장음표시 사용
471쪽
rint, aeque ad szriem Pr. dictam σπ -- bx' -- e U -- M. applicari possunt.14 . Sit fluxio a --cx -- dxa.. x' 'κ AB A -- CD &c. 3k es. ubi m haud sit integer assirmativus numerus, & quantitates a --b x H- c xy H- dx3 . . x o, & A -b- B x H- Cx' - - &c. - o nullas habeant radices inter se aequales: sint radices datae quantitatis a -- bx-- c xy .. x' o respeetive α, β, γ, δ, &c. fluens vero datae fluxionis per seriem P -- -- Rα - - &c. secundum dimensiones quanti . talis x progredientem exprimatur; tum haec series semper invenietur convergens, cum x minor sit quam α dc si & γ, &c. si vero major sit, quam α; vel si vel γ, icc. tum divergit series.ls. Si vero scribantur z e & χ Pro x & x in data fluxione, & in .eniatur series secundum dimensiones quantitatis et progrediens, viz. P Δ'' -- &c. quae sit fluens resultantis fluxionis; in hac serie pro a substituantur duo diversi valores π & ρ quantitatis z, quibus correspondent duo valores π -- e & ρ -- e quantitatis x, & si hi duo valores π e & ρ -- e etiamque e inter duaa Proxime successivas, e. g.
, &'praediistae aequationis radicea Ponantur; & π & ρ minores sunt quam 2M e - γ) vel Ga e - δ), tum convergentes erunt duae series
16. Hinc etiam ad detegendam finitam fluentem fluxionis sa -- θω-- cxὴ - - &c.) κ A - B x -- &c.ὶ x inter duos quoscunque quantitatis x valores contentam per praecedentem methodum requiruntur saltem an diversae series, quae e radicibus aequationis a -- θα - cx -- dx3 -- &c. .. x o datis facile deduci possunt; n-Ha enim requi
472쪽
M e fluxione resultante inveniatur series secundum dimensiones quantitatis et progrediens, quae sit Par - - Elzo -- &c. in hac serie pro zscribantur duo valores Τ & υ, quibus correspondent duo valores Τ-e& v-e quantitatis x: si duo valores Τ -- e & υ -- e constituantur inter duos proxime successivos valores λ & μ radicum α, Q γ, &c-
st b, tum ex et ν diversis seriebus Proprie institutis praedicti generis datis, quae incipiunt a respectivis radicibus α, β, γ, &c. vel ad eas terminantur, acquiri potest fluens datae fluxionis inter quoscunque duos φ & χ quantitatis x valores contenta, ni fluens praedicta sit infinite magna. Cum T e vel U e aequalis sit valori radicum praedictarum, tum e principiis prius traditis in omnibus praecedentibus casi-hus erui potest, utrum series resultans sit convergens, necne. Sed hic animadvertendum est quod si in omnibus praecedentibus casibus valor quantitatis x assumptus superet maximam radicem praeia dictarum sequationum, tum recurrendum est ad seriem secundum reciprocas potestates quantitatis x progredientem, & semper converget
series. In plerisque casibus Praestat Per methodum Prius traditam plures series assumere, quae correspondent pluribus valoribus quantitatis x
1 . Si vero impossibiles radices in praedictis aequationibus continean
tur, quae sint respective x H- a - - b ), S si modo dici possit cum converget series Ax - - Bx' -- Cx - - &c. x* - - ax-- ὰa . ba quod semper evadet ut prius dicitur in seriebus secundum dimensiones quantitatis x progredientibus, cum a -b ma jor sit quam x; in seriebus autem secundum reciprocas ejus dimen siones progredientibus, cum x major sit quam si in b, tum etiam dici potest,
473쪽
potest, cum fluent . nu tonum prius traditarum etiam convergent; &
in finita quantitas, infinite minor sit quam x , tum converget reciproca series praedicta; si x ' infinite minor sit quam γ' δ
'li) ., tum asce lens series semper conVerget ; cum autem maiores sint hae quantitates, tum semper divergunt series praedictae. Io. Sit fluxio P κ α 'κ Rae, cujus fluens requiritur, ubi literie P, Q& R designant quascunque algebraicas functiones literie x' nullos ditavisores communes habentes, r & ni fractiones quascunque; asiumatur P-r κ α - κ A -Φ- B x' --- CH in D xy' - - &c.) pro fluente quaesita, & si haec series A in B x' -- C x'' -- D xy' H- &c. in infinitum progrediatur, tum haec series semper converget, cum series ad simplices terminos ex divisione, extractione radictam, &C. reducta Convergat. at . Sit irrationalis quantitas dia Plicis formulaz a -kb x--c AR &c.
