장음표시 사용
411쪽
-- , summa rectangulorum sub singulis binis εο sic deinceps. Cor. Inveniatur aequatio, cujus radices sint quaecunque algebraica functio hujusce aequationis radicum; resultat aequatio, quae etiam habet infinitas radiceS.I α3
κ &c. - o, cujus radice. erunt α, Q αῖ, &c. in infinitum & β, φ, β', &c. in infinitum; & sic deinceps. P R Ο B. V. Diis duabus in itis aequationibus duas vel plures incognitas quanti rates s x V y) habentibus; eat is unam reducere, ita ut incognita quantitas sy) exterminetur.
1 φ. Collocentur termini utriusque aequationis, ita ut illi termini primum locum occupent, qui maximi sunt; ii vero Proximum locum, qui proxime majores sunt, & sic deinceps. i. e. Sint termini in una
p - o, R ita reducantur hae duae sequationes, Ut exterminetur incognita quantitas θὰ , deinde supponantur pro propriori valore sequationis quaesito reducantur hae duae sequati nes, ita ut exterminetur incognita quantitas 3; & sic deinceps; & coim tinuo ad aequationem quaesitam propius accedamus. a. Datam aequationem unam κ) solummodo incognitam quantilatatem
412쪽
tatem habentem in duas vel plures alias habentes duas vel plures incognitas quantitates dividere. Assumatur sequatio duas vel plures incognitas quantitates habens; deinde addatur, subtrahatur, &c. assumpta sequatio e data;& exoriuntur duae aequationes duas vel plures incognitas quantitates habentes, quae facile reduci possunt ad datam. Et sic de pluribus aequationibus. T U E O R. VIII. Sint duae vel plures infinitae sequationes duas vel plures incognitas quantitates habentes, quarum sit una integer numerus vel fractio, tum altera etiam erit integer numerus vel fractio, ni duo vel ties vel Plures valores reliquarum incognitarum quantitatum sint inter se
Multarum infinitarum sequationum inveniri possunt radices integri numeri ex principiis, quae tradita fuere pro inveniendis radicibus, qui sunt integri numeri, in finitis algebraicis aequationibus. P R O B. VII. Sint duae infinitae series, quarum termini fecundum dimensiones quant
talis X collocantur ; invenire nonnunquam in uitas Aries, quin ine earum communes divisores.
Dividantur hae aequationes juxta methodum, Per quam inveniuntur communes divisores in algebraicis finitis aequationibus, & nonnunquam resultant communes divisores. E. g. Sint duae infinitae series 1 - - κ xη - - λ x &c. & I - . x - , πῆ - Axi
413쪽
hoc residuum, si actionem evitandi gratia, in & resultat series
Τ H E O R. IX. t. Sint α ερ β duae radices aequationis infinitae o a l xe x
-- dx3 H- &c. in scribatur in hac aequatione pro x ejus valor asesumptus et , qui inter duas proximas radices α & β ponitur; tum plerumque erit quantitas resultans finita quantitas ι si A evadat infinita quantitas, cum x λ inter valores α & β posita; tum evadet iterum
finita quantitas, cum x μ quantitas etiam inter α & β posita: &plures possunt esse progressus hujusce generis de finito ad infinitum,&c. inter valores α & β quantitatis.Y. a. Si modo sint α, β, γ, &c. successivae radices datae infinitae aequationis ι & π quantitas inter α εοῦ β, & inter β & γ: scribantur αν & e pro x in data infinita aequatione; & quantitatum exinde resultantium mutabuntur signa de in - dc - in ni detur quantitas interis & contenta, quae substituta pro x praebet divergentem seriem. 3. Si duae aequationes A in bx in cx' - - dx' in &c. - Ο &Μ--δω - ex*-- dxΤ -- &c. o habeant possibilem radicem sis & βὶ respective; & fit quantitas inter A & AE contenta, tum sequatio Aq--bx-- cx H dx' - &c. o habet possibilem radicem; ni interualores α & β quantitatis x series evadat divergens. . Divergens series in quantitatem nihilo aequalem ducta aliquando fiet
414쪽
fiet convergens ; in finitam quantitatem ducta nunquam producet seriem, quae proprie dici potest convergens. S. Inveniantur termini seriei ad infinitam distantiam positi, quaa est productum divergentis seriei in quantitatem nihilo aequalem ductae;& ex iis per principia prius tradita semper detegi potest, annon series
resultans sit conUergens. 6. In seriebus cuiuscunque generis fluens convergit magis celeriter quam ejus fluxio; & sic de consimilibus.
