장음표시 사용
461쪽
&c., cujus fluens erit arcus hyperbolae vel ellipseos. Ex. I a. Sit fluxio ED ubi ς sit PQ rva quantitas; tum
Hine e principiis prius traditis, si duae fluxiones haud multum vel In variabilibus vel invariabilibus quantitatibus iis contentis later
462쪽
tiones, in quibus quantitates vel variabiles vel invariabiles paululum distent a quantitatibus correspondentibus in datis aequationibus; datae enim aequati es praebent primas approximationes; in aequati Omnibus supra dictis ex primis vero approximationibus inventis facile per principia prius tradita erui possunt approximationes propioreS;& sic deinceps. T H E O R. XXIII.
α--β--γ riabiles quantitates habentes, ad fluxionales, incrementiales,' &c- sequationes applicari potest. PROBO XVIII. Data quantitate π, ἡπ quacfrtinen ur quaecuta inviariabiles Pa tira es,, b, c, d, Uc.; invenire ejus valorem, cum a nihilo evadat aequaris. Ita reducatur data quantitas π, ut nec denominator nec numerator habeat denominatorem, bc consequenter in quantitatu resultatate ρhaud, contineatur nestativa potestas vel radix : in qGantitata. ρ pno lascribatur a - αι & reducantur & numerator Rideri minator in id s. series secundum dimensiones quantitatis N progrediςntea, quae sint respective sto' -- &c. &j ο -Φ- Eo' -- &c.; tum si λ major sit
quam L, erit π o; si λ - λ , erit π ; si autem x minor sit quam x , tum erit π infinita quantitas. Aliter:
463쪽
Ex data aequatione F - π, ubi Fest quantitais assumpta haud inquantitate α contentat λnVeniatur valor quantitatis a se deinde exaequatione σ - o inveniatur Valor quantitatiS 3 - τ, & r e rit uuanti ias quaesita. HEt sic inveniri potest valor quantitatis cum plures quantitates G, O, c, Sc. nant nihilo aequales.
I. Summa vel differentia quarumcunque duarum vel Plurium inlinitarum serierum convergentium, vel earum functio rationalis & integrali S, erit etiam convergens series. a. Suit duae diversae series regu aliter divergentes subsequentis vero sol malae a -- in ' &c. in infinitum, tum plerumque erit earum summa vel differentia, Sec. series divergens; facile constant e differentiis inter correspondentes terminos duarum serierum per principia prius tradita casus, in quibus series convergit. s. Summa vel differentia duarum serierum Infinitarum, quarum una est divergens, altera Vero convergens, semper erit divergens
. Ducantur duae convergentes series in sese, & semper resultabit serieS convergen S, ut prius asseritur. s. Jufatur divergens seriel in convergentem, & aequatio resultans potest esse vel divergens vel convergens; Potest esse Convergens, cum summa seriei convergentis in divergentem ductae nihilo sit aequalis. 6. Ducatur divergens series in divergentem, & aequatio resultans potest esse vel divergens vel converge . . Dividatur vel convergens vel divergen series Per convergentem vel divergentem, & series resultans Potin Vise vel divergens vel con vergens; dividatur convergens seriς Pζr alteram nihilo aequalem Asuries resultans erit divergens; sin aliter non.
464쪽
i. Sit quantitas adiis x ', ubi m haud sit assii mativus numerus,
in infinitum)ὶ - οι ubi l iterae A, B, C, . . . H MI; etiamque P,&c. praecedentes terminos respective denotant, & 2 et major est quam χα; Ultimo convergit. Sit m negativa quantitas, & series ultimo diverget.
I. . Series sa -- x a -- m ax x in &c. converget, cum ni sit assii mativa vel negativa & minor quam I & ω a. a. Sit m vel quantitas assirmativa vel negativa & minor quam 2; tum
465쪽
converget, cum m sit assirmativa quantitas, Vel negativa & minor quam - I : sit x M a, & series s x in a)'x ax - ὰ a'x' ' - &c. converget, cum m vel sit assirmativa vel negativa laminor quam 2.ΤHEOR. XXVI.
Sit quaecunque xationalis nuxio i inve
niatur ejus fluens in serie secundum dimensiones quantitatis x progredi te, quae sit Ax - BQ - Cx' - &c. Sint vero QR γ, δ, &α
saccessivae radices sequationis α' ---px' ' - - &C. O, i. C.
