장음표시 사용
421쪽
p ρ ρ r-ρ 'S J -&c. Ut antea ; eius vero reciproca, i. e. radix N, ' ni quaesita sis erit ρ ' 'l' p 'g - ρ 'r s Ἱρ ε -- &c. series prius tradita eadem evadet ac haec, si modo in ea pro m scribatur i &termini in infinitum progrediantur: hic animadvertendum est ultimo duos primos terminos recte ostendere duplum figurarum numerum, tres vero primos terminos triplum figurarum numerum praebere, &c.
termini in infinitum progrediantur, tum eadem evadet ac series prius tradita. ὀ a. Sit sequatio P - x -- N A' - &c. o, cuius radix re multo minor sit quam quaecunque alia in ea contenta, transformetur haec &c. si in praedicta serie pro m 1cribatur λ, &
& erit --ρ - λρ' R &C. ut antea, & π - ρ λς ρ λ ρ' ' r -Φ- λι J - &z. quae series eadem erit ac series resultans e scribendo - λ pro m in serie generali prius tradita. Cor. i. Termini omnium serierum praedictarum, in quibus solummodo continentur coefficientes s & Τ, erunt aequales quantitati δε γέρ' - a q) ue . . . . . -- θ ; termini Vero in quibus continentur coem- cientea p, q&r erunt aequales quantitati H si modo Π sit maxima radiae cubicae aequationis xy-ρx' -- Τx - r - o ; dc sic de
422쪽
- λ&c. in infinitum, ubi p-α 'r, ρ- α β - ρ, p α - β - γ - σ, &c. tum quantitas ultimo resultans, i. e. ad infinitam distantiam posita si modo reducatur in terminos secundum dimensiones quantitatum p, Τ, r, s, &c. Progredientes, evadet ρ - ρ 'Τ-- p 'r-p Τ s lin &c. sexies prius tradita. Ex principiis in medit. algebr. ulterius promotis invenire liceat radicem, quae multo minor sit quam maxima radi X; at multo major quam quaecunque alia; & sic deinceps; sed omnia haec e principiis subsequentibus per se perspicuis resolutionem recipiant. P R O B. IX.
423쪽
tum ex principiis hic traditis deduci potest δ-, a i
&c. termini, In quibus solummodo Continentur coefficientes termin rum Q , in , e π ' Observant legem in cas. r. probpraeced. traditam, caeterique legem haud multum diversam habent mutatis indicibus de affirmativis in negativos, & mutato denominatore de b & ejus potestatibus in i & ejus potestates. Ex iisdem principiis etiam detegi Possunt approximationes ad duas vel plures radices datae aequationiS, quae fere sunt inter se aequales; etiamque eadem applicari possunt Principia ad sequationes duas incognitas quantitates habentes, ita ut una eXPrimatur in terminis alterius; etiamque ad quascunque aequationζῆ, quae reduci possunt ad infinitas algebraicas aequationes. Exhinc etiam constabunt lege , quas Observant infinitae series radiaces quationum algebraicarum exprimentes. PROB.
424쪽
Do G algebraica aequalisne x' - p x' H- q x' r x - &e. o, cujus radix est X, invenire valorem quantitatis X. I '. Sint omnes radices α, β, γ. ε, &c. datae sequationis possibiles; sint vero α multo major quam is, β quam γ, γ quam Z &c. & inveniatur per algebr. meditat. summa α' S ' - - '' -- - &c. -& α erit ad in aequali vel majore ratione quam habet i: ν n . Facile constat ex supponendo omnes radices inter se esse aequales. aqq. Inveniatur summa rectangulorum α' β' iam α' γ' -- β γ' -
α ' δ'' - - γμ' - α ω- M. per praedictas meditationes; & αβ erit ad in aequali vel majore ratione quam I :a ''. Ex quam plurimis directis functionibus singularum radicum inveniri potest maxima radix α); dc ex iis & quam plurimis directis functionibus productorum sub quibusque duabus radicibus in dire Etam functionem singularum radicum erui potest radix β, quae major
est quam omnes radices praeter α; & sic progredi licet ad invenienda contenta α β γ, α β γ ῆ, &c. etiamque quascunque algebraicas carundem radicum functiones.
