장음표시 사용
381쪽
a. Data quantitate X & ejus incremento x, & numerus valorum incrementorum y potest esse u u, ut facile constat e Medit. Algeb. . Data quantitate X & ejus incremento & summa n valorum incre-
Et sic de summis integralium incrementialium γ' F, FΤr, &c.
si- - Bx haud sit divisor quantitatis C Dx in Exφ, tum summae singulis integralibus quantitatis incrementialis ax haud exprimi potest per finitos terminos qauntitatum x &D
Data requatione alebraica n) dimensonum γ' -- a in b χ) y' ' - &c. - O, invenire quationem cujui mix Z si integralis quantitatis yX, δε modo ea inveniri possit. Assumatur sequatio, in qua dimensiones quantitatis z inveniunturn, quoniam omni valori quantitatis x correspondent n diversi valores
ubi e est invariabilis quantitas ad libitum assumenda, & x constans ueexinde inveniatur aequatio cujus radix erit k & fiant coefficientes resultantis & datae aequationis inter se aequales, & exinde deduci possunt coessicientes, si modo integralis exprimi possit in finitis terminis. Aliter: reduci potest data . quatio, ita ut inveniantur n valores quantitatis 3 progredientes secundum dimensiones qnantitatis x; deinde inveniatur per praedictas methodos integrales e singulis hisce seriebus, quarum summa erit summa radicum quaesitae sequationi. ducantur quaeque duae, tres, &c. ex his integralibus in sese & inVeni
382쪽
antur aggregata e singulis hisce resultantibus seriebus, & erunt respective coessicientes tertii, quarti, &c. terminorum quaesitae aequationis, dc sic deinceps; & exinde constabit aequatio quaesita. Cor. In omnibus hisce resolutionibus irrepit in terminos aequationum quantitas ad libitum assumenda, quae quantitas denotat correctionem quantitatis vel aequationis quaesitae. a. Esedem etiam methodi applicari possunt ad Inveniendas aequationes, quarum radices sunt quaecunque algebraicae scinctiones quantitatum x Sc 3 incognitarum in data sequatione contentarum, & earum
a. Et sic de pluribus m sequationibus plures sin i) incognitas
quantitates habentibus, sed observandum est in omnibus hisce sequationibus ac in aequationibus exprimentibus fluentes fluxionum, si modo solummodo sit fluxio vel incrementum primi ordinis in quantitate, cujus sequatio exprimens ejus fluentem vel integralem requiritur ; tum una solummodo quantitas in aequatione resultanti assumi potest ad libitum; si vero fluxiones vel incrementa secundi, tertii, &c. ordinis in praedicta quantitate contineantur, tum duae, tres, &c. quantitates ad libitum assumi possunt.
constant quantitates x & y in terminis tertiae z, & exinde earum incrementa in terminis tertiae z R ejus incrementorum; unde deduci potest quaecunque functio quantitatum x & F, & earum incrementorum in terminis quantitatis a & ejus incrementorum. a. Sit algebraica sequatio homogenea, i. e. ejus singuli termini easdem conficiant dimensiones, bc inveniri potest quNcunque functio ejus variabilium x 5ca, & earum incrementorum in terminis novae variabilis et, & ejus incrementorum.
Omnia, quae de algebraicis aequationibus & fluxionalibus quantitatibus in prob. 32,5c 33. l. I. tradita suere, ad algebraicas sequationes
383쪽
R incrementiales quantitates mutatis mutandis) applicari possunt;& eadem principia quae tradita fuere in fluxionalibus aequationi-bii; de detegendis rationalibus sunctionibus tertiae et, quae respective sequant variabiles x & I, ad incrementiales aeque applicari possunt.
Datam aequationem, in qua integralis contine tir quantitas; in incrementialem reducere, ita ut exterminetur in egralis quantitas. Si integralis ducatur in variabilem quantitatem; dividatur sequatio per eam quantitatem, & inveniatur incrementum quantitatis resultantis, & exterminabitur integralis.
