장음표시 사용
491쪽
&c.) substituatur haec quantitas reducta ad infinitam seriem pro 3 in
data aequatione, & ex aequatis correspondentibus terminis inter se deduci possunt coeffcientes s g, h, &c. In quibusdam etiam casibus assumatur quantitas praedictae formulae cum altera serie a,r - - - &c. pro γ, vel cum pluribus quantitatibus praedictariam formularum & serie ἴ- &c. & exinde erui possunt series magis celeriter convergentes. Irrationales compositae quantitates vel ex divisione, extractione radicum, &c. ad simplices terminos reducendae sunt, quotiescunque id exigat pro approximatione invenienda opus.
sitam haud permultum exsuperet rationes, quas habet data approximatio ad unam, duas vel plures alias radices a tum Ope quadraticae. cubicae, &c. aequationis quaerendae sunt novae approximationes ad duas, tres vel plures radices datae sequationis; unde constat ratio,
quare in his casibus si differentiae indicum & simplicium & cona posi
9. Si vero dentur quantitates ad duas vel plures liuiusce formulae radices sequationis maxime appropinquantas; tum e principiis prius traditis erui possunt novae approximationes ad radices praedictas Propius accedentes. PROB. XXII. i. Contineantur tres D X, Z incognitae quantita es tu diaria aquariora, in venire y in terminis quantitatum X S Z. Primo reducantur duae quantitates x & et ad alias Σ' Ω Q ut vel evadant perparvae vel permagnῖ , Vel altera perparva & altera vero permagna, prout requiratur series ascendens vel descendens secundum dimensiones quantitatum P & ά; deinde fingatur altera prope in ratione directa vel inversa cujusdam potestatis m quantitatis Δ ; & eZ aequatis
492쪽
sequatis terminis inter se, qui maximi resultent ex hac hypothesi, inveniatur sa) valor quantitatis 3 prope; scribatur quantitas a in or Pro F in data aequatione, & ex eadem methodo erui potest valor quantitatis re prope; & sic deinceps. Hoc prob. etiam resolvi potest ex aliis principiis in prob. praeced.
datiS. a. Si vero contineantur Plures quam tres Θ, X, n) incognitae quantitates in data sequatione, Per Processiam omnino eundem erui potest 3 in serie e terminis quantitatum x , z &c. constante. a. Si vero detur fluxionalis vel incrementialis, &c. aequatio, ex
principiis in hoc problemate, o c. traditis erui potest valor quantitatis 3 in serie secundum dimensiones reliquarum progrediente, si modo γin terminis reliquarum exprimi possit. Si dentur plures n vel algebraicie vel fluxionales vel incrementiales sequationes, n-μ a vel Plures variabiles quantitates habentes; tum ex principiis, quae in hoc problemate, &c. Prius tradita fuere, erui potest altera γ in serie secundum dimensiones reliquarum progrediente, si modo F in terminis reliquarum exprimi possit. Hoc problema etiam resolutionem accipere potest ex asi apta serie
progrediente secundum dimensioneS reliquarum quantitatum, i .e. Principiis, iis in Prob. a I. Contentis, analogis; etiamque ex assiamptis qui
busdam reliquarum quantitatum dimensionibus inter se aequalibus.
