장음표시 사용
351쪽
AEquatio fluxionalis α κ b κ c κ &c. Hi o hujusce formulae dividi
T II E O R. LIII. Sit is particularis fluens fluxionis p x, tum erit ejus generalis fluens
sit ξ particulaais fluens fluxionis p ρα, tum erit ejus generalis fluens e -- - - b. Sit di particularis fluens fluxionis lx sqxsrx, & erit ejus generalis
Sit j particularis fluens fluxionis p qxfrxfrx, id erit ejus generalis fluens τ -- Ο b re sic deinceps ; uia site a b. e. d. &c; ae, R c, &c.; o ν &c.; dcc. invariabiles quantitates ad libitum assumendas respective denotanti Et sic de generalibus fluentibus superiorum ordinum deducendis. P R O B. LXX. Sit Dolonalis aequatio O, cujus fluens sit α - C cons. , deducere quamcunque aequationem, in variabiles separantur: assumatur Σ -- v -- S gantur Z V v quaecunque algebraicae functiones quantitatum ista ρ respective; e data αquatione i o Ueniatur aequatio relationem inter duas variabiles quantitates π G ι, exprimens, ei resultat iniuatio, in qua separantur variabiles π cii ρ earum fluxiones. Et ex eadem methodo progredi liceat ad substitutiones pro re lutacendis fluxionalilbus sequationibus superiorum su) Ordinum ad fluxionales sequationes inferiorum m ordinum, in quibus separantur variabiles: sed plerumque reductio fluxionalis . quationis n ordinis ad Ordinem inferiorem n - I, in qua separantur variabiles &c. exigit unam substitutionem, ad ordinem inferiorem n - 2 exigit duplicem
352쪽
Τ H E O R. LIV. 8it algebraica sequatio Aseo, in qua x&z'similiter involvuntur;& fluxionalis sequatio px - ργ o, ubi ' & ρ sunt functiones quantitatum N&3; reducantur hae duae aequationes o & lx q= oin unam, ita ut exterminentur x & x, & rem iret sequatio P z - Qγ- o; in sequatione A o Pro x scribantur α & β, quarum correspondentes valores quantitatis set in sint π α λ γ 'φ : x), etiamque 1 - φ : α): tum, si modo scribantur α, β, or & e pro x in quantilate p: x - - φ : ), & sint quantitates resultantes A, B, C& D, erili Λ B ei D ; modo correspondentes fluentes fluxionalium aeqitationum p x yy o & Px - 2I o assumantur. Assignari possimi fluentiales sequationes, quae sunt fluentes datarum fluxionalium; at revera nulli usui inserviunt: e. g. si in data fluentiali quatione contineantur fluentiales quantitates, quarum nugioties sunt functiones quantitarum x,s & earum fluxionum non integrabiles,. sum vix ulli usui inservit integratio hujusmodi; e. g. sit
fluentialis aequatio I i p cujus fluxionalis erit 3'γ'γγ'
x , et . sit F f f -XP colus Brixionalis oris 3 a 43'γγ -- 3-.x3, &c. hae fluentiales sequationes non pro Raentibus datarum fluxionalium sequationum desiderandis habendae sunt.
a. In detegendis auentibus fluxionalium aequationum Plerumque generales functiones variabilium tanquam independente. Variabiles tractandae sunt; & exinde per regulas prius traditas de iis ratiocinari liceat. r. prius docetur methodus inveniendi fluentes omnium fluxiona-nalium aequationum Per assumptiones rationalium iunctionum, &rationalium
353쪽
rationalium Sc irrationalium quantitatum, vel earum radicum in datis sequationibus contentarum, ni fastigium calculi prohibeat. Consimilia principia etiam applicari possunt ad fluentes fluxiona- Iium sequationum detegendas algebraicarum quantitatum, circularium arcuum & logarithmorum ope. 3. Facile demonstrari potest, quod fluentes fere omnium fluxionum comparative loquendo) nec exprimi possint per finitos terminos, lo-garithmos, circulares, nec per ellipticos nec hyperbolicos arcus; &c.: hinc, si separari possint variabiles quantitates in data fluxionali sequatione, plerumque non inveniri possunt per praedictas methodos fluentes : sed per substitutiones algebraicarum fianctio iam, &C. novarum variabilium pro variabilibus in data requatione contentis per
raro separari possunt Variabiles quantitateS ; ergo in plerisque cassibus ad infinitas series confugiendum est.
