장음표시 사용
441쪽
rumque, si - sit Valor quantitatis z ad is figuras verus, ultimo erit gvalor praedictae quantitatis z msque ad m mox figuras verus; aqq eva dat sequatio formulae o T - Sz Rzη - et z3. . . L. Q Kz Φ -- &c. ita vero constituta, ut innotescant radices aequationis resutitantis ex hypothesi quod m-- i) primi termini praedictae sequationis
nihilo fiant aequales, i. e. o - T - Sz-- RQη - A . . . L r; tum, si I sit valor quantitatis z ad re figuras verus, erit ultimo radix hujusce aequationis valor praedictae radicis ad m κ π figuras verus. Eadem principia etiam ad sequationes, in quibus duae vel plures continentur incognitae quantitates, applicati possunt. . Sit aequatio f- ρΙ -Τγ' --&c. cujus Una radix α Tmilto major sit quam quaecunque alia; & si requiratur series, quae secundum quantitates e,fg, &c. reciproce Progrediatur; scribatur ' -- vel a pro di in data aequatione, ubi a est α prope, laresultet aequatio e' - P e' &c. - ολ in hac aequatione
pro e scribatur P ii, & resultat aequatios' - PT' ' -- &c. - ν; deinde in hac aequatione pro f scribatur P H- & sic deinceps;
seriei in theor. s. medit, algebr. tradita facile constabit. Cor. I. Approximationes ex hac methodo inventae mutatis muta dis eaedem crunt ac approximationes prius deductae. Cor. a. Si vero duae radices sint respective multo majores quam reliquae, tum e tribus primis terminis nihilo sequalibus esse suppositis vig. . Quatione γ* -pγ --ο-s constabit approximatio ad utram-
442쪽
que radicem. Et sic de continuis approximationibus ad plures maiores radices inveniendis. Ex approximationibus ad duas vel plures maiores radices datis, &princip. subc facile deduci possunt aliae ad praedictas radices magis appropinquantes. 8. Haec principia etiam ad aequationem duas vel plures variabiles
proximationes per eandem methodum inventae sint respective m, η, o,&c. & tandem inveniatur approximatio αα - l- m- n - Ο - &c. tum series constans e diversis approximationibus nec convergens nec
divergens dici potest. Et consimilia etiam ad sequationes diversi generis, & plures aequationes plures incognitas quantitates habentes applicari possunt.
9. Sit data aequatio . . t x προ- &c. o, assumatur a Pro approximatione ad minimam radicem, scribatur a α v Prox in data aequatione & resultet aequatio v - P υ . . T
&c. - o ubi T diversum habeat signum a quantitate I, & n haud in tum plerumque quantitates inventae haud accedent ad minita
16. terminorum datae aequationis signa semel solummodo vel progrediantur de in in vel - in i vel mutabuntur de in Vel ' in ε; tum assumatur quaecunque negat IVa quantitas In uno casu, astarmativa vero in altero, major vero quam negatὶVa Vel assi maliVa radix, pro approximatione ad radicem PrPediciam, semper convergent approximationes per praedictam methodum inventae.
443쪽
Veniantur successivae approximationes, & approximatio ad n- I di
-- &C. ubi θ Cor. I. Hinc constat, quod hae approximationes ultimo convergent in rationibus fractionis inter se, & consequenter aPProximationes sic inventae ultimo vergent in ratione maiori quam quavis geometrica progressione, idem etiam de apprOXimationibus sequationum superiorum ordinum vel quorumcunque diversorum generum vel plurium aequationum, &c. sic inventis assirmari potest. Cor. 2. Sit aequatio x' - p x' qx' ' - -h &c. - o, cujus radices sint ιι, β, γ, &c. ιν ι ubi ir est radix quaesita, fingantur
β γ δ ' αβ αγ β γ αβγ I &c. αα R, in M. - &c. in quibus quantitatibus haud continetur radix & prima approximatio per praedictam
444쪽
Sit dua in7zet iis P -m l x ' - k x' ' d x3 - c xz --a in O, G datis propinquis valoribus ad unam Vel duas vel plureseditis radices, invenire valores ad praedictas radices magis appropinquantes. I. Sit is quantitas ab una solummodo radice haud longe di stans, Scscribatur x ' - P x' ' -- α x y. . . S x3 - Txy Vae in IVP κ
respectu habito ad β, ergo ultimo erit β' - m β' l β' ' - &c. - n β' -- H m 2' --0r - α) la Τ-- &c.) R exinde constat approximatio aliter vero ab ultimis terminis incipiendum est,& facile ad eandem conclusiionem pervenire liceat. et Sint a, b, c, d, &c. approximationes ad r radices datae aequatio nis α' m x lx' ' - &c. o, invenire alias ad r radices mag
445쪽
aequationes totidem incognitas quantitates α, j3, γ, dcc. habentes. equibus inveniri possimi praedictae quantitates.