α minor sit quam β, β quam γ, &c. Per regulaS Prius traditas inve-Dδ' Wy x ' ω - &e. - - - ω ' β Q- redu cantur hae fluxiones in series secundum dimensiones quantitatis a progredientes, quarum inveniantur fluentes & constat e prίecedentibus, quod series exinde orta Ax in B xy - Cx' &c. haud converget, ni x Inter in α & - α, inter si & - β, inter γ & - γ, &c. intel ponatur; vel x -- α, cum plures valores quantitatis x sint α, tum in quibusdam casibus prius traditis converget series; ergo necesse est ut duo valores-& ρ quantitatis A , inter quos requiratur fluens, inter H- α &-α, - β & - β, --γ & - γ, &c. interponerentur, vel x - - α in quibusdam casibus; aliter series erit divergens.
466쪽
2. Nunc transformetur data fluxio, ita ut ejus fluens ab quoqunque alio valore c quantitatis x inter γ dc δ duas proxime successivas radiceS Posito incipiat, i. e. scribatur E in e pro x in data fluxione; &constat, quod si unus valor e quantitatis x inter radices quascunque γ & interponatur, de sit differentia d inter γ & c minor quam differentia inter e & λ.& si modo transformetur data fluxio-- - , ita ut fluens incipiat a punctoc, i. e. in data fluxione
pro es & x scribantur z c & π, nuXioni. p -- - &e resultantis fluentem inter duos valores f & g, qui inter duos valores γ - c & c - γ quantitatis et respective continentur per seriem con- Vergentem an b χη - c z' -- &c. exprimi posse; vel quod idem est fluentem fluxionis in I I p. g , quae inter duos Valores cratas θύc raz g quantitatis x continetur, per differentiam inter duas convergentes series U- - - σ) in & ag bs' i cg' -- &c. cxprimi. a. Si vero tum quaecunque siuena si XiQRiβ P-φων-
inter duos valores γ & δ quantitatis x e praedicta serie az -- δαῆ - ΟΣΤ &c. investigari potest. Hinc ex eadem serie az - θαη - - - &c. per praecedentem methodum derivata haud deduci potest fluens fluvionis inter duos valores π & ρ quantitatis x con-1IUXIVI id esst. ρα ' in &c
t*nta, ni re & ρ inter duas sibi ipsis proximas radices quantitatis x
467쪽
proximas positi; scribatur z - π pro x in data sequatione
LE - 2Uz &c. quae conVerget, cum Z minor sit quam λ &μείν, &c. sin major sit quam λ vel μ vel ν, &e.; tum semper diverget: nunc fingatur major quam a, minor vero quam & quantitates π &b--π inter minimam affirmativam radicem λ - α - π& minimam negativam μ - π - β positae, tum haec series Η - LΣ - MER &c quae invenit aream inter duos valores a & b quantitatis x, maxime
celeriter converget, cum π '- a & b - π respective. ut prius docetur; & exinde z-π
, T U) &e &c. is Per hanc methodum de ducta haud satis celeriter convergat, tum interpolandi sunt plures ntermini. Invenire autem tales Valores quantitatis et, ut series per hanc methodum deductae maxime celeriter convergant, pro x scribantur successive n quantitates z --z - ρ, Z - r, Z - τ, &c. & di ferentiae quantitatum ori ρ, ιδε τ, &α & radicis α. si modo hae dissementiae inter α & or, α & ρ, &c. sint respective minores quam respectivae disserentiae inter quantitates π, ρ, &c. & β) erunt in geometrica progressione; si vero differentiae inter reliquas quantitates ir, G &c. & βsint minores quam differentiae praedictae inter α & ir, γ, &c. respective, rum disserentiae praedictae inter β oc σ, τ, &c. erunt respective in eadem geometrica progressione.
