장음표시 사용
331쪽
T PI E O R. XLVII. In detegenda fluxione n ordinis contenti aκbκcκdκeκ &c. f κ
..... sn-m- r - s - t - &c. I), denominator Vero I. a. 3. .m XI. 2.3. . . r X I. 2 . 3 ... I κ &c. Ubi n m m in r s in t in &c. Cor. . Hinc si fluxio reduci possit in praedictam formulam M o, ejus fluens erit a R. bκcκdκ &c. - Ax '' -- Bx -- Cx -- &c. ubi A, B, C, &c. sunt quaecunque invariabiles quantitates, & x quantitas quae fluit uniformiter.
ejus generalis fluens A g - &c. ubi B, C, D, &c. sunt constantes quantitates ad libitum assumendar nullius, primi, secundi, tertii, &c. fluxionalis ordinis. Cor. . Si vero b, c, d, e, &c. sint functiones quantitatis, quae fluit uniformiter, tum ejus fluens facile inveniri potest. T H E O R. XLIX. i. Sint κ&3 respective qua cunque algobraicae functiones quantitatum t & u & earum fluxionum, & si modo detur relatio algebraica inter quantitates t & u; tum dabitur algebraica relatio inter quantitates x &F. Facile constat.
332쪽
Cor. . Hinc facile deduci possunt quantitates x Ecg, quae erunt algebraicae functiones ex se ipsis, si modo duae aliae si & Q etiam sint algebraicae functiones ex se ipsiis: assumantur enim functiones quantitatum t, ti, & earum suxionum, quae sint x, ωγ ; deinde in-Veniantur,t & u in terminis quantitatum x & 3, bc resolvi potest
problema. Ex. . Sint F - & x t - ita reducantur hae
braica functio quantitatis ui tum erit x algebraica sunctio quantitatis r. a. Sit aequatio ubi per φ : x&D denotatur functio fluxionum x&γ duarum dimensionum, & x fluit uniformiter; in ea pro γ scribatur et x, & resultat a x b et x)ὶ κ Σ - φ : z) κx, & consequenter bs Qx - - ax, & exinde ba - φ':
333쪽
Ex. a. Sit pro 1 scribatur TMSz resultat aequatio γγ
est y - - κ I - zφὶ c. Eadem principia ulterius Promovere 3. Sit fluxionalis aequatio A o ordinis m , hi qua continentur r) diverta invariabiles quantitates ad libitum assumendae, quae in data B o sequatione m rin ordinis easdem variabiles quantitates Mearum fluxiones involvente non inveniuntur: scribantur quantitates& earum fluxiones ex aequatione A o acquisitae pro suis valoribus in aequatione B o, & si ex nonnullis radicibus aequationis A se opro suis valoribus in aequatione B - o substitutis evanescant ptaedictae r in invariabiles quantitates, ex nonnullis vero non ; tum aequatio A o resolvi potest in plures, quarum nonnuli e sunt generales suentes datae fluxionalis aequationis B - o, nonnullad vero non . . Sit Vino fluens fluxionalis aequationis oti tum, ut prius
Probatur, omnis functio quantitatis Verit etiam fluens quationis unde fluens cujuscunque fluxionali. aequationis contineat in te quomlibet numerum invariabilium & quodammodo variabilium quantit tum ad libitum assumendarum. Si aequationis V - o divisori q) TR ime simple sit fluens m) ordinis fluxionalis aequZtionis
334쪽
W mo, & in se contineat m) invariabiles quantitates ad libitum aD sumendas, quae in aequatione Wino haud inveniuntur, tum P τα oerit generalis fluens praedictae sequationis IV o, sin aliter particu
relationem inter p, g, x & I exprimens; tum ex ea non datur valor quantitatis V . . a. Sint duae sequationes relationes inter praedictas quantitates exprimentes ue tum ex iis deduci possunt valores quantitatum p&q respective in terminis quantitatum x & γ; & consequenter facile constabit, annon fluxio p x -l- ργ sit integrabilis, necne. Sint ρ & ρ datae functiones quantitatum x & 1 3 ita reducantur hausunctiones, Ut exterminetur una incognita quantitas vel p vel q vel x vel F; & resultabit sequatio relationem inter tres reliquas exprimens, unde inveniri potest quantitas p in terminis quantitatum x &γι& exinde inveniri potest quantitas ρ in terminis quantitatum x &I,& tum ex resultante sequatione assignari potest valor quantitatis . Si detur relatio inter p dc x vel 3 vel g, tum ex ea non deduci Potest valor quantitatis V. a. Et similiter cum dentur relationes inter has quantitates p,
solummodo sint variabiles quantitates x lar & deduci Possint Huae ex his quantitatibus in terminis quantitatum x&γα eaaum Uxionum, exprimi potest V in terminis quantitatum x & y S earum fluxionum: si Vero tres invariabiles quantitates in datis aequatIonibus contineantur; tum, si tres praedictae quantitates exprimi positiit in te minis quantitatum x, I V exprimi Potest in terminis quanta litatum
335쪽
titatum x,lγ & z. ta Rarum nuXionum, sin aliter Mero non: & sic deinceps Omnes sequationeS hujusce generis reduci possunt ad fluxionales aequationes; scribantur enim in iis carum valores e fluxionalibus aequationibus deducti, & resultant fluxionales aequationes quaesitae.
