장음표시 사용
401쪽
per. log. est i; & constat seriem esse finitam. In omnibus his excipiendus est casus, cum terminus ad finitam distantiam evadat infinitus. Idem etiam deduci potest ex sequatione data inter successivas summas relationem designante; facile enim reduci potest haec aequatio adsequationem relationem inter successivos terminos exprimentem: &de aequatione relationem inter successivas summas oc terminos expri
1 H E O R. I. 1. Sit serieS A -- --- -- -- &c. in I, & I ' in ter- dx minis A, b, c, d, &c. continuo augeantur differentiae inter dimensiones quantitatis a distantiae a primo seriei termino Per quantitatem, quae in terminis ad infinitam distantiam evadit infinite magna; tum si dimensiones numeratoris superent dimensiones denominatoris, series erit divergens, sin aliter erit convergens, e. g. series I-α -μα. ία I xv α . ία - IJ. ία in a)x' &c. semper diverget; series
Per converget, quicunque sit valor quantitatis I.
et. Sit ρ assirmativa quantitas, R differentiae inter dimensiones quantitatis et in denominatore quantitatum sin b, c, d, &c.) & earum numeratore contentas ad infinitam distantiam continuo eaedem maneant, i. e. st finita; tum series semper converget, si x inter a R- a ponatur; sin aliter diverget; ni x a, in qno casu series converget vel diverget prout dimensiones quantitatis E ad infinitam distantiam in denominatore superant ejus dimensiones in numeratorς Per
402쪽
Per quantitatem majorem quam unitatem, necne. Sit p negativa dc scries temper converget, cum x major sit quam a vel -&c-3, In fluentibus fluxionalium aequationum detegendis, necesse est ut convergens sit series inter duos valores ία de βj quantitatis x con-t rata, i. e. A b ία Σειοῦ β -- c αφ 212 β') -- d αλ β &c. st convcrgens series; quod in seriebus praecedentibus haud fieri potest, ni uti seque series A- θ -- e αἶ - - &c. & Α - Λ β -- c βῆ
Facile ex principiis hic traditis, si modo scribatur U - α pro x in data serie A b x oxy - - dx3 &c. erui potest, an non series exinde resultans A b α φλο α &c.) b ac α 3dα - &c.)U -- Q 3 dα Src. υη - &c. sit convergens. Et ex iisdem principiis erui potest; an non series, quae sit quaecunque functio datae seriei, sit convergens. Cor. I. Series, cujus termini generaliter exprimuntur per algebraicam Sc determinatam functionem haud vero exponentialem literae zdistantiae a primo seriei termino, nunquam tam celeriter convergit; quam series, cujus termini exprimuntur etiam per algebraicam & determinatam functionem quantitatis et in x '; Ubi x sit data quantitas,
minor Vero quam unitas, & n quaecunque aflirmativa quantitas; vel x major quam unitas & n negativa quantitas.
In priori enim serie termini T & π successivi ad infinitam distan tiam haud habent inter se rationem majorem vel minorem quam aequalitatis per finitam rationem; in posteriori vero erit ultimo T: T
series formulae hujusce generis x P 2 3 1 3 ' ' ' φ
- , ' Erit enim in hac serie ad infinitam distantiam T: Γ:: z : x ; i. e. in eadem ratione quam habet infinita quantitas ad finitam.
403쪽
Haec series vel series παξα - - - - - --- &c. semper convergit, quicunque sit valor quantitatis x; & series x -- Ι. a x i. a. 3x3-- &c. vel q- xy H- 27x3 H- 256 x' -- &c. semper diverget, quicunque sit valor quantitatis x.
Et sic e convergentia seriei terminorum ad infinitam distantiam dijudicari potest convergentia ipsius seriei. T H E O R. II.
Data quantitate A, quae est functio quantitatis x, cujus termini
convergens sit praedicta series, sed non semper; quae facile constabunte principiis prius traditis; & sic deinceps. T II E O R. III.