Data resolutione aequationis, quin sit infnita series irrationalium quantitatum; invenire aequationem ipsam. Ita reducatur per prob. 26. medit. algebr. data resolutio, ut exteris minentur irrationales quantitates, & resultat aequatio quaesita. PROB. VIII. Invenire, utrum data quantitasse radix data in nita aequationis, neenerscribatur data radix pro ejus valore in da, inquatione, G si e quibuscunque principiis conset quantitatem refultantem ultimo ad nihil vergere, tum constat quantitatem datam esse radicem da in i initae inquationis. E. g. Sit aequatio o I -x - χη - λ' - &c. invenire, annon sit radix praedictae sequationis : scribantur i, a, ε, &c. Pro π, χη, κ&c. in data sequatione, & resultant successiva residua 'i, ε, 12, &c. in infinitum, unde ultimo vergit ad nihil, dc consequenter x erit radix datae aequationis. Dividatur data sequatio per - x, & quotiens in-Venietur omet 2 et x et x in ax' in &c., cujus Omnes radices sunt
415쪽
liter ratiocinari liceat; i.e. si numerator o, & denominator ad seriem secundum dimensiones quantitatis x progredientem reductus praebeat convergentem seriem, cum x - α; tum α erit radix seriei, quae oritur ab expansione datae fractionis in terminos secundum dimensiones quantitatis x progredientes.
habet radicem x I; nam si pro x in utrisque aequationibus stribatui quantitas inter I & - I posita, tum semper evadent finitae quantitates ad o magis appropinquantes, quo minus distet xὶ ab - I in priori & ab - I in posteriori aequatione.
x; tum radices aequationis A - ρ erunt etiam radices aequationis P & vice versa radices aequationis P - ρ erunt radices aequationis A p. Ex. . Sit series I --x in xy in x' -- &c. - a-l- έ -b), sed est
416쪽
bus aequationibus deduci possunt iidem & nulli alii valores quantitatum c Ecd, praeter eos, qui ex aequatione M a -- b), i. e.
- multo major sit quam 3 multo major quam & - multo
major quam P a multo major quam , & sic deinceps in infiniatum: tum erunt omnes radiees datae sequationis possibiles; & approximatio α) ad minimam radicem erit & approximatio ad radiueem β , quae est minor quam omnes praeter α erit Pi vel radices aequationis quadraticae a- bx cx' et o erunt propriores approxiamationes ad α &h& similiter erit approximatio ad tertiam radia
417쪽
cem sγ) datae aeqVati is, quae est minor quam omnes radices datae sequationis praeter α &β; Vel radices cubicae sequationis a - θα - - exa dx3 . o erunt propriores approximationes ad radices α, β & γdatae sequationis; & similiter approximatio ad quartam minimam ra- . ddicem erit ', & quatuor radices datae sequationis a - bx in cxη dxi H- ex M o erunt propriores approximationes ad quatuor minimas radices α, β, γ & ih datae aequationis ; & sic deinceps. Τ H E O R. XII.
jus m radices sint multo majores quam reliquae, tum ex summa m-HI primorum terminorum nihilo sequali esse supposita, viz. γ' -- aI -- bγ' --- cI Τ... - - f o resultat sequatio, cujus radices sunt praedictae m radices prope : si vero r radices datae sequationis sint multo minores quam praedictae m radices, multo Vero majores quam reliquae; tum ex summa r I terminorum, quorum primus sit ultimus sequationis prius traditae terminus D ', caeteri vero r subsequentes, viz.ff in g, D' ' ...H- a se nihilo aequali esse supposita resultatorquatio, cujus radices sunt r praedictae radices prope ; & sic deinceps;& denique si s radices datae sequationis sint multo minores quam re liquae, tum ex summa s -- I Ultimorum terminorum nihilo sequali esse supposita resultat sequatio, cujus radices sunt s radices praedictae. Cor. . Sint α, β, γ, δ, &c. radices datae aequationis, '-ργ' -F qa ' - υ ' H- &c. o, quarum α multo major sit quam β, β quam
λ γ quam J, de sic deinceps; tum erit γ Prope, dc sic deinceps.