Cor. I. Iisdem positis, --- γρο -- δρο--- &c.) nunquam differt a maxima radice α per quintam ejua partem; ni sit n - 3, in
quo casu vix differt per majorem partem: & σία '- - β '-- &c.)nunquam differt a maxima radice α per decuplam ejus partem, &c. hic haud supponitur u 2. Cor. a. Limites, inter quos consistit vera radix, inveniri possunt supponendo I ' omnes vel quasdam radices esse aequaleS, & aqq om nes praeter quemdam numerum radicum evanescere. Cor. 3. Sit aequatio x'-px qx' ' - &c. o, cujus omnes
radices β, γ, &c. sint possibiles, quarum α major sit quam β, β
425쪽
quam γ, γ quam ὁ, SQ ; invenire quantitatem, quae habet ad radicem ιι minorem quam datam rationem, ViZ. r : I, ubi r major est quam L: inveniantur togarithmi quantitatum n & r, qui dicantur , & & par numerus major quam V dicatur σ; tum erit ία - S -w D. -&c. 'quantitas quaesita. Haec principia etiam applicari possunt ad inveniendas approximationes intra datos limites constitutas ad radices β, γ, &c., Vel ad minimam radicem. Cor. 4. Hinc e prob. primo meditat. algebr. consequitur lex,
quam observat reversio seriei x ast - δν' --- CF3 - D . . . I , i. e. series exinde deducta γ - Ax -- Lx -- Cx3 -- D α -- &c. Inveniatur enim sequatio, cujus radices sunt reciprocae datae aequationis
ubi v '; sint α, β, γ, δ, . . . ατ radices hujusce aequationis, ubi α sit maxima radix & π minima, maximus igitur erit valor radicis I
infinitus assirmativus numerus, etiamque is μ' - γ -- &c.)erit minima radix π, & consequenter maxima radix quantitatis 3 - -;
sed quoniam radices, ut constat ex observatione ad problema praedictum annexa, eandem prorsus observant legem ac earum potestates;
series, quae exprimit radicem π Q'' H- -l- γ '' - &c.) ean dem prorsus observat legem ac series pro summa sα ' - β ' - - γ' -
aequatio sit z'-ρ Δ' ' -- ρ z - - &c. - ο; hoc autem in loco erunt respective
426쪽
respective p --, r - &c. in casu proposito requiratur, ut termini progrediantur secundum dimensiones quantitatis x, Unde interminis Wδ''q sγ κ &c. infra se positis, qui in eandem potestatem
quantitatis x ducuntur, quantitas - Ι - μ - - - Ι - α - Σιῖ - 3γ - &c. eandem conficiet summam, quae erit successive - I, - a, -3, - Α, - S, &c. Ubi aα - 3β -- η γ&c. & consequenter series per praedictum Problema invenietur C- x3 - - &c. Unde e praedicto problemate con-
3β -- &c. sit par vel impar numerus; si α - β - γ &c.- 1, i. e. una litera α vel β vel γ, &c. sit I, caeterie vero O; tum coefficiens praedicta erit I. Et sic, si modo deficiant quidam datae seriei termini vel a) vel b)η,&c. facile deduci potest lex, quam observat series valorem radicis π
&c. divisa erit approximatio ad C'. Et sic de summis quantitatum rationalium & irrationalium ; reducantur rationales vel irrationa les quantitates in series, quarum primi termini sint maximi, & ex inde summa e singulis valoribus rationalium vel irrationalium quan titatum prope aequalis erit praedictis terminis; &c. q. Habeat praedicta sequatio radices impossibiles, & e praecedente methodo haud generaliter investigari potest maxima radix: pendet enim ex hoc, utrum impossibilis radix major sit quam reliquae radices, necne; i. e. impossibilis vel poisibilis pars radicis impostibilis multo major sit quam reliquad radices, necne; qua inventa, i. e. data' B b b appro ima-
427쪽
approximatione ad impossibilem vel possibilem partem radicis deduci
potest approximatio ad alteram partem. In quibuscunque dati. Mquationibus superiorum dimensionum, quarum radices haud dantur, maxime Probabile est multo maiorem esse numerum impossibilium quam possibilium radicum, & conse entercatus non detegendi possibilem radicem per hanc regulam multo maiorem esse quam casus detegendi. Transformetur data inquatio in alteram, cujus radices sint reciprocae radicum data aequatione conte arum, & minima radix datae aequationis vel negativa vel assirmativa
