장음표시 사용
391쪽
tescit; εο p erit multiplicator, qui in datam sequationem ductus, praebet quantitatem, quae integrari potest. 11. Ex irrationalibus quantitatibus in data incrementiali aequatione contentis constabunt irrationales quantitates in multiplicatore M, qur ductus in datam aequationem, eam reddit integrabilem; hae irrationales quantitates enim deduci positant ex iisdem principiis, quae prius tradita fuere de inveniendis irrationalibus quantitatibus in
multiplicatore datae fluxionalis sequationis contentis. aa. Ex formulis etiam fluxionalium aequationum, quarum fluentes innotescunt, constabunt formulae incrementialium aequationum, quarum integrales correspondent fluentibus praedictis. 13. Et sic in quibusdam casibus deduci possunt integrales generales incrementialium aequationum ex earum particularibus valoribus.14. Si modo datae quantitatis incrementum sit constans; scribantur in data sequatione quaecunque quantitates pro suis valoribus ex constante incremento, & earum incrementis diversorum ordinum deductae; &haud nunquam exinde consequitur incrementialis aequatio,
cujus integrasis innotescit. 1ue. Assumatur integralis aequatio duas variabiles x & r involvens, quarum incrementa respective sint x & y ; datae aequationis invenia
tur incrementum, in hoc vero incremento scribantur quaecunque quantitates pro suis valoribus ex assumpta integrali aequatione deductae, & resultat aequatio, cujus particularis integralis erit assumpta aequatio.
16. Si vero detur incrementialis sequatio, in qua similiter involvun tur variabiles x & y, & earum incrementa; tum in generali integralesia militer etiam involventur Variabiles quantitates x, γ, &c. & si sit valor quantitatis F, cum X β; tum erit is valor quantitatis F,
17. In quibusdam casibus deduci possunt integrales duarum vel Plu rium sn aequationum incrementialium tres vel plures variabile5 quan-
392쪽
titates, & earum incrementa involventium: vel e reductione harum n) p quationum in unam, &c. ita ut exterminentur variabiles quantitates & earum fluxiones: vel ex asiumptis generalibus quantitatibua pro correspondentibus valoribus e singulis variabilibus quantitatibus, quibus pro suis valoribus in datis aequationibus incrementialibus substitutis 1 e resultantibus sequationibus deduci possunt valores generalium quantitatum istam Ptarum. a. Facile deduci possunt u incrementiales aequationes N - - I variabiles quantitates & earum incrementa in 'olventes ; quarum particulares valores singularum variabilium in praedictis aequationibus contentarum, innotescunt: assumantur enim quaecunque su) functiones unius variabilis quantitatis & ejus incrementorum pro n reliquis, scribantur hae quantitates & earum incrementa pro suis valoribus in quibuscunque n diversis quantitatibus a, b, c, d, &c. quae sint functiones sit φ i) variabilium pi pedictarum lc earum incrementorum, & sint quantitates resultantes P, S, &c. respective; tum
erunt a m P, b &c. n diversae aequationes, quarum particulares valores erunt quantitates assumptae.
a 8. Data. incrementiali aequatione duas variabiles x &3 & earum
Incrementa involvente, ex Principiis prius traditis, i. e. ex infinitis seriebus deduci potest, an non una x exprimi Potest in algebraicis terminis alterius F.
1 . Per infinitas series detegi potest ex data incrementiali aequatione sα - ο) duas variabiles quantitates x UF & earum incrementa involvente generalis valor quantitatis I in terminis quantitatis x, qui continet invariabilem quantitatem a ad libitum astu mendam; etiamque si modo data incrementialis aequatio sit majoris ordinis n), tum in praedicto valore continebuntur su) invariabiles quantitate. a, b, c&c. ad libitum assii mendae, deinde ex infinita serie, quae exprimit valo rem quantitatis I in terminis quantitatis G inveniantur m v, b --e - γ, &c.; & exinde facile deduci posituat u multiplicatores qui reddunt datam sequationem α - ο integrabilem. ' et . Sit Vara P x, tum P erit functio quantitatum x & x.
393쪽
Et sic, mutatis mutandis, applicari licet reliqua principia de fluxionalibus sequationibus tradita ad sequationes incrementiales, vel coniunctim fluxionales & incrementiales.