Si autem majores sint dimensionea fr) integralis quantitatis exterminandae, vel altior sit ordo su) ejus integralis; in posteriori casu necesse est invenire incrementum sv) ordinis datae seciuationis, in
priori vero casu constabit reductio e Prob. 28. I. I. i. e. integrales exaequationibus exterminabuntur omnino Per eandem methodum ac fluentes e datis sequationibus.
384쪽
prioris aequationis, la resultat insima incrementialis quantitas literae in in aequatione resultante z ; deinde e . -- i) incremento e singulis
ei minis prioris aequationis exterminetur incrementialis quantitas. sc reduci potest posterior aequatio ad incrementialem aequationem, in qua insimum incrementum quantitatis z sit z; unde duae dantur aequationes, in quibus infima incrementialis quantitas liter E eiit ex his duabus aequationibus deduci potest sequatio, cujus infima incrementialis quantitas literae et erit a , & ex hac & priori data aequatione deduci potest altera aequatio, cujus infima incrementialis quantitas literae z est et , & ex his duabus aequationibus consequitur incrementialis aequatio, in qua infimum incrementum quantitatis et est & sic deinceps; & tandem ita reducetur aequatio, ut exterminentur quantitas z, dc ejus incrementa. Cor. . In reducenda infima incrementiali quantitate z in utrisque aequationibus ad unam superiorem a semper inveniendum est primum Incrementum quantitatum in utrisque sequationibus contentarum; unde si in duabus praedictis aequationibus A o & B o in quibus η & a respective sint infima incrementa qciantitatis etiamque sint I & r infima incrementa quantitatis F; & infimum incremen-μ . 'tum quantitatis 3 in aequatione resultante, in qua haud inveniuntur quantitas Q vel ejus incrementa, haud potest eise majus quam α - - n- p vel β- - u. Sed e Prob. 36. l. r. constat, si sequatio resultans sit incrementialis cujuscunque ordinis α -- n p vel β H&c. tot assumi posse correspondentes valores variabilium x & γ in ea contentarum, & incrementorum variabilis γ diversorum, quot sit ordo datae aequationis siae sit constans. α Et sic de pluribus sm) incrementialibus vel fluxionalibus aequationibus
385쪽
tionibus in unam reducendis ; hinc enim fluxionalis vel incrementialis aequationis resultantis deduci potest ordo.
tradictoriae; hoc autem semper constabit ex earum reductione in unam, ita ut variabiles, &c. quantitates exterminentur, & si haec una resultans sequatio aliquid absurdi in se contineat, vel forsan ejus divisores; tum aliquid contradictorium continent in se sequationes incrementiales. . Ex hac methodo transformandi aequationes, ita ut variabiles quantitates & earum incrementa exterminentur, irrepunt in sequationes resultantes radices, quae in datis haud inveniuntur; quomodo hau radices irrepant in resultantes aequationes, & radices iPsae, e Principiis in medit. algebr. traditis, erui possunt.
E duabus datis incrementialibus aequationibus facile formari possunt infinitae aliae, quarum variabiles quantitates eandem habent inter se rationem. Ducantur duae sequationes in invariabiles quantitates, & addantur vel subducantur aequationes resultantes de se ip-ss; dc resultant novae aequationes quaesitae.
Data in rementiali sequatione relationem inter x & γ & earum incrementa n Ordinum exprimente, si modo ex ea inveniatur aequatio, quae
386쪽
quae haud continet incrementa majorum quam n - I ordinum, tum assumi potest una quantitas invariabilis ad libitum assumenda, & sic deinceps; unde in sequatione ex incrementis libera erunt n invariabiles quantitates ad libitum assumendae. Sit quantitas ipsa, vel ea ducta in quamcunque incrementialem quantitatem inferioris ordinis, perfectum incrementum, cujus integralis dicatur V; & erit V C o sequatio vere correcta, ubi C lenotat invariabilem quantitatem : si modo sit incrementialis aequatio ordinis n, & x sit incrementum ordinis m, qui minor sit quam n 1 etiamque sit x constans; tum erit aequatio vere correcta V 'χyria ubi A est invariabilis quantitas. Et sic progredi liceat ad aequationes integrales superiorum ordi
Quot invariabiles quantitates ad libitum assumi possunt, tot correspondentes valores e singulis variabilibus quantitatibus, & e diversis incrementis variabilis quantitatis, quae haud crescit uniformiter, assumi possunt. P R O B. XVI.