1. Quamvis infinita series data A) haud convergat, tamen si detur finita quantitas ρ, quae in seriem convergentem B ducta praebet datam quantitatem A), i. e. pB A; tum summa datae seriei A quodammodo dici potest aequalis producto p κ B: vel magis generaliter, si data series A) sit functio quantitatis x ad seriem secundum ejus di mensiones progredientem reducta, tum series A quodammodo diei potest aequalis praedictae functioni qGantitatis x. a. In casibus, cum series A nec conVergat nec divergat, & α sit valor quantitatis x; tum plerumque inveniri potest summa seriei A),
cum Valor ejus incognitae quantitatis x quam minime differt a dato valore α), i, e. series erunt convergentes; δο exinde deduci potast Ualor summM quaesitae, cum x E. g
404쪽
Cor. . Hinc summae serierum, quae tanquamd ivergentes apparent, saepe deduci possunt: revera forsan hisce seriebus haud assignari possi intsummae.
g. Ex divisione alterius quantitatis per alteram deduci potest quaecunque series; at animadvertendum est, ut haec series non revera dici possit quotiens, ni residuum nihilo sit aequale; si residuum augeatur, tum series divergit; quamvis quotientes sunt eaedem, attamen fracti
I I i sn sit numerus i) I - ΙΦΙ - Ι Ι-bcc. in Primo casu residua sunt 1 & - 1, & consequenter quotientes inventae distanta vera per quantitates ' & -': in ultimo casu ressidua sunt n- 1& 1, di consequenter quotientes inventae distant a Vera per quantitates & l. Si series sint reciprocae, viz. a in b c in &c.
405쪽
I. Convergentes series, cujus termini sunt in geometrica progressione, uniformiter convergunt ; omnis enim terminus eandem habet rationem ad reliquam seriei summam. 2. Sit series a - b -- c - d- - &c.; si a minor sit quam b, b quam c quam ri 6cc,; tum series quodammodo dici p0test esse divergens susque donec subsequens terminus minor sit quam praecedens; etiamque quodammodo at Plerumque non reura convergentia termini
seriei dici potest esse in ratione quam habet datus terminus ad ejus
a. Sint Γ, S, T tres successivi termini datae seriei generaliter expressi; & mutetur series de praedicta divergentia in convergentiam cum K S, &c. R in statum praedictae celerrimae convergentiae cum S T S --, vel cum fluxio fractionis χ sit nihilo aequalis, &c. Plures vero possunt esse status celerioris convergentiae praedicti generis, &c. facile consi bit numerus punctorum celerioris convergentiae, &c. epraedictis aequationibus, &c. P R O B. III. Invenire conUergentes series, quae dividi possunt in alias convergentes. i. Assumantur duce series convergentes, ducantur hae series in sese ;& inveniatur lex, quam observant termini seriei resultantis; dc facile reduci potest haec series ad duas alias. a. Et sic inveniri possunt e datis scriebub convergentibus quam plurimae aequationes convergent ; inVeniantur enim functiones datarum serierum, quae sint convergentea: e principiis prius ti aditis facile consequuntur infinitae sanction*s convergentium serierum, qua con vergentes series praebent: exhinc deduci possunt quaedam serie., quae
methodis prius traditis haud erui possunt. REGULA.
406쪽
Ι. sit x incognita quantitas, & detur algebraica functio quantitatis x, reducenda est data functio ad terminos secundum dimensiones quantitatis x proaredientes. Hoc sit operando in literis ad eundem modum, quo arithmetici in numeris decimalibus dividunt, radices
extrahunt vel affectas aequationes selvunt. Ex. 1. Sit functio data sa -- θα -- cx' -&c. ',& per multinomiale theorema evadet a ma 'ix c
H- &c. Series facile constat ex reducendo quantitatem ad potestatem se elevandam in infinitonomialem quantitatem secundum dimensiones quantitatis x progredientem, & deinde infinitonomialem quantitatem ad E Potestatem elevando ; & sic de omnibus algebraicis quantitatibus ad series secundum dimensiones quantitalia x Progredientes redu-2. Facile etiam transformari possunt hae quantitates diantur secundum dimensionea reciprocaS quantitatis x. ut progre-E. g. Sit
407쪽
quantitas b x -Φ- σ)', & erit b x -- a - b ae m ιη' a xγ- in m . b a* x )' Φ &c.; & sic deinceps. Saepe series, quae progrediuntur secundum dimensiones directas quantitatis x convergunt; saepe vero series, quae progrediuntur secui dum ejus reciprocas convergunt; saepe autem nec hae, nec illae con-Vergunt, quae satis manifesto constabunt e propos postea traditis. Τ H E O R. V. Sit data series - &c. quae infinita evadit,
κ A B x Cx' &co) αααa--bx-- cx*-- &c. ia e reductione quantitatum ἶ-x dc sy ) ,&c. in simplices terminos secundum dimensiones quantitatis x progredientes, bc ex sequatis correspondentibus terminis utriusque aequationis Partis consequentur coessicientes A, B, C, &c. & in quibusdam casibus ita assumi possunt indices m, r,doc. in ut aequatio deducta magis celeriter convergat; vel aliae functi nes quantitatis x, quae evadunt infinitae, cum x zm p vel x q, &c.