S. Saepe approximationes ad valores radicum investigari possiunt e comparandis diversis aequationis terminis inter se, cum uvidam foemini aequationis multo majores esse supponantur quam reliqui Et consimili methodo investigari possunt approximationes ad quascunque algebraicas functiones datae aequationis radicum: per meditat invoniri Pot*st aggregatum e singulis valoribus datae funditionis, ex singulis Corum quadrati , Cubi S, quadratoquadratis quadratis ex uno quocunque valore in quadrata e singulis reliquis ductis, &c. unde per hoc Problema inveniri Potest approximatici nAvalorem vel diversos valores datae functionis; vel quod dem est semper deduci potest approximatio praedicta ex transformatione' datae
aequationis in alteram, cujus radices sunt data functio datae aeuuatio-HIS radicum. 1
P R O B. XI. anc sed methodo detegendi radices Γλί-I , in vine radices n potestatis impos bilis quantitatis a -- b- , r. Sit a multo major quam ri tum ex vulgari extractione radicis n po- teitatis semper inveniri potest radix quaesita; sit vero a sit negativa quantitaS, ducatur data quantitas -σεω -iὶ in -i, & resultat --. , I)ς. Praedictam & concessam methodos inveniantur radices
428쪽
consequitur radix quaesita. a. Sit b multo major quam a, ducatur data quantitas in -
ergo radix quaesita. a. Si vero a & b sint prope inter se aequales, tum forsan ab extra
Etione a n radicis ejus quadrati aη - b et a b ν - I) in -- 1 - 2 ab sb' - a n I); vel ab extractione radicum ex aliis .Potestatibus erui potest radix quaesita; aliter vero in hoc casu fingatur α κ si - I ) radix quaesita, A consequenter erit I - n.
batur in aequatione x - a - b -Iὶ o pro radice quaesita β - π -- - I), ubi β quantitas assumpta paululum differt aquantitate β; & ex maximis resultantis aequationis terminis, in quibus invenitur -I ), necne, seorsim nihilo aequalibus esse suppositis; resultant cluse sequationes, e quibus deduci Possunt re &-& sic deinceps.
Σα Z'' ubi litera n integrum denotat numerum; & signum quantitati et ' a assietum est assirmativum necne, Prout a n in 1 vel sequat 8 m--I, vel 8 m 7; necne; ubi m est integer numerus.
429쪽
par numerus: signum amrmativum erit assixum, cum r s ina; sin aliter negativum ; ubi s est integer numerus. P R O B. XII. Dala algebraica aequatione relationem inter x & y exprimente; inveniss gem, quam observat feries designans quantitatem y in simplicibus terminis
quantitatis X; si modo dentur leges, quam obervant quantitates fuisse generis ad quascunque potesates eleva in vel in sese ductae. Ita reducatur data algebraica aequatio relationem inter x exprimens , ut uer functio quantitatis x multo magis appropinquet ad unam quam ad ullam aliam radicem vel valorem quantitatis F; scribatur υ - π s ro F in data aequatione & sit aequatio resultans α - βυ --γυη - dva in &c. o; deinde fingatur & erit αω - βω γ δ -- &c. o, tum erit - approximatio ad radicem π, nunc per prob. I. meditationum algebraicarum infinita se
ries, quae erit summa potestatis vel potius radix infinitae pote
statis sn) e singulis radicibus, i. e. pro m scribatur I; & pro
Xum erit -F- vel - prout μ α - β γ - &c. sit par vel impar numerus: & resultantis infinitae seriei collocentur termini secundum dimens Ones quantitatis x, vel potius secundum dimensiones Per parvae quantitatis, & erit series quae exprimit unam radicem vel ValO- rem quantitatis r. Coi
430쪽
Cor. I. Ex primo, binis, ternis vel saltem ex n, qui sit numerus dimensionum datae aequationis, maximis terminis, pro approximatione ad valorem quantitatis 3 inventis semper acquiri potest quantitas πpraedicta. Cor. a. Si requiratur radix praedicta in terminis secundum legem
duci potest per hoc problema series quaesita; & sic inveniri putest radix praedicta in terminis progredientibus secundum alias leges in hoc libro traditas; aliter e terminis maximis continuo deduci possunt ap-Proximationes quaesitae.
&c. - - &c. -- i. e. sit A o aequatio, cuius radices sint α,