장음표시 사용
431쪽
Cor. I. Sit n in I, & omnes praedictae coemcientes erunt I, i. e. dividatur unitas per in & coessicientes e singulis productis α' β γ Τ, Sc.) in terminis resultantibus erunt r. 'Cor. a. Sit α maxima radix, β multo major quam quaecunque alia.& site de reliquis γ, δ, &C. , tum ita reducantur hae coessicientes, ut exterminentur omnes termini, in quibus invenitur α solummodo & tetultent termini, e quibus deduci Potest propinquus valor quantitatis β; deinde exterminentur omnes termini in quibus solummodo inveniuntur α & β, vel termini maximi in quibus inveniuntur α & Q& erui potest propinquus valor quantitatis γ; α sic deinceps et e comparandis terminis resultantibus quam plurimarum functionum datae sequationis erui possunt quam proximi valores radicum datae se uationis. ACor. 3. Eadem principia etiam applicari possunt ad aequationes ir- rationales quantitates involventes. T H E O R. XVI. I. Sit aequatio Q - - r' &c. statuatur x ρω- - &e. - ' ρ ρ Q bH - ex Θ- de
inex' &c. tum, si modo omnes radi es λελῆ&c. da aequationi. sint possibiles, tam sit permagna quantitas, erit ' - ίαὶ
432쪽
maximae radici datae aequationis quam proxime: maximam radicem volo vel assirmativam vel negativam. b d -- δ' ad ιὸ erit quam proxime β) maxima radix ex omnibus reliquis praeter praedictam α.3. Si vero numerator haud sit unitas, sed quantitas bx' - in &c. i. e. statuatur bx ' -- Pp
inveniri possunt proximi valores radicum α & β, &c. . Si vero maxima assirmativa & negativa radix sint quam proxime inter se aequales; in quo casu sit n-m par numerus, & erit γ vel maxima radix α) datae aequationis prope; & ma
omnes radices sint possibiles. Et ex iisdem principiis ulterius promotis quam plurimae aliae regulae pro his inveniendis, etiamque consimiles regulae pro reliquis radicibus inveniendis deduci possunt. . A6. Sit fractio ad minimos terminos reducta, ubi B sit rati natis functio quantitatis x, C vero irrationalis nullum habens ratio natem factorem; reducatur fractios P in simplicea terminos secuniadum dimensiones quantitatis x progredientes, viz. βα -
433쪽
maxima radix aequationis B NC o Prope: secunda radix, quae minor erit quam praedicta, major vero quam singulae reliquae, erit
γ&c. prope; vel per singulas regulas prius traditas deduci potest. Et sic de reliquis radicibus detegendis..Haec principia ulterius etiam promovere liceat. Si vero impossibiles radices - ) in data sequatione con-aineantur, hae regulae semper detegent radicem quaesitam α vel β, cum radix qua ita major sit quam 'r - ρ νοὶ . . Ex hac methodo saepe constabit approximatio ad mmimam 1mpossibilem radicem; dc ex his regulis plerumque deduci possunt approximationes vel ad maximas possibiles vel impossibiles radices. P R O B. XIII. Data alebraica aequatione χ' - PP -- qX' '-r - &c. M o, invenire ejus radicis α) valorem. Assumatur a quantitas ab radice α datae aequationis parum discrepans; pro radice x datae aequationis scribatur a b, & resultat aequatio x'-p g x' ' - &c. - Ο a' -ρ g - &c. ua' - u - I pa u--2ὶ qa - &c.ὶb u. -- a
434쪽
in resultante sequatione pro quantitate b scribatur π -- c, &Per eandem methodum repetitam inveniatur valor quantitatis cprope; & sic deinceps.
a. Eaedem omnino erunt approximationes inventae, si modo in data aequatione I ' ut in praecedente casu scribatur a in b pro X, deinde Per praedictam methodum inveniatur re valor quantitatis bPrope; tum in data sequatione pro x scribatur a-π- & per methodum Prius traditam inveniatur ρ valor quantitatis c prope; deinde scribatur in data aequatione pro x quantitas a χ' - ρ - d& per praedictam methodum inveniatur σ Valor quantitatis d prope; & sic deinceps. Hinc valor incognitae quantitatis x per
num a ValoreS QVantitatum re, ρ, σ, τ, &c. Per Praecedentem methodum,
435쪽
η. Sit resultans aequatio eadem ac in praecedente exemplo P -- β -- R e' -- Ses &c. o, abjiciantur omnes termini ob par-Vitatem eorum, in quibus inveniuntur plures quam duae dimensiones quantitatis e, & resultat aequatio P in v Rey - o, unde e
Et similiter abjiciantur omnes Praeter terminos, in quibus inveniauntur plures quam tres Vel quatuor dimensiones, &c. ex aequatione resultante inveniatur valor quantitatis e, & invenitur plerumque propior approximatio ad valorem quantitatis e. Cor. . Data algebraica aequatione x -s gQ ' - &c. - o, cujus radices sint respective β, γ, δ, &c. i. e. sit α minor quam si, β quam γ, &c. sint etiam radices aequationis nx' ' - n- I)ρχη-a sn a) Τ x' ' - &C. respectiVe π, p, ιτ, τ, &c. tum cognitum estre, ρ, σ, τ, &c. limites este, inter quos consistunt datae aequationis radi
Asium antur vel π vel ρ vel σ vel τ, &c. tanquam approximatio ad datae sequationis radicem x, scribatur in data aequatione pro x ejus valor assumptus π & per methodum prius traditam invenietur ejus
apprOXimati &e.λ βς quoniam dir est radix aequationis n οτ' ' - n - Ι) p οτ' ' - &c. erit approximatio inventa quantitas infinita, & consequenter series ex hac methodo resultans infinite divergit; ergo convergentia seriei praedictae haud pendet e ratione, quam habet quantitas assumpta pro radice α ad radicem ipsan u sed ex hoc, quod quantitas assumpta pro radice multo propior sit ad radicem quaesitam, quam ad ullam aliam datae aequationis radicem.