Data inquatiane relationem inter X Os y ta earum incrementa exprimen es;
invenire aequationem, cujus radix es correctio issa: scribatur u et pro yin data aequatione, ubi v denotat particularem Ualorem quantitatis y; exrequationibus resultantibus consat aquatio, cujus radix eo Z correctio quae sita: veis modo per in itas series convergentes inveniatur generalis valor P n ita is y in terminis quantitatis X, consequetur correctio qui tu. Omniβ mothodus, quae detegit generalem correctionem datae aequationis, etiam deducet generalem ejus integralem.
Et sic de pluribus m) aequationibus plures G Φ ij variabiles
quantitates & earum incrementa habentibus.
387쪽
Insenire quamplurimas incrementiales inquationes, quarum integrales cognoscuntur.
r. Assumantur integrales aequationes, & ex iis deducantur incrementiales. a. Deducantur aequationes, quarum radices quamcunque habeant relationem ad radices assumptarum vel inventarum aequationum, &e radicibus assumptarum deduci possunt radices deductarum sequati
3. Asium atur α Pro F, quae sit quaecunque functio quantitatis deinde scribantur haec quantitas & ejus incrementa pro suis valoribus in quantitate Or, quae sit functio Variabilium MI earum incrementorum, & siit quantitas exinde resultans, tum erit α particularis valor incrementialis sequationis π - 4. Data incrementiali aequatione, e qua deduci potest F integralis incrementi P); pro variabilibus & earum incrementis in data aequatione & data quantitate P scribantur quaecunque functiones novarum
variabilium, & earum incrementa; & resultant sequatio inter has novas variabiles & earum incrementa relationem exprimens, & novae quantitas cujus integralis deduci potest ex integrali quantitatis P. s. Sit quaecunque incrementialis sequatio, dividatur ea in duas aequales partes, ita ut integralis alterius partis inveniri potest, ea erit etiam integralis alterius.
PROB. XVIII. i. Dala integrali P o) generali primi ordinis incrementiali aequationis, invenire giuationem ipsam. Sit a quantitas invariabilis in data integrali P - ο ad libitum assumenda, re ex ea deducatur a - ας, & erit Ξ - ο incrementialis aequatio quaesita.
388쪽
EX. Sit integralis 3 - ξ γ a, ubi ae est constans & a invariabilis quantitas ad libitum assumenda; hujus sequationis inveniatur incrementum, & evadet I hJ in se es, quod reduetiam sit , F - ---y, Unde Tri-n- n)y Pl aequatio, cujus integralis generalis est data. a. Data integrali P - ο) generali n ordinis incrementialis aequationis ία - ο); ex aequatione P o, quae continet n invariabiles quantitates a, b, c, &c.) ad libitum assumendas, inveniantur n aequationes G π, b ob &c. tum erunt π. o, r. o, &c. I) di-Versae aequationes, quae sunt integrales n - I ordinis incrementialis sequationis αo ; ex his sequationibus inveniri possunt n
aliae, quae sunt integrales n - et ordinis sequationis α - ο; & sic deinceps usque ad n sequationes detegendas, quae sunt integrales primi ordinis sequationis α o. Si non inveniri possint a se is, tum reducantur duae seqUationes P o & P o in Unam, ita ut exterminetur invariabilis quantitas;& sic deincePS.Cor. . Sunt n multiplicatores, qui ducti in datam aequationem α o prebent incrementa, quorum integrales cognoscuntur; & sic
deinceps, ut constat e theor. 29. libri praecedentis. Sint m, in lac. respectivi multiplicatores, qui ducti in sequati nem incrementialem α - ο) prebent n) sequationes, quarum integrales res Pective sunt λ, λ λ , λ &c.; tum erit generalis integralis quaecunque functio sn) quantitatum λ, λ , λ , c , &c. Et sic de particularibus integralibus. Facile etiam deduci possunt consimiles propositiones de hac re, quae prius de fluentialibus aequationibus tradita fuere. II u a
389쪽
Haee etiam applicari possunt ad fluentes vel integrales sequationum fluxiones, & incrementa simul involventium. Sint duae incrementiales aequationeS π o & ρ o, quarum communis sit multiplicator; tum ex integrali alterius aequationis data
facile acquiri potest integralis alterius.1 H E O R. IX.