---gx' - &c. y P; Ubi n& sunt fractionales vel negativi indices; reducatur haec series ad terminos secundum dimen sones quantitatis x progredientes, vi g. Ax -- Bx '' -- &c.: sint di, β δ, &c. radices aequationis e fx gX' - &C. se, qVarum αminor sit quam β, β quam γ, γ quam λ &c., deinde inveniantur ra dices sae) aequationis a --- bx-- c αἶ - - &c.- e --yx - g xὴ - &c. o iisdem valoribus radicis usitatis, qui in data serie usurpan tur) quae sint στ, ρ, σ, τ, &C., quarum Vr minor sit quam ρ, ρ quam σ, di quam et, &c.; tum, si x minor sit quam minima radix β, γ, &c., π, ρ, σ, &c.; series ascendens semper erit convergens: si major sit quam maxima α, iS, γ, &c.; π, ρ, ιτ, &c 3 istriea reciproca, i. e. descendens sena
Eadem etiam applicari possunt ad quascunque algebraicas irratio
474쪽
Consimilia etiam vere assirmari possunt de convergentia harum algebraicarum quantitatum iis, quae prius tradita fuere de conVergentia serierum prius traditarum. Consimilia etiam assirmari possunt mutatis mutandis de conve gentia serierum secundum dimensiones quantitatis x progredientium,
quae exprimunt fluentes omnium algebraicarum quantitatum, e. g. f. Px, iis, quae Prius tradita fuere de convergentia serierum, quae sunt fluentes fluxionum prius traditarum.
2.2. Hinc facile deduci possunt infinitae divergentes series, quae quodammodo dici possunt aequales sinitis quantitatibus ι sit fluens contenta inter valores a & b quantitatis x finita quantitas; vel, si in data functione pro x scribantur a & b respective, resultent functiones, quae sint finitae quantitates; deinde in data fluente vel functione pro x scribatur z e, &c. & fluens vel functio resultet, quae in seriem secundum dimensiones quantitatis et expansa praebeat divergentem seriem, cum et se a - e vel b- e, &c.; tum resultans divergens series, vel diversse resultantes series, earum summa, disterentia, Sc rationalis & integralis functio quodammodo dici potest aequalis datae finitae quantitati ex data functione facile deducendae. Et sie de pluribus huju1cemodi functionibus.
Et idem mutatis mutandis assirmari Potest de incrementialibus
quantitatibus similiter reductis. a. a. Sit quaecunque DXio Ax, ubi A sit functio quantitatis x, in
quantitate A pro x scribantur respective a, a q- 'b, a - - - A a H--b. - .a b, a --b, ubi n est integer numerus, εοῦ sint quantitates
resultantes respective A, B, C, D, . . . . P, Q R I tum fluens fluxionis datae inter valores a & b quantitatis x contenta, inter duas quantiatates A H- B H- C. . . P
475쪽
' - versatur, si nullus valor quantitatis x in aequatione
o inter duos prindictos valores a& b contineatur.
THEOR. XXVII. r. sit data quantitas A sunctro incognita quantitatis a , cuius mi
nima radix in aequationibus per methodum in praecedente proble-mate traditam deductis sit α.; deinde transformetur haec quantitas Ain alteram Bὶ, cujus incognita quantitas sit ascinctio quantitatis M.& inveniatur minima radix aequationum ex quantitate B Per prae dictam methodum resultantium, quae sit Qti reducantur quantitates A & B ad series secundum dimensiones quantitatum x & π ascendentes, .& sint a & π correspondentes Valores quantitatum A: & z, tum serierum convergentix et Unt majores vel minores prout rationes α ea &β : re sint majores vel minores: sint c& maximae radices praedictarum aequationum, & reducantur quantitates A B ad series secundum dimensiones quantitatum x Sc z descendentes, tum convergentiae serierum resultantium erunt minores Vel majores prout rationes ά: adc β : π sunt majores vel minoreS. .
a. Sit data fluxio Ax, ubi A est praedicta lanctio quantitatis xi de
reducatur quantitas ad seriem secundum dimensiones quantitatis cit vel ascendentem vel descendentem, & inveniatur ejus fluens; transformetur data fluxio Ax in alteram B z, cujus variabilis et est quaecunque functio variabilis x; reducantur duae fluxiones Ax dc Az ad series secundum dimensiones quantitatum x & z respective ascendentes vel descendentes, de sint a & b valores quantitatis x, inter quoS continetur fluens quaesita, etiamque ρ eorum correspondentes valores quantitatis z : tum convergentiae serierum resultantium erunt majores vel
minores prout rationes z: ad minorem quantitatem a vel b, vel V ad minorem vel ρ, in descendentibus serie bus ; vel major a vel b : α, vel major π vel ρ: β in ascendentibus seriebus, sint minores vel majores.
