Meditationes analyticae, ab Eduardo Waring, Regiae Societatis ...

361쪽

s1z DE METHODO

modo erit V MX Ny Pp - Qq &c. Ex inveniendis incrementis quantitatum f. Ux, &c. detegi possunt maxima & minima, si modo in incrementis resultantibus nihilo

fiant aequalia incrementa, & exinde fluentiales quantitates etiam nihilo evadant aequales; sed hic non de maximis dc minimis, nec de evanescentibus incrementis agitur. P R O B. IV. Transformare datum incrementum in sisterum, cujus Uariabiles quanti fates g, v, tac. datam habeant relatioNem ad variabiles fg, y, Ge.ὶ in dato incremento contentas. Sub ituantur Ualores quantitatum x, y, Sc.

in terminis quantitatum Z V v, Uc.) expressi pro quantitatibus iras x, y, tac.) in dato incremento, θ' eorum incrementa pro respectivis incrementis quantitatum x, y. G.) e' incrementum quaesitim. Ρ R O B. V.

Datum incrementum in alterum data formulae, si modo seri psit,

reducere.

Affumantur generaliter incrementa datae formulae, supponatur eorum summa dato incremento aequalis, & exinde erui possunt coeia sicientes, &c. incrementorum assumptorum. Ex. I. Sit x constans; reducere quantitates x' ad incrementa forta

362쪽

Integralis erit

κ n - - xx & earum differentia erit quantitas data. Co. . Dato incremento X; Omnis quantitas hujusce formuIae Ax' -- Β ω' -- Cx' ' -Φ- Dx Τ -- &c. Ubi n est integer assirmativus

re ax b B, &c. inveniri possunt coenicientes &c. & cor sequenter reduci potest data quantitas ad incrementa formularum qu rum .nnotescunt integrales. ἐμμ

363쪽

DE METHODO

Eacile

364쪽

INCREMENTORUM. SIS

r tionalis functio quantitatum x & x ad minimos terminos reducta uot m est integer numerus, & aequalis vel minor quam n, & π est Conltans; invenire annon integralis incrementi praedicti exprimi potest in finitis terminis. Reducatur datum incrementum ad incrementa hujusce generis

exprimi potest, ni detur integralis incrementi in reliquis casibus per hanc methodum semper inveniri potest integralis; erit enim in

quantitates.

365쪽

a16 DE METHODO

Si m in n - I, tum integralis non exprimi potest, ni detur integralis incrementi : si autem m minor sit quam n - 1, tum semper per hanc regulam inveniri potest integralis. Si vero m major sit quam n, tum reducenda est data fractio ad propriam, ita ut maxima potestas quantitatis x in denominatore major sit quam maxima potestas in numeratore. q. Sit incrementum si actio

- &c., ubi α, β, γ, . . R, si &c-; 4 c.; p, &c; sunt invariabiles quantitates. Constat ex eo quod continentur n-m &c. in I in variabiles, independentes & incognitae coessicientes α, β, γ, λ &c.; δ ς, ας iγὼ &c., in quantitate assiimpta.

366쪽

INCREMENTORUM. 317

menti &c. finitis terminis exprimi possit, tum integralis dati incrementi semper iisdem exprimi potest; sin aliter

non.

Hinc, si modo numerus literarum O, p, &c. sit λ; ex λ independentibus integralibus hujusce formulae datis deduci positant omnes ejusdem formulae. Si ἡ n-m Φ r -- &c. -- I, tum nunquam exprimi potest integralis ; si ras major sit quam n m r &c.; tum reducenda est data ad propriam fractionem: si αἱ n in m -- r - - &c. - 2 vel minor; tum semper β - - β - &c. o.

367쪽

Si data fractio sit impropria, tum reducatur ea ad propriam fracti

onem.

Haec principia etiam ad inveniendas integrales omnium rationalium lanctionum variabilis χὶ applicari possunt. si vero in denominatore contineantur duo factores x q. lx & x 'l'0 r)x,

368쪽

INCREMENTORUM. 3I9

l r) r, vel quicunque factores inter hos positi, ubi r sit integer

numerus: tum reducenda est data fractio ad consimiles terminos, i. e. eosdem denominatores habentes ac ii, in quibus habetur conten

potestatibus. . Dimensiones quantitatis Μ in incremento semper erunt minores quam dimensiones ejusdem quantitatis in integrali per unitatem, ni dimensiones quantitatis x in numeratore integralis aequales sint ejus dimensionibus in ejus denominatore, in quo casu dimensiones quantitatis x in numeratore incrementi minores erunt per quantita tem majorem quam unitatem quam dimensiones quantitatis x in de

nominatore.

Cor. Si dimensiones quantitatis x in numeratore incrementi sint minores quam dimensiones quantitatis x in denominatore per unitatem, tum ejus integralis non deduci potest. Et sic de fractionibus reducendis, &c. in quascunque formulas, quarum integrales innotescunt. 8. Inveniantur singuli drvisores denominatoris fractionis Ax' -- B -- &c. qui sint β, γ, λ &c. & si quicunque divisor inveniatur in denominatore, qiai non habet alterum a se distantem per in tegrum numerum r in F ductum, tum integralis dati incrementi

finitis terminis haud exprimi potest. E. g. Sit denominator ου- Μὶκ x - φὶ λ x - θ'), nunc divisor x IF non habet alterum judenominatore a se distantem per integrum numerum in ', ergo integralis dati incrementi finitis terminis haud exprimi potest. Eadem principia etiam ad irrationales quantitates applicari possunt. I. Contineantur solummodo in dato incrementi

denominatore duo simplices divisores x H- ΟΥ & x l Vel hi duo εα quicunque alii quorum numerus sit τ inter eos positi, ubi rsit

369쪽

s ac DEMETH o Do

3. sit quantitas

370쪽

INCREMENTORUM. 3 a I

Cor. 3.. Hinc facile constat' numerus diversarum independentium incrementorum praedicti generis integralium, e quibus deduci possunt integrales singulorum ejusdem generis incrementorum.

. Dato irrationali incremento; primo inveniendum est, annon quaedam irrationales quantitates sinat successivi valores aliarum, & ex inde constabit substitutio, quam integralis dati incrementi exigit ; i. e. abjiciantur ultimi successivi valores singulorum factorum in denominatore, etiamque singulorum irrationalium in numeratore contentorum : horum factorum deducatur primus; tum assumantur pro int

grati praedicti factores ultimis abjectis) in sese & in factores deducendos ducti; & exinde erui potest integralis quaesita. EX. bit incrementum, cujus numerator sit se in Q - gy se ἡ- 3 f

- 19M' a - et a b ' .. I 'b ' rejiciuntur; la pro numeratore Σει se 2 H- 4 g) e -- 3 9g '. . . se in a. - Σ'g)' κin terminum praecedentem hujusce seriei, qui facile cernitur, viz. e fg κ -- δεα , ubi l & B sunt invariabiles coefficientes investi gandae; hujusce integralis inveniatur incrementum, & fiat dato in cremento aequale, & invenientur δε - α & 2 β: Observandum est, si sint quaedam irrationales quantitates in denominatore dati incrementi contentae, quae non habent etiam in eo earum succestivos valores, tum

minime ei primi potesst in finitis terminis integralis dati incrementi.' a s Per