I. Sit incrementialis aequatio PT o ; quae haud continet et vesz, &c. tum erit eius integratis z const. haud vero P o , si vero sit 3 - PY & sit P o functio quantitatis I const. tum erit 3 const. particularis valor incrementialis inquationis F P& sic de pluribus hujuscemodi sequationibus. u. Sit incrementialis aequatio π o; & AI quantitas, cujus integralis deduci potest; tum semper detegi potest integralis quantitatis φ : r) -- M ubi φ : sor) sit functio quantitatis re, in qua haud invenitur terminus, cujuS dimensio quantitatis etr vel nulla est vel negativa. a. Eadem etiam applicari possunt ad duas Vel plures incrementia les aequaliones π o, ρ o, &C. semper enim detegi potest integralis
nem quantitatum Or, ρ, &c. in qua haud invenitur terminus, in quo nulla continetur dimensio e singulis quantitatibus π, se &c. vel negatiVa. . Cujuscunque incrementialis aequationis π o) n ordinis, in qua continentur duae variabiles x & γ Sc earum incrementa, ubi alia
terius xl primum incrementum est constanS, semper datur L.) fuit cito variabilium x, I, dc earum incrementorum primi, secundi, &c. n i) ordinis, quae ducta in datam . quationem praebet quantitatem, cujus integralis α) datur. S. Sit α generalis integralis aequationis π o, tum quaecunque functio quantitatis α etiam erit integralis datae aequationis ατ o; Ridem etiam Valet, cum α sit particularis integralis,
390쪽
6. Sit quaecunque integrabilis aequatio π - ρ, cujus incrementumst e , hujusce sequationis ducatur alterum latus in re, alterum Vsti Q in ρ, & evadit reor ρ ρ : generalis integralis hujusce sequationis haud erit is in hoc & consimilia consequuntur e libro praeced. 7. Sint π, ρ, ο , &c. incrementa, quae ducta in eundem multiplicatorem L, praebent incrementa, quorum integrales innotescunt; tum erit L a re in b e -- cir -- &c.) incrementum, cujus integralis etiam inveniri potest, si modo a, b, c, &c. sint quaecunque invariabiles quan titateS.
8. Datis formulis sequationis fluxionalis & ejus multiplicatoris, investigari possunt casus, in quibus ejus integralis deduci potest.
Ducatur sequatio datae formulae in multiplicatorem praedictum, &quantitatis resultantis per methodos prius traditas inveniatur integralis, si modo integralem recipiat quantitas resultans; vel e notis integrabilitatis constare potest, an non quantitas resultans integrationem admittit; vel aliter ex data incrementiali sequatione Sc formula ejus multiplicatoris data facile constat formula ejus integralis, cujus inveniatur incrementum, dividatur hoc incremenium per datum ; &exinde deduci possunt incognitae quantitates in assumpta integrali, si
modo ea recipere possit formulam praedietam. 9. E substitutionibus saepe reduci Possiliat data: incrementiales aequationes ad alias, quarum integrales innotescunt; unde ex assumptis
sequationibus incrementialibus, quarum innotescunt integrales, facile e substitutionibus deduci possunt aliae, quarum integrales e praedictis deduci possunt. Zo. Sit sequatio incrementialis P --- Q. ο; e substitutione re tu catur haec aequatio ad subsequentem R -l- S o, unde P
in S: hinc si vero -- sit incrementum, cuju4 integralis innotes
cit, tum etiam erit Incrementum cujua integralis etiam ii in