4. In sequationibus quantitates formularum ) involven
tibus non adhuc datur generalis nota; eX qua dici potest, annon data sit generalis datarum aequationum resolutio.
s. In detegendis fluentibus fluxionum, cum variabilis sae) evadat infinita: si fluens exprimatur per algebraicam functionem variabilis es), tum ex substitutione infinitae & finitae sa) quantitatis pro x facile constat fluens inter praedictos valores sa) Sc infinitum posita, si
solummodo in singulis quantitatibus addendis vel subtrahendis rejiciantur omnes quantitates, quae sunt infinite minores quam quaecunque aliae in eadem summa vel disterentia contentae; & si modo numeratores & denominatores nonnullarum fractionum nihilo evadant aequales, tum earum valores per methodum prius traditam investi gandi sunt.
Si fluens exprimi possit per circulares arcu S, &c. variabilis, vel sit tangena vel secans, &c.; tum facile per circularem arcum acquiri potest nuens, cum x evadat infinita. 7. Si vero stuviis exprimi possit per plures logarithmos 3 Viz. o η log.
354쪽
α - - b X log. β - ο κ log. γ &c.; cujus nonnulli; e. g. log. α, log. β, log. γ,&c. evadunt infiniti ; reducantur omnes hi logarithmi in lo-garithmum unius summae,vig. a V log. αεb κ log. β c X log. γ in &c log. Ux β' κω&c.- z; & si et sit finita quantitas, tum log. praedictae luminae erit finita ; sin aliter non: inveniatur valor algebraicae quantitatis z, Sc exinde acquiri potest ejus log.: si fluens sit quaecunque
algebraica functio quantitatis x, & circularium arcuum & Iogarith morum ejus fundi:onum ; tum Per Principia prius tradita erui potest ejus valor, cum x evadat infinita.
Si autem fluens exprimatur per datas alias fluentes; tum ex datis curvis, solidis, &c., per quae innotescunt datae fluentes, erui potest ejus valor inter quoscunque valores variabilis in ea contentae. Et sic rationari liceat de fluxionalibus sequationibus, &c. 8. Sint n fluxionales aequationes a se o, o, a o, &c. quarum ordo sit l, surimi in variabiles quantitates x, F, Q, dcc.) involventes; tum sint m, m &c. functiones quantitatum x, F, Q, &c. & earum fluxionum, quarum ordines minores sunt quam I; & ita assumi possunt multiplicatores m, ἡ, &c., ut exoriantur n) diversae& independentes fluxionales aequationes ma rasa m &c. o, quae integrari possunt. 9. Generalis fluens fluxionalis aequationis n) ordinis partiales nuxiones involvens n) arbitrarias functiones detegendas continet.
355쪽
DPP. I. ENOTENT quantitates X, F, z, dcc. prima incrementa quantitatum &c. respective; eodem modo designent quantitates ita scriptae x, y, κ, &c. secunda incrementa quantitatum 3, α, &C. vel Prima incrementa quantitatum X, F, E, &c. & sie deinceps. DEF. 2. Denotent quantitates x, F, &c. integraleS quantitatum x, γ,&c. 5c sic x, I, &c. secundas integrales quantitatum X, I, &e. & primas integrales quantitatum X, γ, &C.
titatum X, y, Z, Uc. quarum incrementa snt X, y, Z, Sc. bus incrementum inves are. I. Scribantur X - X, y -- y, Z in Z, taci pro Meris X, Υ, Ζ,
respective, X X, y - y, G. pro X U y, ela. re=uatione, si it quantitas resultans des tum erit c P incrementum qu situm, r.esinerentia inter duos proxime fucce vos valores integralis dicitur incre
356쪽
x Fae est hi modo x sit constans. Ex. 3. Incrementum circularis arcusg , cujus radius est 1, Se tangens x, erit differentia inter duoS circulares arcus, quorum radius est i , & tangentes respective x & x - π, i. e. f. ----- -
Ex. . Sit Integralis a x κ x κ π S c. η x, ejus vero incrementum
erit, si modo x crescat uniformiter, a V x N x & - . x .
