장음표시 사용
371쪽
Per suecessivos Valores quantitatis A, intelligo valores resultantes e substitutione quantitatum X- a X, &c. pro x in quantitate A. sit incrementum B - A, & si A sit successivus valor quantitatis A; tum erit A integralis quaesita. Haec methodus, cum series non terminet, semper dabit seriem terminorum secundum reciprocas dimensiones quantitatis x progredientium. s. Hae vero irrationales quantitates reduci possunt ad plures infinitas series secundum dimensiones quantitatis x progredientes vel in series formulae a- bx -- c κ x Μ cx - - dx κ μ - V - a -
&c. &c. vel a X - a b x x c -Φ- ad X, x3 π &c. vel formulae Fbx -- cx' κ μ - ου' - dx κ μ - X 'κ - a in &c. vel formulae a -- &c. in quibus singulis eaedem adhibentur radices x tum inveniatur aggregatum P ex integralibus singularum serierum; ducantur stagulae duae Pi aedictae infinitae integrales in sese, & inveniatur aggregatum e singulis Productis ; ducaniatur quaeque tres, quatuor, &c. praedictae integrales in sese, & inve niantur aggregata singularum quantitatum resultantium, quae dican-P O Rtur respective QR, S, T, &c.; tum erit I - - , - - &c. oaequatio, cujus radix v est integralis quaesita. 6. Si vero in incremento.dato contineantur incrementa duorum vel
plurium ordinum quantitatis x; tum abjiciantur omnes termini, in quibus inveniuntur incrementa superiorum ordinum; & e terminis in quibus solummodo contineatur incrementum primi ordinis, inve-.niatur integralis: inter incrementum inventae integralis do datum sumatur differentia, cujus integralis e praecedente methodo detegaturia& sie deinceps L & tandem detegetur integralis dati incrementi. THEOR.
372쪽
Sit incrementum' u ordinis & π constans , tum erit ejus integralis generat iter correcta V s x b H Q . . . st x ubi a, b, O st, ἰ denotant quascunque invariabiles coessicientes ad libitum astii mendas. IIinc ad integrales quantitates applicari possunt ea, quae edita fuere de Aventibus fluxionum in Prob. 8, α 9. libri praecedentis. UTHEOR. III. I. Sint duae vel plures variabiles quantitates λ, γ, et, &αὰ in data
incrementiali quantitate contentae, assumantur omnes variabiles quantitates Praeter quamcunque unam tanquam invariabies & inveniatur integralis quantitatis resultantis; & sic de singulis reliquis variabilibus quantitatibus; & sit omnes termini integralium inventarum ex assumendo omnes variabiles praeter unam tanquam invariabiles, in quibus inveniuntur plures quam una variabiles quantitates x, F, Q, die.) haud sint iidem, tum haud admittet integralem datum incrementum: si sint iidem, tum inveniantur eorum incrementa, & invenietur, utrum integralis datae quantitatis inveniri potest, necne. a. SI Incrementiam Unius variabilis quantitatis sit invariabilis, tum incrementa caeterarum haud possunt esse dati numeri, nec
exprimi possunt, nisi per literas designantes earum incrementa; si enim dentur relationes inter incrementa unius variabilis quantitatis di alterius, tum etiam deduci potest relatio inter earum integrales.