436쪽
dic. : ElmU Rc. --blim&c. --bim &c. &c. P . a. Si vero quantitas assumpta multo propior sit ad duas radices es AH datae sequationis quam ad reliquas, i. e. si duae radices trans imatae aequationis, quae sit υ . . . TU -- S--F- R UR et V P o, sint multo minores quam reliquae; tum radices aequationis Q - - o erunt quam proxime illae radices quaesitae; si Vero tres, tum
. . R Q. Pradices aequationὶSvi 'SUR SV 's eruiri quam Proxime C c c a radices
437쪽
radices quaestae; & sic deinceps. Et facile methodo consimili, i. e. pro eoessicientibus P, Q R, S, &c. scribendo earum valores in terminis radicum α, β, γ,&c. inveniri possunt rationes, quas habent radices inventae per has regulas ad veras radices quaesitas. Ab extractione radicum constare possunt limites quantitatis assumendae pro prima approximatione, ita ut series convergat; sed aeque has approximationes ac datae aequationis radices investigare difficile est.
b, 2, L m, n, o, &c.) quot dimensiones abscisiae x inveniuntur in data sequatione, & sint is, e g, d , c s, bi, &c. ejus sn) ordinatae, quae respective sint maximae; tum A b, At, ALAm, An, A o, &c. erunt
assumatur quantitas A a a Pro quantitate approximante ad radicem Am, scribatur a or pro radice x in data sequatione, &per regulam prius traditam invenietur approXimatio π prope -
il si Lqq ς' i unde approximatio inventa erit ad radicem
438쪽
ergo ultimo diversae approximationes per hanc methodum invent ,
Videntur elie prope 'η , B G, B si i s η B3 'Sc. i. e. prope quantitates in geometrica progressione, quamvis non revera sunt; nam praedicta ratio A: B ultimo erit ratio aequalitatis. Sint vero duo successivi termini seriei respective r & s, dc erit shmma seriei geometricae ; haec ver methodus haud in ultima approximatione tam celeriter conVerget, quam praecedens: si assiimatur series terminorum, quorum denominatores secundum potestates quantitatis r - s progrediuntur, resultabit series in quibusdam casibus celeriter conVergens. Si vero impossibiles radices in data aequatione contineantur, tum saepe regula supra tradita approximationes magis convergentes deducet. . Data sequatione x - p x' ' - Τ χ' ' - &c. o, cujus radicessuit respessive α, β, γ, λ &c. i. e. sint α major quam β, β quam γὰ&c. pro x scribatur a -- π, ubi a major est quam maxima radix
a-αὶ κ ii 3ὶ κ a κ &c.- a-βὶ κ a γ) κ a-i ) κ dcc.-ε- &c quicunque autem sit Valor quantitatis sempei approximabit Ialon ad sinetulas datae aequationis radice , i. e. G π propror erit ad singulas datae aequationis radices quam re sic deinceps; approximatio inventa erit ad radicem quaesiitam vel In ratione Ι : n Vel HL majore ratione. Eadem etiam a rmari possunt de quantit te σ, quae minor est quam minima radix. Si vero impossibiles radices in data sequatione contineantur, tum haud dici potest, annon ulla quantitas assumpta majOI quam maxima vel minor quam minima radix, semper ad radicem maximam vel minimam approPinquabit.
439쪽
1. Sit sequatio x-- ρὶ o, cuius omnes radices sint aequales; assumatur a pro Prima appro imatione, scribatur a in re pro x in data sequatione, & erit prima approximatio is prope in 'ρ L
- --; ergo, si modo λ sit vera distantia quantitatis a assumptaea radice quaesita, erunt-- λ distantia secundae approximationis a Vera radice, λ distantia tertiae a vera radice, ' λ distantia quartae, & sc deinceps. a. In quacunque sequatione algebraica x' - l x &c. - osint m radices Prope inter se & quantitati a sequales; & e substitutione a -- π pro incognita quantitate x in data algebraica aequatione, ubi a sit α prope, resultabit sequatio P em -- Ε Ο SH- &c. o; si vero assumatur m - I Primorum hujusce aequationis terminosum summa nihilo sequalis, i. e. P ἡ- Q -- Rπη . . . His se o, tum m radices aequationis erunt Prope m radices aequationis P -- em R πη &c. o, quae supponuntur inter se prope aequaleS.
In hoc casu plerumque haud detegi potest approximatio e supponendo summam duarum vel trium vel qUatuor, &c. . . . Vel m termiis norum nihilo aequalem, i. e. vel P -- o vel P -- 2 o, &c. ad m terminos. s. Sit aequatio P - R ey- &c. o, cujus radices sint α, β, γ,
440쪽
gatum e singulis quantitatibus praedicti generis. Signum assixum miserit assirmativum vel negativum, Prout m - I est Par Vel impar nu
6. Sit sequatio o t - sz-rz' - qz3 p . . . Iz et i et i et hΣ ' diu &c., in qua una radix α sit perparva respectu habito ad reliquas ; dc constat, quodsi aequatio o S P, i. e. z praebeat valorem quantitatis α ad numerum π figurarum verum; tum ultimo resolutio aequationis ο - t - set r zy - ρ za . . . Iz' Praebebit valorem praedictae radicis α usque ad numerum m X r figurarum verum. 7. Sit aequatio o - t - set in ret* - Τza . . . Iz' - ha - &c., ducatur haec aequatio in o M a - bz -- c z- - dZ3. . .fr