C 'η - Dμ' -- &c. - γ, ubi A, B, C, &c. sunt quaecunque invariabiles quantitates ad libitum assumendae) integralis datae aequationis. Et sic de infinitis consimilibus aequationibus. Sit sequatio a F--bγ- ... - M Vel a F b F H- . . .
a dy--s X; ubi a, b, &c., ris&X sunt functiones quantitatumae & x ; & 3 est constans; tum multiplicatores harum aequationum sunt functiones quantitatum x & x. s C H O L I U M. Facilies est observatu, it haud possibile sit ulterius promovere generale problema, quam ejus Particulare; methodum generalium incrementorum, quam methodum fluxionum : haud difficile etiam erit pleraque in methodo fluxionum contenta reddere magis generalia & ad methodum incrementorum applicare; quae praecipue in hoc libro perficiuntur: sepe etiam in primis incrementi terminis si mutetur incrementum in nuxionem, & inveniatur fluens fluxionis resultantis, exinde deduci potest integralis dati incrementi. Omnia in hoc tibi O smutatis mutandis) etiam applicari possunt ad aequationes, in quibus incremedia & fluxiones simul continentur.
394쪽
Def. C IT data infinita series a -- b in e Φ d -ε- e g --- h -- O &c. & si successivae summae a, a in b, a b -- c, a -- b c --d, &c. continuo ad summam seriei vergant, & ultimo proprius accedant, quam data quaevis differentia; tum haec series dici potest
Cor. Invenire, utrum data series sit convergens, necne: continuo inveniantur limites, inter quos consistit quaesitae seriei summa; & si hi limites continuo ad se vergant, & ultimo propius ad se invicem accedant, quam quaevis data differentia; tum haec series dici potest convergenS. a. Convergentia termini d) revera erit in eadem ratione, quam
habet terminus ipse d ad summam termini ipsius & reliquorum seriei terminorum ' f se S in . ε . .
3. Sint A & P quantitates inventae, inter quas conlistit tum materminorum c d --e in f -g- - &c. i. e. sit A major quam praedicta summa & P minor, & B & Q quantitates invenim intei quas consistit summa d in e -- f g μ- &c. apparens ConVei gentia termini d) semper erit in eadem ratione, quam habet A - P) .XX
395쪽
q. Convergentia totius seriei proportionalis erit ultimae terminorum convergentiae, i. e. terminorum ad infinitam distantiam; ea enim series magis celeriter convergere dici potest, cujus termini ultimo celerius convergunt ad summam seriei quaesitam. s. In serierum convergentia dijudicanda, necesse est ut continuo inveniantur quantitates, inter quas ponitur seriei summar in seriebus convergentibus, quarum termini alternatim sunt negativi &assirmativi, plerumque continuo consequuntur quantitates, quae alternatim sunt majores & minores quam summa quaesita; hae vero series facile mutari possimi in series aflirmativas, si modo continuo sumantur differentiae inter assirmativos terminos & negativos Proxime subsequentes pro terminis novae seriei quaesitis. E. g. Sit series 1 mutari potest haec series in subsequentem amrinatiuam ex sumendo differentiam continuo inter duos successivos terminos) viz. in i &c. Series vero assirmativae haud eadem facilitate in series regulariter aIternatim affirmativas &negativas mutari possimi, i. e. ita quidem ut omnes successivi termini ultimo continuo fiant minores, & denique minor eVadant quam quaevis datae quantitates; hoc vero in multis casibus facile perfici potesti
396쪽
6. Seriem assirmativam t-- sint &c. cujus terminus generalis sit T quaecunque data functio quantitatis e distantiae a primo seriei termino, in regularem alteram alternatim assirmativam & negativam
transformare. Fingatur Tincrementum funetionis quantitatis z, cujus incremen
denotat eandem functionem quantitatis z, ac φ : a a) est functio quantitatis et I; ex hac aequatione inveniatur p: sa), & perficitur problema. Et se interponere liceat n terminos inter duos successivos datae seriei terminOS. 7. Saepe vero ex aliis methodis investigari possunt quantitates, quae exsuperant datae seriei summam; si enim summam seriei vel serierum novimus, quarum termini exsuperant terminos datae seriei, tum summa data exsuperat summam seriei datae: & sic saepe inveniri possunt limites inter quos consistit summa seriei quaesita. Ex. 1. Sit series ' - - ' -- --
-- &c. - S, tum erit IS major quam datae seriei summa, quod facile constat ex hoc, nempe singuli ejus IS)termini majores sunt quam datae seriei correspondentes termini: &summa -- &c. ducta in I major erit quam summa S 7 . O
397쪽
P R O B. Ι.F1G. . Concessis curvilinearum quadraturis , invenire limites, inter quos con it seriei summa. E terminis generaliter expressis inveniatur curva, cuius inscripta& circumscripta pologona sint respectivi datae seriei termini, & area
curvae minor erit quam summa totius seriei, major vero quam summa totius seriei a primo termino diminutae: si modo curva inter initium& finem abscissae non habeat punctum contrariae flexurae vel ordi
ῖ - &c. in infinitum in I, & AP CR p --&c. ergo summa datae seriei οῦς - - - -- - &e. - summae arearum circumscriptorum parallelogrammorum PB DR ES &c. - summae arearum inscriptorum parallelogrammorum LP Aa - BR CSin &c. sed curvilinea area LNPQRS, &c. major est quam praedicta summa circumscriptorum vel inscriptorum Parallelogrammorum, &curvilinea area AP e S, &c. minor: hae Vero curvilineae areae erunt
respective - &- a & ergo summa datae seriei L -- &c. in infinitum inter duas quantitates a & - ponitur. Et sic summa seriei - - &c. quae est data series ab Prima
398쪽
termino diminuta inter quantitates a & p continetur; & in gςnoxe
minorum τ - - - - - inter quantitates a -
Et sic inveniri possunt limites, inter quos cujuscunque consimilis seriei consistit summa; &c.