EX. I. Sit incrementum xγzinx TZ--Fax--γXz- 'xyz- ηγ NFg ax -- by -- ca; supponantur omnes termini praeter eos, in quibus inveniuntur minimae dimensiones incrementorum quantitatum X, F, et, &c. nihilo aequales, & resultat quantitas inere mentialis XI et x zF -- zγ x -- a x H- b3 -- c a nunc supponantur
omnes praeter x invariabiles, & resultat quantitaSIzx ax, cujus integralis est 3zx -- & sic supponantur omnes quantitates prae-8 s a ter
373쪽
ter 3 invariabiles, & resultat incrementum et xy H- by, cuius inte- .ralis inveniatur X Rr br, & sic supponantur omnes praeter tertiana
L invariabiles, Az resultat incrementum κγ π oz, cujus integrali Serit κ)z δ cet: hinc assumenda est quantitas XI et axes-bγ--czpro integrali; cujus incrementum erit datum. EX. 2. Sit incrementum datum xy --γx - - 27x; assumaratur x Scyinvariabiles alternatim, & resultabit integralis x3, cujus incrementum erit xy - yx in xy; subtrahatur hoc incrementum de dato, & resultat differentia x F, cujus integralis haud deduci potest, ni vel x vel 'sit constans. 3. Si vero incrementum quantitatis variabilis x sit datus numerus, d consequenter haud exprimatur in dato incremento; tum supponantur
omnes praeter unam e reliquis VMiabilibus invariabiles, & incrementῖ resultantis inveniatur integralis, cujus deinde inveniatur incrementum ex hypothesi quod omnes mox assumptae invariabiles sint varia-hiles: subducatur hoc incrementum de dato, &.consimili methodo inueniatur integralis differentiae resultantis ; & tandem inveniri potest, utrum integralis dati incrementi ex Primi potest, necne. . Et sic inveniri potest, utrum integralis cujuscunque quantitatis duas vel plures variabiles quantitates, & earum incrementa quorum cunctiae ordinum involventis exprimi potest, necne. s. Si una solummodo contineantur variabilis quantitas x & eius incrementa in dato incremento, tum e principiis prius traditis detegi potest, utrum ejus integralis exprimi potest, necne: e. g. sit datum incrementum P x m y Rx3 &c. ubi P, ob &c. sunt functiones quantitatis x; nunc supponantur omncs termini Praeter PY- nihilo sequales, & inveniatur fluens re fluxioniis P x, quae erit integralis incrementi dati, si in eo haud contineantur incrementa quantitatis xc inveniatur incrementum quantitatis Ur, quae erit Px- Oxῖ - R x3 -
Si vero contineantur incrementa superiorum ordinum qGantitatis: x in dato incremento, ex praecedentibus Principiis etiam deduci potest
374쪽
test ejus integralis, si modo integrari posit. E principiis in prob. ς,
L I.. mutatis mutandis, & iis quae supra tradita fuere, investigari potest, annon integralis cujuscunque dati incrementi exprimi potest. Ea, quae de fluxionibus in theor. a. tradita fuere mutatis mutandis ad incrementa applicari possunt, e. g. inveniatur incrementum quantitatis V ordinis m ex hypothesi, quod x solummodo sit variabilis, Scresultet quantitas W; deinde inveniatur incrementum quantitatis IV ordinis n ex hypothesi quod F solummodo sit variabilis; & eadem remitabit quantitas, ac si modo inveniatur 1 '. incrementUm quanti
tatis V ordinis n ex hypothesi quod 3 solummodo sit variabilis, & re . 1 ultet quantitas v, & deinde inveniatur incrementum m ordinis quantitatis u ex hypothesi quod ae solummodo sit variabilis. Hinc e principiis in praedicto theor. a. deduci potest, an non datum
incrementum duas vel plures variabiles quantitates ta earum incrementa involvens, integrari potest. In investigandis integralibus incrementorum eaedem radices in in tegrali & incremento semper adhibendae sunt, ut prius docetur de fluentibu I, Si variabilis quantitas in denominatore ascendat ad dimensiones
majores per quantitatem majorem quam unitatem quam ejus dimensiones in numeratore; tum integralis inter finitam & infinitam distantiam erit finita; sin aliter non; ε . ut de fluentibus Prius docetiar.
PRO B. VII. Transformare data incrementa in alia, quoruει variabiles datas habene relationes ad variabiles daearum quausitatum. Ex datis relationibus inter variabiles datarum & quaesitarum quantitatum substituantur illarum valores in terminis Variabilium quae lita- . 1 um quantitatum, & exinde illarum incrementa Pro incrementis variabilium datarum quantitatum, & resultant quae lita incrementa. Ex plerisque substitutionibus in prob. i . l. I. datis transformari possunt irrationalia incrementa in rationalia.