476쪽
verget quam prior; nam v minor erit quam x: sit x
S Sa- ὁ G in haec series multo celerius converget quam prior, nam in priori serie singulus terminus erit ad ejus successivum prope in ratione aequalitatiS, in Posteriori in ratione 2 r I prope: aliter, st-- υ & exinde ; radix aequationis a --
ω - & radix sequationis 1 - U o est Is cum autem requiratur fluens inter duos valores O 6 quantitatis V, qui valoribus o & I quantitatis x correspondent: minima vel unica radix prioris
sequationis I-x o erit ad quantitatem x zz ia I r a; at unica radix
aequationis I - υ o erit ad quantitatem U in majore quam Praeceia
477쪽
cunque tesminus ad infinitam distantiam erit ad eius successivurrv quam proxime in minore duarum subsequentium ratione, viz. e : doe -- Ο din b) U: si requiratur fluens fluxionis inter duos valoresia & β quantitatis x contenta, & consequenter inter duos correspon-
dentes valores ι quantitatis U; tum convergentia seriei x - x -- Ix3 - &c. i. e. serierum α - ζαφ -- l ού - &c. de β - ἱβ- l β3 - &c. major vel minor erit, prout minor ratio I : α vel 1 : β major vel minor sit; & convergentia seriei U
' b) κγ: Pis major vel minor sit: convergentia totius dijudicanda est ex minori convergentia. Hoc constat ex theoremate Praecedente; nam radix denominatorisi in x αα:o in Priori casu est I; in posteriori casu radices denominatoris sunt - ὰ & d--b- - ; & rationes radicum ad v in posteriori casu la radicis - I ad A in priori erunt Praecedentes. . Exhinc facile deduci possunt valores quantitatum vir, b, c Ecd; in quibus praedictae rationes evadunt maximae, & consequenter serius.coavergunt maxime.
Sit P functio quantitatis xii Teducatur in duas series, quarum alteraaz - b x- -- cx &c. A secundum drmensiones quantitatis x' ascendit, altera vero a x ' -- b κ ' - - &c. secundum dimensiones ejusdem quantitatis descendit; Sc si una series A covergat cum xtum altera B semper divergit cum x - α: ni cum x - β, ubi serio.
478쪽
series sta) exinde resultans sit ultima series convergens, vel prima quae non convergit; etiamque sit series B prima convergens, vel ultima qua: non convergit: & in utroque casu eadem sit series.
-7 in &c.; tum si una series convergit, altera necessario diverget; ni x- I, in quo casu utraque series eadem evadit, at una est alterius negativa, vig. una est I - Ι - - I -- &c., altera Vero - Ι -- '
Cor. Series, quae esti summa duarum praedictarum serterum A. Bsemper divergit, ni utraque series eadem evadat, B; i. e. in.
per divergit, ni x I.- THEOR. XXIX. Reducatur functio data quantitatis x ad minimos terminos, ita v
quantitates in numeratore & denominatore contentae nullum habeant denominatorem I singatur denominator o, & omnis irrationalis quantitas vel in numeratore vel in denominatoro contenta nihilo aequalis, & sit α minima radix assirmativa vel negativa, at non se
praedictarum resultantium aequationum; deinde reducatur data functio ad seriem secundum dimensiones quantitatis x ascendentem, tum haec series semper converget, si quantitas x contineatur inter dc -α, quod si x major sit quam α, tum praedicta series diverget. Si haec series in x ducatur, tum series denotans fluentem inter Juos valores a & b quantitatis sώ, contentam semper Converget, cum a id inter α &-α interponantur.et. Reducatur praedicta functio ad seriem secundum reciprocas di mensiones quantitatis x descendentem, & sit λ maxima radix praediactarum resultantium aequatiotaum, o quiratur fluens inter duos valores a Sc b quantitatis x contenta; series semper converget, cum
479쪽
utraeque a& b sint majores quam λ; si una sit minor quam λ, tum semper diverget series praedicta. a. Cum x α in priori casu, vel λ in posteriori, tum in quibusdam casibus evadet convergens series, in quibusdam non qui casus facile constant e principiis prius traditis. . Si quaedam radices sint impossibiles, e. g. snt a in I i) Sca-b Cί- a); tum ascendens secles semper converset, cum infinite major sit quam
Ea, quae prius tradita fuexunt de interP latione serierum, hic etiam applicari Possunt. Cor. Exhinc deduci possunt infinitae convergentes series, quarum sim mae innotescunt ; nam assumatur quaecunque functio quantitatis x, &c. pro summa, & reducatur ea ad striem secundum dimensiones quantitatis x, &c. progredientem; per theorema hic datum ita assa matur valor quantitatis X, ut strita evadat convergens; ta confit coroll. Ρ R O B. XIX. Transformare datam algebraicam quantitatem in alteram, cujus termini progrediuntur secundum quantitώ es formula a x x a )LErunt dicta x' - α' κ μ αα I ' -- n x ' κ x es: i ' n .
480쪽
Scribantur hae quantitates pro suis valoribus in data algebraica quantitate, & perficitur problema. Ex vulgaribus vel novis, &c. modis multiplicandi, dividendi & radices extrahendi reduci potest algebraica quantitas ad seriem infinitam secundum pr*dictam legem progredientem. Ex methodis haud disimilibus transformari possunt datae algebraicae quantitatzs in terminos secundum dimensiones quantitatum hujusce formulae x κ x πα x κ x et x ... xae: n xy, vel secundum infinitas aligs grogredientes. L ij. si is mi , t l. l