areae, inter quas consistit summa hujus seriei, erunt infinitae magnae, necne; prout n vel sit unitas vel minor sit quam unitas, necne. Cor. a. Si hae curvae habeant ordinatas maximas vel minimas, vel puncta contrariae flexurae; tum ad singulam maximam vel minimam,&c. corirgenda est area inventa.
P R O B. II. Data lege, quam observant termini seriei in infinitum progredientis; invenire utrum east ita vel in ite magna. E data lege constant termini ad infinitam distantiam; si vero terminus A) ad infinitam distantiam constitutus sit minor quam quaecunque quantitas hujusce formulae ubi n sit finita quantitas, &α distantia termini a primo seriei termino; tum summa seriei erit
finita quantitas, sin aliter vero non . Constat e cor. I. prob. praeced. a. Sit z distantia cujuscunque termini a primo seriei termino, etiana que
399쪽
ubi a z H- - -- &c. sit series secundum di mensiones quantitatis E
descendens; tum, si I : - z az ' -- - &c. tibi z supponitur infinita quantitas, habet assirmativam & minorem quam rationem aequalitatis per finitam rationem, tum summa seriei praedictae erit finita quantitas ; sin aliter non. Nam per coroll. praedici: series erit sinita. si modo duo successivi
i, & assii maliva sin aliter infinita: ducatur quantitas 1 -- ' δ
&c. in Σ & resultat α n in n. - &c.; ad hanc quantitatem addatur quantitas -z; & summa erit n - n . - - &c., at series erit finita, cum n major sit quam unitas, &c. ergo constat propositio. a. Sint T &T' successivi termini, quorum distantia a se invicem 5 csit m, & T az - - - - - - - &c.) quae sit series secundum dimensiones quantitatis a descendens; tum, si I : -z in. az Φ
-Φ- &c. ubi Σ supponitur infinita quantitas, habet assirmativam& minorem rationem quam I et m per finitam rationem, summa seriei praedictae erit finita quantitas ; sin aliter non. . Data aequatione inter successivos datae seriei terminos relationem exprimente,
400쪽
exprimente, facile e terminis id tae sequationis qui maximi sunt ad infinitam distantiam & principiis in hoc problemate traditis erui potest, annon seriei summa sit finita quantitas Inveniatur enim ratio, quam habent termini suecessivi ad infinit m distantiam positi; i. e. cum et evadat infinita quantitas, & per methodos prius traditas detegi potest, annon series sit finita.
s. Si ad infinitam distantiam T: T habeat rationem majorem per finitam quam aequalitatis, tum series erit finita: si termini seriei sint alternatim affirmativi & negativi, reducendi sunt ad seriem affirmativorum terminorum ex inveniendo differentias inter affirmativos &negativos terminos successive. . Ex. I. Sit i a t . ubi t' est n potestas quantitatis i Sc a invariabilis quantitas ; tum, si at' ' minor sit quam I, series converget ;sin major non. Ex. a. Sit terminus ad infinitam distantiam si . e. cum z evadat anfinitus numerus) Σεα tibi litem ci n&m denotant invariabiles quantitates, quarum una m saltem est affirmativa ; tum series semper erit finita, si e major sit quam i ; sin aliter non; nam ad infinitam
. - in &c. et infinitum numerum) - , Unde constata n 3 z eexem P. Hi ne, si a sit infinitus numerus, constat e 'maiorem esie quam a cum e major sit quam I.
EX. 3. Sit terminus ad infinitam distantiam tum, Ob z cum Σ evadat infinitus numerus) - 1; duo successivi termini T & D erunt