375쪽
inveniri Possunt Incrementa π, π, M. in quantitate A, quae est functio quantitatis et & ejus incrementorum, pro z & ejus incrementis scribantur eorum piaedicti valores, & transforma ur data quantitas in alteram B, quae est functio quantitatis x & ejus incrementorum. Or. I. Sint α & π, etiamque β & e correspondentes valores praedictarum variabilium; tum integralis quantitatis A inter α & β contenta
eadem erit ac correspondens integralis quantitatis B inter π M o. Cor. a. Sit A data integralis, quae est functio quantitatis Q & ejus ancrementorum, & assumatiar aequatio in qua ae & et similiter involvuntur; deinde inveniantur quantitas Q & ejus incrementa in terminis quantitatis x & ejus incrementorum, quae sit B; in quantitate B prox scribatur α & resultet C; sint π & ρ valores quantitatis x, qui correspondent valoribus α &β quantitatis z; tum integralis inter vaIo-ies α α β variabilis x quantitatis AH-C contenta eadem erit ac integralis eiusdem quantitatis a G inter olores π &e ejusdem Quanti talis sx contenta. H. Principia e quibus detegi potest, utrum fluens fluxionalis aequatio vis tres vel plures variabiles quantitates involventis, exprimi potest necne; etiam ad incrementiales aequationes applicari possunt. i. Sit incrementum T II E O R. IV.
ubi a&m sint integri numeri, & ejus integralis inveniri potest vel e finitis terminis, vel e finitis terminis & integrali formulae ' vel
Tormula a quae revera eadem haberi potest.
376쪽
c. sunt integri numeri; tum integralis cujuscunque rationalis incre-2enti denominatorem pnedictum habentis semper detegi potest vel eunitis terminis, vel e finitis terminis & integralibus incrementorum hujusce formulae
torem praedictum habentis semper detegi potest vel e finitis terminis, vel e finitis terminis & integralibus incrementorum harum formula-
Et in genere integralis cuiuscunque rationalis incrementi praedicti generis semper detegi potest vel e finitis terminis, vel e finitis tenninis
Omnia haec facile e prob. 6. deduci possunt; Deile enim e p edictob Problemate reduci potest quodcunque rationale incrementum ad ejus magis simplices divisores. Idem etiam vere assirmari potest de quocunque incremento, quodlad praedictum rationale reduci potest. PROB. VIII. Invenire, annon datae incrementialis quantitaris integralis v alia, uis
377쪽
quantitases in invorisibile α, β, γ, Uc.) coe cientes generaliter sumptas,
V qti fitatum resultantium fumma e data incrementiali subtrahatur; et inquantitate resultian e ito sistumantur co Scientes α, β, γ, G. tit taetentatur
ditis integratis, s Modo seri sc t ; e' id quod reguiritur,
Eadem principia, quae generaliter inveniunt, an non fluens dat fluxionis inveniri potest ope datarum fluxionum fluentium; etiam detegent utrum integralis cujuscunque incrementi detegi potest ope
integralium datorum incrementorum, necne. PRO B. IX. Dato incremenso, Pae in se continet integralem V, quae haud exprimi soles in initis algebraicis terminis variabilis X, Sc. invenire utrum in-t gratis dati lucrenenti sic fluus rigebraica functio quantitatis x N prindictis in ea rasis N earum in emiatorum, Vccuta fit incrementum cujus integralis requiritur; assumatur pro integrali se, cujus increment m erit datum -- π ν '- π U; er Ozu - integ. increm. π υ -- ) erit integralis quaesita. 'Si vero in dato incremento vel contineantur plures dimensiones integralis v, vel quaecunque aliae integrales quantitates; tum per
methodum smutatis mutandis) in prob. s. libri primi traditam profluentibus consimilium fluxionum progrediendum est. Et fere eadem erit methodus detegendi integrales exponentialium incrementorum, ac ea quae prius tradita fuit ad investigandas integrales incrementorum praecedentium. Ex. g. Sit incrementum e
