantitatis et quaesitae, si modo tales recipiat data sequatio; & perficitur problema, Cor. . Hinc inveniri possunt infinitae sequationes fluXionales relationem inter duas variabiles quantitates x, y & earum fluxiones exprimentes, quarum Variabiles sx & v majori facilitate eXprimi pollunt.
329쪽
in terminis assumptae Variabilis z; quam variabilis x exprimi potest in terminis quantitatis F, Vel y in terminis quantitatis x. Assumantur valores variabilium X dc 3 in terminis novae assumptae quantitatis et inter se respective respondentes; reducantur hae duae assumptae aequationes in unam, ita ut exterminetur variabilis quantitas et, di resultat quaesita aequatio relationem inter x & γ & earum fluxiones exprimens, cujus fluens datur in terminis asilam piae quan
scribatur haec quantitas pro z, & ejus fluxio pro et in sequatione - et in x ε, & resultat aequatio quaesita.
Ex. 3. Assumantur aequationes f. e fa Q --ax' I&y. --μfz - x, unde fz κ& a se scribatur valor c. pro x, &c. in aequatione se infrὶ Π V a x ' x -r; deinde per Prob. 26. ita reducantur aequationes resultantes, ut exterminetur z; Rresultat sequatio quaesita. Et sic inveniri possunt plures sn) sequationes n - i) variabit . quantitatea & earum fluxiones involventes, quarum variabiles quan titates
330쪽
titates exprimuntur per datas functiones assumptarum variabilium
quantitatum. Hic animadvertendum est has resolutiones non este generales reso- Iutiones aequationis resultantis: si vero in assumptis resolutionibus, a. e. duabus aequationibus involventibus quantitates x, F, & et contineatur quantitas ad libitum assumenda; & ea quantitas ex resultante aequatione evanescat, cum evanescat quantitas Q, tum assumptae erunt generales resolutiones resultantis aequationis relationem inter x & Iexprimentis; si modo sit fluxionalis aequatio primi ordinis: si autem duae vel tres,&c. independentes & invariabiles quantitates in assumptis resolutionibus contineantur, tum si modo reducantur assumptae sequationes relationes inter x, γ, z, &c. exprimentes in unam, ita ut exterminentur omnes praeter x & γ, &c.; & si modo evanescant m) invariabiles quantitates ex fluxionali sequatione sm ordinis, tum erunt assumptae aequationes generales resolutiones aequationis resultantis
Sint duae datae aequationes sA o & B - ο) exprimentes relationes inter variabiles x, 35zz I in quibus continetur invariabilis quantitas ad libitum assumenda sa); tum ita reducantur tres aequationeS Amo, B o & A o, ut exterminentur duae quantitates sa & a), & resultat aequatio relationem inter x & F exprimens, cujus duae datae aequa
tiones erunt generalis resolutio.
Sint tres vel quatuor vel plures na sequationes A O, E o, C in O, &c.) exprimentes relationes inter bH-Iὶ variabiles sx, v,
&C- in b) aequationes, ut exterminentur quantitates variabiles z, Z, SQ & invariabiles a, b, c, &c., tum resultant ) quationes, quarum datae erunt resolutio. Et sic de aequationibus assumptis, in quibus variabiles habent fluxiones superiorum ordinum.