Eadem principia ad plurimas consimiles series applicari possunt. T H E O R. VI.
H- &c. summa e singulis reciprocis radicibus; λ 'Φ- &c. summa e quibusque duabus reciprocis radicibus in sese ductis; & sic deinceps.
408쪽
Cor. Hinc e prob. I. & s. medit. algebraic. deduci potest aggregatum e singulis valoribus quantitatum reciprocarum --, 'l'
Φ y- - &c. vel e singulis valoribus reciprocarum quantitatum hu
inceps; ubi m, n, r, &c. sunt assii malivae quantitates. Et sic transformari potest data sequatio in alteram, cuius radices
gatum e singulis valoribus contentorum α β &c. -- c. - α β γ' &c. ubi m, r, &C. fiant amrmativae quantitates. Et sic. transformari Potest data aequatio in alteram, cujus radices sunt α' β' &c. - &c.
a. Sint duae infinitae aequationes, unam solummodo incognitam quantitatem x respective habentes ; & quarum radices ex una sunt α, β, γ, A &c. eX altera vero π, ' σ, τ, &c. & si modo ex una aequatione deduci possit aggregatum P) e singulis quantitatibus hujusce for-m Ulae α β &c. ex altera vero aequatione aggregatum sq) e singuli quantitatibus hujusce formulae re &c. Ubi Omnes literae B, n r&c. vel simul denotant assi malivas quantitate. Vel negativas, & te omnes literae a, b, c, dic simul sunt assirmativae vel simul negativae:
409쪽
vel aequatio ο l - - - - &c. ita arithmeticam seriem
C, I, 2, 3, ψ, &c. & resultant aequationes, quarum radices sunt limites inter datarum aquationum radice S, &C. s. E principiis in medit. algebr. traditis saepe consequuntur notae radicum impossibilium, affirmativarum oc negativarum in datis aequationibus contentarum. E. g. Sub primo termino scribatur -; subsecundo scribatur vel - prout ' maior sit quam pr vel non; sub tertio scribatur H- vel - Prout ry major siit quam 7s, necne; & sub quarto scribatur q- Vel in prout major fit quam ri 1 & sic deinceps , dc tot saltem erunt impossibiles radices, quot sunt mutationes
signorum de in in - & - in - . 6. E medit. algebr. constat, quod si modo quaedam n radices sequationis p - q x -- r χη - &c. o Vel p - ἶ -- - - &c. - o sint possibiles, tum etiam reperientur n- I radices possibiles aequationum
resultantium e multiplicatione ejus terminorum successivorum in praedictae arithmeticae seriei terminos. . Hinc facile sormari potest infinita sequatio, cuius radices haud dantur; & tamen assirmari potest, ut nullas habeat possibiles radices. Assiimantur enim coessicientes, ita ut per praedictas regulas omnes
radices notas habeant impossibilitatis; de id, quod requiritur, fit. 8. Si modo in data infinita sequatione prox scribantur quaecunque duae quantitates iκ & β, & quantitates resultantes mutentur de in - vel - in in , tum impar numerus radicum datae sequationis inter quantitates α & β interponitur; sin aliter nulla radix vel par numerus radicum inter α & β invenietur; ni e scribendo γ valorem intorti do β contentum pro x series evadat divergens. THEOR.
410쪽
r. Sit infinita sequatio A in ax --b x '' -- c x &c... Px -- - - &c.; & si coessicientes haud crescant in majori quam quacunque geometrica ratione assignabili, & sint omnes assirmativae; tum semper datur una amrmativa radix & non Plures, quae quidem erit minor quam quaecunque negativa in data aequatione contenta. a. In assirmativa serie ax -- θ x ' -- cx ' - - &c. fingantur duo
successivi termini ad infinitam distantiam si) positi inter se aequales, i. e. PH - 2 ' , dc consequenter x in UL - α; & exinde omnis
quantitas minor quam α Vel - α pro x in praedicta sene constituta semper praebebit finitam summam; sin major sit quam α, tum semper praebebit infinitam. a. a. Si series sit negativa, tum ex pluribus terminis ad infinitam distantiam positis inter se aequalibus esse suppositis acquiri possunt limites quantitatum, quae in data serie pro x substitutae semper praebent finitas vel infinitas quantitates. P R O B. IV. Invenire aquationem, quae in iras habet cognitas rarices. Sint cognitae radices α, β, γ, λε, &e. & ducantur factores x- αὶ
aequale ; erit sequatio desiderata. EX. . Sint radices α, α', α3, αε, &c. in infinitum; aequatio quaesita