PROB. LXVI. Datis ρtiibistam Oxionibus V), in huibus continen ur duae vel plures variabiles quantitates; invenire casui, in quibus earum suentes V) exprimi possunt: s data suxis dividi psit in suxiones integrabiles hu regeneris P X, tum erit P functio quantitatis X; ta in vero reduci post in formulam p x q y r Z-s V -- m. tum eruul P, q, i , S, tac. funes ones quantitatum X, Υ, Ζ, V, tac. Onsmiles etiam preps sones etiam ad xionales inquatioues superiorum ordinum applisari possunt.1. Sit a m P x, & erit P functio quantitatis x; & sic sit z. p x -l- ab ), & erit ρ functio quantitatis vel similiter sit z -
a. Sit z - ω -- Px, ta erit P functio quantitatis x; unde sit E in
. Sit et px q=, tum fingatur 3 constans, & inveniatur spes - αι & erit Z - α - φ : m. Et sic de pluribus variabilibus quantitatibus in data aequatione contentis.
6 Sit p x q) - r 6 -- s z - - t π, ubi ρ & ρ sunt functiones quantitatum x &3: &,r, s & t sunt functiones quantitatum v, z & π sint
336쪽
exinde S & R erunt functiones quantitatis 7. Sit z p x - , ubis est functio quantitatis ρ; tum erit si υ, ubi ' est functio quantitatis D unde et p x- ργ . xργ x Qq 'HI y - X ')y ); & consequenter x -- ν & x erunt functiones quantitatis q.
8. Saepe e substitutione deduci possunt hujusce generis problematum resolutiones. E. g. sit E p x- .X- T 3, ubi X&T sunt
337쪽
pro suis valoribus in aequatione Z p απ -- βI)-q x -- resultabit e nux. log. yi eritque V particularis valor quantitatis z. Hoc particulare valore dato, generalis facile per praecedentem methodum inveniri potest. II. Sit z p x -- ρr, ubi ρ & denotant functiones quantitatum
quantitatum x& & exinde ρ & q in terminis earundem quantitatum x &3, quae sint P & t tum detegatur multiplicator M, qui in seductus, eam reddit integrabilem; unde MP x -- MI Mz- S; & consequenter M erit functio quantitatis z. Infinitae consimiles deduci possunt propositiones: primo enim assu-
338쪽
mantur aequationes, quarum resolutiones hujusce formulae dantur; deinde ex substitutione, &c. reducantur hae aequationes ad alias, quarum resolutiones non apparent ι tum facile reduci possunt posteriores sequationes ad priores. E dem principia etiam ad fluxionales aequationes superiorum Or dinum extendi possunt. THEOR. o. Si S sit functio quantitatum x, F, et, v, π, &c.; quae eVanescat; cum P a, V b, ω - c,&c.; tum inveniatur fluxio S ex hypothesi quod z, v, π, &c. sint invariabiles & et in a, V b, c, &c. &reliquae x, F, &c. variabiles; & erit S o; si enim fluens S o, tum ejus fluxio a fortiori S nihilo erit aequalis. P R O B. LXVII. Quascunque fluxionales quantitates per quantitates diversae formulae
denotatur secunda fluxio quantitatis V per Αν d iis, in qua inve-Uenda primum solummodo Labetur x variibilis, deinde solummodo' O o habetur
339쪽
habetur γ variabilis; & sic de omnibus quantitatibus hoc modo
denotatis: eadem Vero methodo inVeniri possunt valores fluxionum V. &c. sed hic animadvertendum est, si modo sit quantitas rex'ae x κ &c. κγ ν κ &C. X z z A &c. tum per Praecedentem notationem sic denotari debet, vig. x'x' V x &c. AI' κγ κ &c. κῶ .X Q κ &c. κ
Hinc transformari potest quaecunque quantitas V & ejus fluxionum functio in functiones ejusdem quantitatis V.&.eius fluxionum ex hypothesi quod, I '. una quantitas fluat uniformiter, deinde altera ;& sic deincePS-Ρ R O B. LXVIII. Si Cero detur quantitas, quae sit fluens I. P x uxionis P x, duas vel plures quantitates s X, y, Z, etc.) involvens, ex spothes quod una x solummodo sit Cariabilis; invenire saxionem suentis j P x ex bpothesi, quod X, Υ, Ζ,
340쪽
solummodo habetur x variabilis. Et sic inveniri possunt fluxiones cujuscunque ordinis quantitatis V, quae continet in se fluentem cujuscunque ordinis.
& transformabitur data aequatio in aliam V
Et sic sacile transformari potest haec aequatio in aliam in qua involvuntur quantitates L M, &ς, ubi ζ, V, &c. suiu functiones quanti-O o a latum