6. Convergentiae duarum serierum x - --6cc. αα
468쪽
s ; erunt inter se aequales, cum b. FIG. ol. 7. In praedictis seriebus interpolandis, ut series evadant maxime convergentes, necesse est series praedictas successivas aequaliter convergere : sint tres successivae radices β & γ respective A α, Aβ &Aγι & requiratur fluens inter Praedictos valores a & b contenta, qui1 ' inter puncta α & β interjaceant: transformetur abscisia x, quae incipit a puncto A, ita ut incipiat a punctis π, ρ, ir, τ, &C., & inveniantur fluentes inter puncta.& π, π&c; c & ρ, ρ ochd & cr, e & e ; &c., tum ut convergentiae evadant inter se aequales, cum puncta a & bmulto propius ad punctum β quam ad punctum α accedant, erunt πώ πc ρ e ρd Or d ere re
πβ π β ρς ρ Π σψ σβ τ racp - ριι ird ire, &e.; etiamque β π, βρ, lair, &e. erunt quantitates in geometrica progressione; & sic deinceps. Sit B ultimum punctum divisionis, i. e. punctum divisionis, cum abscissa incipiat a puncto β; tum erit Praedicta quotiens se &c. -- vel prout γιὸ minor sit quam αιῖ, necne: in hoc casu pun-γβ αμctum β inter puncta a&b ponitur. Si autem re propius sit ad punctum α quam ad punctum β, & ν
propius ad punctum β quam ad punctum α; tum erit -
469쪽
J e. O Aes 'BX ' -- &c. reducatur ad terminos secundum reciprocas dimensiones quantitatis x progredientes, tum series erit convergens, si modo x sit major quam maxima radix vel assirmativa vel
negativa α, β, γ, A &c.); aliter non. 9. Si vero quaecunque radices sint impossibiles, e . g. sit α - ed γ - i), tum si in serie cujus termini secundum reciprocas dimensiones quantitatis x progrediuntur, x semper major sit quam ulla possibilis radix, & quam c--d & c- d; vel magis generaliter si x' infinite major sit quam sc in do - sc - d ί-i cum n sit
infinita quantitas), dc x major quam quaecunque possibilis radix, tum series exinde ortae erunt ConVergentes: si Vero in seriebus, quarum termini secundum dimensiones quantitatis X ascendunt, quantitas xst minor quanae quaecunque possibilia radix etiamque quam o -- d &
sunt convergentes; vel magis generaliter si in ascendente serie x
semper infinite minor sit quam eum n sit quantitas infinite magna, &c., dc x minor quam quaecunque possibilis radix, tum series resultans semper converget. t o. Si vero quantitas reducenda ad terminos progredientes secundum dimensiones quantitatis x sit quaecunque algebraica irrationalis fra Go; fingantur irrationales quantitates respective & denominator nihilo sequales, & inveniantur radices aequationum exinde resultantium,& si valor quantitatis x major sit quam quaecunque possibilis vel imposias bilis radix aequationum resultantium, i. e. quam diVisor cujuscunque irrationalis quantitatis, &c. tum descendena series semper converget; si vero valores a & Λ quantitati. X inter duas proximas radices vel di-Visores praedictos ponantur, tum per praecedentem transformationem inveniri possunt duae ascendentes series, quae inveniunt fluentem datae quantitatis in A ductae inter praedictos valores a & b quantitatis x contentam, di quae semper convessient.
470쪽
Et sic per transformationem prius traditam interpolari possimi inter duos valores a & b quantitatis x quicunque alii, qui praebeant series magis celeriter convergentes, e quibus consequitur fluens quaesita. Infinitae sunt aliae transformationes, quae series magis conVergentea praebeant. Consimilia iis, quae in hoc loco & in prob. praeced. traduntur, ad series secundum legem in prob. praeced. traditam, & infinitas alias facile applicari possunt; earum convergentiae enim ex iisdem principiis dijudicandae sunt. II. Series secundum reciprocas potestates quantitatis x magis frequenter convergent, quam series secundum directas potestates progredientes, e. g. reciprocae series ex algebraicis quantitatibus prius deductae semper convergunt, cum x sit major quam maxima astirmativa& negativa radix, i. e. quam ullus divisor datae quantitatis, usque ad ejus infinitam magnitudinem.
Hinc ad detegendam finitam fluentem fluxionis
a fid diversae series, quae e radicibus sx) aequationis x'-px ' - - y x R- &c. - o datis facile acquiri possunt. In hoc casu ita transformetur data fluxio, ut fluentes a praedictis radicibus γ, &c. incipiant, vel ab iis terminentur. .
I 3 --, ubi u ssit integer numerus, cujus fluens sit series ax b x cx &e. terminorum secundum dimensiones quantitatis x progredientium, re si quantitate;
habeant communem divisorem; tum omnia, quV prius de serie, fluentem fluxionis dicta fue