methodo constat incrementum integralis ----- ρος
fluat uniformiter. Cor. i. Sint S, Q S', S , &c. n) successivi valores integralis, tum erit incrementum n ordinis in S - nS u. st ' S'- u . - . et a
357쪽
Cor. a. Hinc deduci potest integralis primi subsequentis ordinis quantitatis z) Q - χ, secundi Vero subsequentis ordinis in z ziz - Σ) - α -- az Ξ, & exinde integralis subsequentis n ordi-
proximum incrementum superscriptarum quantitatum erit ----
-- &c. si igitur vere assignetur inferior fluentialis quantitas x, vere etiam assignatur superior m. Et
358쪽
EX. 3. Sit integralis I . a. 3. ... z, R ejus incrementum erit a. a. 3. . . n. I- Ζὶφ I. a. 3. .. z. Z I. a. 3. q. . I, II modo incrementum quantitatis et sit r. EX. 4. Sit integralis ---- -& ejus incrementum erit
Et sic ex incrementis inveniri possunt integrales. a. Sit α functio quantitatum x, F, z, &c.; inVeniantur α, α, α, α,&c.; ex hypothesi; quod x, 3, et, &c. fluunt uniformiter; & consequenter earum secundae, tertiae, &c. fluxiones nihilo sunt aequales; in his quantitatibus sα, α, α, &c.) pro x, γ, z, &c. scribantur respective x, F, π, &c.; & resultent quantitates α, α, α, &c.; tum erit primum incrementum quantitatis α) ατα α -- 1. a. s. - ς' hoc Primo incremento Per eandem methodum detegi potest secundum, si modo supponantur x, γ, E, &c. invariabiles, bc pro iis scribantur respective x, F, et , &c. &c. PROB. II. venire incrementa suentium, quarum fluxiones sunt alebraicin fun-mone quantitatis x in x ductae: inveniri possunt e re in oe axonum in seriem, cujus termini secundum dimensones quantitatis X p ogrediuntur: hujusce seriei inveniatur ens, θ' deinde hujusce flueniis detegatur incrementum quotum. Ex . . Invenire incrementum fluentis f : erit s.
359쪽
constans, fingatur et I - x & resultat incrementum fluentis
a et a zy 3 et Et sic de incrementis deducendis duplicatarum, &c. fluentium, vel quarumcunque aliarum quantitat iam, qUse sini functio finita vel in si nita algebraicarum vel exponentialium, &c. quantitatum. Aliter: Earum incrementa detegi possimi e methodo in casu secundo praecedentis problematis tradita. a. Si vero e dato incremento fluentis su) requiratur incrementum quantitatis x; inveniatur per infinitas series quantitas x in terminis secundum dimensiones quantitatis v Progredientibus, hujusce quantitatis incrementum erit quaesitum. E. g. Sit v & erit x - υ --
Τ H E O R. I. Sit quantitas P functio quantitatis x, cujus incrementum sit tum erit nuxio a quantitatis aequalis incremento fluxioni. P, si modo fluxio so) incrementi ο) quantitatis x aequalis sit incremento
360쪽
Scribatur in quantitate P pro x valor assumptus x in x in ori' o, α collocentur termini quantitatis resultantis secundum dimensionesu X num x & d, quae respective denotant fluxiones quantitatum
o a. e. quantitas resultans sit hujusce formula: m x - οὶ p x- 7xo in ρορὶ - - &c.; deinde in quantitate P pro x scribatur x in o & consequitur ejus incrementum α) ipsa quantitate P auctum, hujus incrementi α inVeniatur fluxio quae erit m xes d)-P, sicute substitutione praedicta facile constat ; tertio inveniatur fluxio quantitatis P, vel quod ad idem redit in data quantitate P pro x scribaturae & collocentur termimi quantitatis resultantis secundum di mensiones fluxionis x, i. e. sint a - bx in Oxy &c. tum erit b x fluxio quantitatis P; in hac fluxione pro x scribatur x in o & pro x ejus valor x - o, & e substitutione facile constat esse iv x -- ὼ ), &exinde potest theor. Idem vero mutatis mutandis affirmari potest, si P sit functio
quarumcunque quantitatum X, F, z, &c. mutatis etiam mutandis erit Incrementum n ordinis fluxionis m ordinis quantitatis P aequale fluxioni m ordinis incrementi n ordinis ejusdem quantitatis P. P R O D. III. i. Iuvenire incrementum cujuscunJue uentialis qua ritalis L. N.