π -- &c.ὶ χ' - - dcc. o, dicantur summa e singulis quantitatibus
Cor. i. E principiis prius traditis constabit, Ut quantitates hae methodo inventae eo magis approximent, quo minus distant approximationes datae ab una radice quam ab reliquis; si vero una appro-2imatio data minus distet a duabus radicibus quam a reliquis, tum ad investigandam quantitatem magi. adhuc appropinquantem utendum est quadratica aequatione; & sic deinceps. Cor. a. Rationes, quibuscum vergunt ad radices quaesitas approximationes inventae, facile deduci positant scribendo pro singulis quantitatibus ἶn approximationibus praedictis contentis earum sumstiones datae aequationia radicum. Omnia
446쪽
omnia haec etiam ad aequationes, quae haud sunt algebraic , applicari possunt. P R O B. XIX.
Sit quaecunque aequatio a m o, ubi litera A designat quamcunque functionem quantitatis πελ fingatur x variabiliS, x Vero constans, &inveniatur-- q, s - η, &c. dptur Pr Pinquus valor quantitatis x in data aequatione, qui dicatur si, scribatur a pro x inquantitatibus A, p, 7,r,s, &c. M pro quantitatibus resultantibus scribantur P, Q R, S, T, &c. respective; deinde affamatur aequatio
P - -- Re' - T 'Se - -&c. in infinitum m 'ser;batur etiam a - pro x in data aequatione A o, & resultet aequatio A se st, cujus radix e eadem erit ac ea in aequatione P - ο- R -&c.' o contenta; nunc fingatur P - Q o, & sit αradix aequationis A - δε quae sit perparo, & aequationis P S, - οradix exprimetur per seriem subsequentia formulx, i. e. e T α--m αἶ - &c. nunc assumatur P - RH e, & sic exprimetur valor ejus radicis e - α -- m M &C. M universaliter assumatur aggregatum m terminortam Praecedentis aequationis P --- S e3 lac e o, & Per seriem hujusce formulae e - α -
Cor. . Si duae datae sequationis radices sint Prope inter se & quan titati a aequales, tum assumatur P - -- Rey - ο, & inveniatur Dropior valor quantitatis & sic ex aggregato m terminorum P -
&c. - ο nihilo aequali assumpto, deduci potest propior
447쪽
valor quantitatiS e, Cum m radices datae sequationis sind prope inter se & datae quantitati a aequaleS.