PROB. XXIII. 1. Datis duabus vel pluribus sta in algebraicis vel suxionalibus vel ia
crementialibus myuationibus Ia -- I Tariabiles quavitates sy, X, Z, So.)labentibus ; invenire unam sy) ex iis in terminis rebiliorum s X, Z, M.)Ita reducantur hae sequationes, scribendo in ii. pro reliquis x, i&c. respective x a, z --δ,5 c. ut a &Q &c. Perparvae vel per magnae evadant, Prout requiratur series ascendens vel descendens se cundum earum dimensiones; & similiter de earum fluxionibus, incrementis, dec.: deinde ex aequatis terminis singularum aequationum,
493쪽
qui maximi sunt, respective inter se, erui possunt β, γ, &c. prope Ualores quantitatis I respectivi in terminis quantitatum H a , &c. scri-hantur hi valores inventi per variabiles quantitates incognitas aucti, i. e. x ---z' - β, &c. Pro 7, & pro j, &c. I, I, &z. earum valores α, - β , x - α, χ' - β, &c. in z - β, x dcc. respective in datis aequationibus, & ex aequationibus resultantibus facile detegi possunt valores prope quantitatum x et , &c. respective, &sic deinceps; vel aliter e principiis prius traditis erui possunt formulae
bantur hae quantitates Pro suis valoribus in datis aequationibus, & ex singulis terminis resultantis aequationis nihilo sequalibus esse supposititis erui possunt coessicientes A, B, C, &c. A B Q &c. &c Convergentiae serierum e pluribus sequationibus deductarum vel plures variabiles quantitates habentium e principiis Prius traditis de convergentia seriei ex una aequatione erutae, facile dijudicari possunt. a. Dentur aequationes inVolventes Variabiles quantitates x, γ, &c.& earum fluxiones, incrementa, &c. sint etiam z&υ datae functiones quantitatum x, γ, &c. invenire u in terminis secundum dimensiones quantitates a progredientibus: hoc perficitur vel e reductione plurium sequationum in pauciores, ita ut eXterminentur omnes in codinitae quantitates praeter Z & υ; vel ex assumptis seriebus pro singulis incognitis quantitatibus secundum dimensiones quantitatis z progredientibus, & ex earum substitutionibus in datis aequationibus pro suis valoribus, & terminorum correspondentium coessicientibus nihilo
aequalibus esse suppositis, erui possunt indices & coecticientes serierum
494쪽
r, &c. scribantur respective n Ax' 'x, n . sn- i) Ax xy, &z. in data aequatione, ubi A&n sunt quaecunque invariabiles quantitates assumendae ; & e terminis resultantis sequationis, qui inveniuntur maximi ex hypothesi data, quod x sit perparva Vel permagna quat titas, inter se sequatis, deduci potest quantitas Ax' proximus valor quantitatis F; tum in data sequatione pro a scribatur Ax 's, & pro
quantitatis I , qui sit Bx'; in aequatione resultante pro p scribatur ejus valor B x' -- ρ, & pro p, p, &c. respective m BQ 'x ρ , m. m - 1 B x' 'xy in q, &c. & consimili methodo inveniatur proximus Valor quantitatis ρ, & sic deinceps; unde tandem innotescet 3 - Ax
Si x se a prope, tum scribatur in data sequatione a et vel a prox, & ex methodo hic tradita inveniatur 3 in terminis quantitatis z. a. Sit r ordo fluXionalis aequationis, & in serie quae exprimit valorem quantitatis r in terminis quantitatis x, i. e. 7 Ax' -- Lx -&c. semper tot invenientur invariabiles quantitates ad libitum assumendae, quot sit ordo praediistias, si modo series ab initio terminorum
incipiat, i. c. redie instituatur. C. g. Sit aequatio=-x x-3 xx- - xyx--γxx, invenire siciantitatem F in serie secundiam dimensiones quantitatis x progrediente; si assumatur F N Pi OPe Pro Proximo valore
quantitatis 3, tum haud incipit ab initio recte instituto series; finga tur 3 AH-bx-- p, scribatur h.ec quantitat pro γ & b x in ρ pro stin data sequatione, & resultat bXH si x-3xx--Ax-- lxx -- p x -- xy x Ax x in b xyx p x x; termini autem, qui ex hypothesii ascendentis seriei maximi sint, inveniantur bx - x Ax, unde b india in Adii & aequatio.resultans f - Α --b - 3) xx x' p -bae -- p x x; hujus resultantis sequationis termini maximi erunt1, - Α-Ρb-3) xx, unde s A b - 3) prope, & consequenterre A A I)x -- I)x' - &c. ubi A est quantitas ad libi tum assumenda. a. Si vero praedicta quantita. in iluente inventa haud contineatur,
495쪽
tum fluens inventa erit valor particularis, qui nonnunquam in generali fluente fluxionalis aequationis, & sic integrali, &c. haud continetur. Idem etiam Verum est de algebraicis sequationibus ut constat e subsequela. eXem p.