& ejus integralis erit si modo a sit constans. Ex. sit z - - x, & erit incrementi integralis Facile acquiri possunt infinita hujusmodi incrementa, quorum integrale. innotescunt; asiirmantur enim integrales, & deducantur earum incrementa, quorum igitur integrales dantur. Datis
378쪽
2. Datis incrementis, quae in se involvunt irrationales quantitates in Prob. a S, &c. libri prmedentis traditas, facile e substitutionibus in Problemate praedicto contentis reduci possunt ad incrementa, quae nullas irrationales quantitates continent. E substitutione duorum valorum α & β) variabilis quantitatis x Pro ipsa x in data integrali resultabit valor integralis inter duos praedictos valores variabilis x contentae. In his integralibus aeque ac in fluentibus deducendis eaedem radices semper usurpandae sunt. Ρ R O B. X. Invenire integralem incrementi v ry et, tibi et sit invariabilis quantitat. Assumatur pro integrali - P, cujus incrementum est
cujus integralis sit ' & ex iisdem principiis invenietur
R3Eadem methodus, quae generaliter detegit vel fluentem fluxionis vel integralem incrementi in finitis terminis, cum ita exprimi possit. ssemper eam exprimet per infinitam seriem, si finitis terminis exprimi
a. Data incrementiali quantitate, cujus integralis Per seriem A q. &c. exprimatur, & per methodum in Medit. Algebr. traditam scribantur pro x & ejus incrementis quantitates Oex, βα, γα&c. la earum incrementa ; ubi α, β, γ, &c. sint respective radices aequationii x' - I o, & e quantitatibus resultantibus per Medit.
379쪽
Algeb. facile deduci pol st quantitas aequalis summae e singulis terminis praedictae seriei, quorum distantiae a se invicem sint n, an, an, &c. Eadem etiam applicari possunt ad fluentiales & integrales aequati
Per methodum in suxionibus vel algebraicis Nquationibus prius traditam irrationales ex numeratore in denomin*torem & vice versa ex denominatore in numeratorem transformari possunt: & e inde nonnunquam facilius doduci possunt integrales P R O B. XI. Invenire, utrum integralis logari b. s dc egi potes ope Agaris ortim, necne , ubi A N B sunt functi es quantitatis es.
Inveniantur simplices divisores numeratoris A denominatoris B; qui sint respective α, γ, δ, &c.; π, ρ, σ, τ, &c.; & si in numeratore vel denominatore inveniatur divisor, qui non habet alterum ei correspondentem in denominatore Vel numeratore, tum non inveniri potest integralis per togarithmos ; sin aliter semper exprimi potest. Sint a & b correspondentes divisores; tum, si in a pro x scribatur x -- rx, resultabit b; ubi r est integer numerus. Si in divisoribus α, β, &c. numeratoris Pro x scribantur x - - r Mx in rx, &c., resultant Or, ρ, &c. divisores denominatoris ; & vice versa, si in reliquis σ, τ, &c. divisoribus denominatoris scribamur x in s x-yx, &c. Pro x, resultant reliqui divisores numeratoris: tum 1ntegralis dati incrementi log. B erit log. ----
380쪽
Iogarithmis deduci possunt; ad ellipticos, hyperbolicos, &c. arcus applicari possunt. PROB. XII.
Data inquatione relationem inter x G y exprimente, ta concessd radicum extra tione; invenire aggregatum e singulis valoribus cujuscunque algebraica functionis quantitatum X y, earum incrementorum θ' surionum. Inveniatur e praedictis concessis primum incrementum quantitatis . , &, sic secundum, tertium, &c. etiamque ejus fluxiones; quibus valoribus in data incrementiali quantitate substitutis, resultat algebraica quantitas, cujus summa e singulis valoribus erui potest per Medit. Algebr. Et sic aggregatum rectangulorum e quibusque duobus valoribus datae functionis; contenta e quibusque tribus, quatuor, &c. valoribus datae functionis deduci possunt; unde detegetur aequatio ipsa. cujus radix est praedicta functio. a. Sit aequatio φ -- sa --b x)3 e dx ex*)I &c. - o, fluat x uniformiter, cujus incrementum sit x; tum Pro singulis datis correspondentibus valoribus quantitatum X, I εο φ, resultare possunt n diversi correspondentes valores incrementi F, quorum summa a - bx bx