418쪽
I. sit sequatio Γ a) in b3 - Ο ' in &c. o, Ubi a, b, c,&c. sunt functiones ipsius x, nunc ex hypothesi quod x sit perparva Vel permagna quantitas vel ex quacunque alia hypothesi sint α, β, γ,
&c. proximi valores quantitatum a, b, c, d, &c. tiam assumatUr seqUatio τ' in α υ H- γ υ in δυ' &c. απ ι', & n radices hujusce sequationis erunt prima: approximationes ad n diversas datae aequationis radices. a. Si vero quaecunque una radix multo minor sit quam quaedam mradices in data sequatione, ' as bγ' ' - .. .s, g r BI &c. - o contentae, multo vero major quam singulae reliquae s=a - m - I); tum erit -i prima approximatio ad praedictam radicem; si vero duae radices a &Τ sint multo minores quam m radices praedictae, multo vero majores quam n-m - 2 reliquae radices, erunt radices sequationis j in g, hs o primae apis Proximationes ad duas radices praedictas ; la sic de pluribus. 3. Datis primis approximationibus π, e, r, &c. ad quascunque svi)radices datae aequationis ; alias π r, dcc. adhuc magis appropinquantes detegere: scribatiar Ο - π- et O . Ο - ρ - f) . 9 - σ - σῖ. &c. X sis q= ' - &c.) - Υ- aγ' '-bγ' 'H-&C. - o, & ex sequatis correspondentibus terminis resultantis sequationis exorientur n aequationes totidem n incognitas quantitates π,- r, &c.
p, 7, r, &c. habentes ; nunc abjectis Omnibus terminis tanquam prope nihilo aequalibus, in quibus plures quam una dimensio quantitatum P, ρ, i , &e. inveniuntur, & resultantes n sequationes in alias redu. cantur, ita ut exterminentur incognitae quantitate. p, Τ, Γ, i, &c. la exorientur aequationes totidem incognitas quantitate. π,- , &c. habentes; quibus in unam reductis, ita ut exterminentur omnes praeater unam incognitae quantitates, resultant Valores approximationum quaesitarum et , ς, &c. qu. 'invenientur respective u -
419쪽
Πι u- 0aση ' -φ- n a dii a &e. p QP i λς In denominatoribus & numeratoribus harum fractionum rejiciantur omnes termini tanquam nihilo aequales, qui ex hypothesi assumpta multo minores evadunt quam reliqui; & e comparandis resultantis
sequationis U' -- αιυ -- &c. o terminis, saepe inveniri possunt ejus radices. E. g. E comparandis quibusque duobus proXime
successivis erui potest radix prope, si modo longe distet a reliquis, &sic detegi potest quadratica aequatio, quae continet duas radices propea reliquis longe distantes; & sic deinceps. Eadem fere principia ad fluxionales la incremensiales sequationes
Si plures dentur aequationes Plures habentes incognitas quantitates , tum ex iisdem PrinciPitS erui possunt Plures aequationes, quarum radices sunt primae approximationes ad radices datarum aequati
. Eadem principia etiam applicari possunt ad aequationes, in
quibus quaecunque irrationales continentur quantitates; rejectis enim omnibus quantitatibus in irrationalibus terminis contentis, qui haud maximi evadant ex assumpta hypothesi, e reliquis erui possunt approximationes ad singulas datae aequationis radices, & ex iis primae approximationes ad quantitatem vel quantitates quaesitas; & ex primis approximationibus deduci possunt secundae approximationes e principiis prius traditis: vel rejectis omnibus, quae haud maximae vel proximae evadant ex assumpta hypothesi, e terminis resultantibus inveniri possunt approximationes ad radices quaesitas vergentes; & sic deinceps. Facile etiam constat numerus terminorum, qui vere obtineri
possunt ex rejectis quibusdam datae aequationis terminis. Si
420쪽
Si vero duo vel plures n valorea quantitatis quaesitae sint propem e & inter se aequales; tum inveniendi sunt termini datarum aequationum, qui nullam, unam, duas, vel denique nὶ habent dimensiones;
qui sint respective A, B e, Ce , De3, . . . He'; tum radices aequationum A Be Ceym o vel A B e -- Ce DeΤ- . . He' - οerunt approximationes ad duas vel denique n radices aequationum, quae sunt prope inter se aequales.
- eadem erit ac ea, qupe traditur pro invenienda summa α' β'. δ' -- &c. ubi α, β, γ, A &c. sunt radices datae aequationis vel in meis misceli. analyt. vel postea in medit. algeb. si modo pro m scribatur I,& termini in infinitum regrediantur; i. e. eoemiens generalis termini ρ r' sλ &c. ubi i- 2 α Φ 3 β γ &c. erit tara m .