Omnes termini vel nullius & unius; vel nullius, unius & duarum ;Sc. mensio in contineantur in singulis duobus aggregatis, quM riihilo fiant aequalia, & de convergentia approximationum ad quan titateS
448쪽
stales et & v ex his sequationibus inventarum dijudicare liceat etheor. praeced. & medit. algebr. 3. Si vero fi & l multo magis approximent ad duas correspondentes radices incognitarum quantitatum x respective quam ad ullas alias, dc pro x & a substituantur respective z- & v - I in datis aequationibus, &e constitutione coefficientium colligi positant vel P H-Δz EU Prope o &Π- Ρα - Συ) Tn' Uzυ - Φω)Prope o , vel Π Pn - Συ Prope o, & Γ- Δz Ev) E Hzυ - Θυφ) prope o; e quibus aequationibus inveniri possunt approximationes ad et & C: & sic progredi licet, cum & I ad tres vel Plures correspondentes incognitarum quantitatum radices multo magis approximent quam ad reliquas. . Sint duae aequationes, duas incognitas quantitates x & y habentes; pro x &γ in datis aequationibus scribantur respective 5 -- e & m -- o,& resultent aequationes A in B e - Co D-o & P RO - S o, ubi literae D & S in singulis terminis plures habent dimeniasiones perparvarum quantitatum e & y quam unam; & P, A. B dc C, habent vero nullas; tum approXimationes ad quantitates e dc o per methodum hic traditam inventae erunt respective e se
RA, & e FD; si vero CA RB, tum approximationes sic inventae erunt infinitae. Hinc sint duae datae aequationes α - ο & π o, ubi α & π sunt functiones quantitatum x &MI inveniantur earum fluxiones, viz. α'
ox in br & π lx in 73; assumantur duae sequationes ah in imis ο&sb - qm ο, & ex iis inveniantur quantitatum x &I valores b& m) qui erunt limites inter valores quantitatum x & γ in datispequationibus contenti, scribantur h -- e & m -- o respective Pro x & vin datis sequationibus, & approximationes per methodum prius traditam inventae erunt valde magnae; ni duo Valore. quantitatum es&3 in datis sequationibus contenti sint respective b & m prope. Et sic de limitibus inventis ex fingendo u o & ρ - o, &c. THEOR.
449쪽
Sint duae vel plures n invariabiles quantitates s x, F, z, &c. sequatione contentae, quarum sint c, b, c. &e. respectivi valores prope: scribantur a - - α b-β, e - γ, &e. pro earum respectivis valoribus in data aequatione; & resultet aequatio a B de in C β Dγ M. H K o, ubi A, B, C, D, &c. denotant quantitates in resultante aequatione contentas, in quibus haud continetur inel si vel se vel &o. K, K , K dcc. vero sint quantitateK in quarum singulis terminis con
quantitates B, C, D, &c. habentes, e quibus detegi positat quantitates ipsar B, C, D, &c.
a. Si vero duo sint valores quantitatis x prope inter se & valori a aequales, qui correspondent uni valori b, c, d, &c.) e singulis reliquis variabilibus quantitatibus; tum haec erit formula aequationis quίe-1itae, Vi Z. P π ρ π -- r ρ s σ-t τ &c. - πρ Vror dcc. A M. . , ubi a -- π, b - ρ, c - ο , Z-F' τ, dcc. sunt correspondentes valores e singulis variabilibus z, 6 C. in data aequatione contentis.
P, P, P q, r, s, A &c. L H, &c. A sunt coessicientes quaesitae: si vero duo sint valores quantitatum X &I prope inter se &quantitatibus a & b res nective aequales, qui correspondent uni valori c, d, &c.) e singuli. reliquis sz, v, &c.) tum erit formula aequationis quoestae
450쪽
Exhinc constat formula aequationis, in qua plures valores plurium variabilium quantitatum sint prope inter se aequales. Ea, quae hic tradita fuerunt, facile ad plures aequationes plurea variabiles quantitates habentes applicari possunt. Convergentiae harum aequationum ex principiis prius traditis dijudicandae sunt. P R O B. XV. Datis in itis aequationibus duas vel plures incognitas quantitates habentibus, invenire unam ex iis in terminis reliquarum. Primo ita transformetur data aequatio, ut incognitae quantitates in ea contentae evadant Perparvae; si requiratur series secundum dimensiones praedictarum quantitatum ascendens: sin requiratur descendens secundum dimensiones quarundam quantitatum; tum ita transformetur data sequatio, ut evadant quantitates permagnae; & perfici potest hoc problema ex iisdem principiis, quae tradita fuere de finitis aequationibus. Si prima approximatio incognitae quantitatis v, cujus infiniti in
nire t in terminis quantitatis a; astu matur I e Pi Ope & a Perparx aquantitas, scribatur e p pro I, & resultat I e ' --