&c. In hac serie semper continetur quantitas generalis aue nunc sit amo, & resultat sequatio particularis 3 bx -- ex') - lixet
H- Εἶτ &c. quae series particularis in priori generali haud continetur ; eveniant enim quidam particulares scis, in quibus generalis resolutio fallit; quibus quidem casibus generalis resolutio praebet divergentem seriem, Vel ejus quidam numeratores nihilo evadunt
II. Data incrementiali aequatione relationem inter variabiles x, r& earum incrementa relationem exprimente; invenire ejus integrale, i. e. variabilem F in terminis secundiam dimensiones quantitatis x progredientibus.1 Q. Sit x permagna quantitas respe tu habito ad reliquos sequationis terminos; tum abjectis omnibus terminis, qui haud maximi resultant ex hac suppositione, e terminis exinde resultantibus inveniatur per methodum in fluxionalibus, &c. sequationibus resolvendis traditam proximus valor quantitatis 3 terminis vero quantitatis x, qui sit Ax ', deinde scribatur I s pro V in data
sequatione, & ex aequatione resultante abjectis omnibus terminis
qui haud maximi resultant e praedicta hypothesi inveniatur proximus valor quantitatis ρ, qui sit Ax '; tum pro p scribatur ζαλ ὰλὰ is S iis dςinc β ; unde tandem resultabit valor
quantitatis 3 quaesitu S. 2 Si vero x perparva sit respectu habito ad quosdam aequationi termanoβ, tum abjectis omnibus terminis, qui haud maximi resultant
496쪽
ex hac hypothesi, e reliquis deducatur proximus valor quantitatis 3 qui sit Ax'; deinde scribatur pro I in data sequatione Ax x. xm π)'& ex aequatione resultante inveniatur per consimilem methodum proximus valor quantitatis ρ; & sic repetita operatione tandem resultabit integralis quaesita. Et sic e principiis prius traditis erui potest integralis ex asili-
ex aeqUatis correspondentium terminorum coessicientibus erui possunt quantitates A, &c. a, b, c, &C. III. Aliter: Data fluxionali aequatione relationem inter variabiles x, γ, & earum fluxiones exprimente, invenire quantitatem y in terminis seriei progredientis secundum dimensiones quantitatis z. Assumatur γ Ax' pro primo seriei termino, qua quantitate pro ejus valore y in data sequatione substituta, & ejus fluxionibus nAx ' x, n . n- I in Ax' 'x', &c. pro F, F, &c. siant omnes termini qui habent
maximas vel minimas dimensiones quantitatis ci , Prout series requiritur ascendens vel descendens, inter se aequales; & ex aeqUatione resul
tante constabit primus terminus seriei quaesitae Ax'; & pro reliquis indicibus scribe quantitatem A x' & ejus fluxiones pro suis valoribus in data sequatione, subtrahe minimum indicem resultantis sequatio nis terminorum in serie ascendente vel maximum in serie descendente de singulis reliquis, & omnia restiua sibi ipsis & omnibus aliis addantur, & sic de reliquis: & e quantitatibus resultantibus constabunt dita ferentiae indicum, i. e. quantitates r, S, t, &c- Scribatur igitur series Ax' -- Γω ' ' Dx ' - in data aequatione pro F, & ejus successivae fluxionea respective pro ν, ν&c. & ex aequatis correspondentibus termini. resultantis aequationis
497쪽
in quibus eaedem inveniuntur dimensiones quantitatiε x, nihilo respective, resultabunt coessicientes B, C, D, &c. quaesitae. Si Uero duo vel tres Vel plures valores quantitates Ax' sint inter se aequales, dividantur praedictae differentiae per duo, tres, &c. dc resultabunt differentiae quaesitae, &c. i. e. series erunt hujusmodi Ax L CU -- Dx Φε &c. vel Ax' BQ-ἱ Cx'stir in
Si primus valor quantitatis 3 inventus sit imaginarius, tum forsane scribendo v a & α -- h pro γ & x in data aequatione respective. ita assumi possunt invariabiles quantitates a & b, ut haud evadat Primus valor quantitatis 3 imaginarius; & ejus aPProximationes e methodis prius traditis deduci possunt. Hic animadvertendum est hanc methodum resolutionis semper exigere, ut quantitates V & z, vel V vel et, sint perparvae vel permagnae, prout requiritur series ascendens vel descendens. Per perparvas vel permagnas quantitates intelligo quantitates sic deductas: sit series deducta ascendens y GR bla' Ex &e. - P. Se inveniatur sci ) valor quantitatis Π, cum P evadat divergens series, tum necesse est, ut 2; non major sit quam talare , aliter series diverget: sit P series descendens, & ρ minimus Valor quantitatis z, cum evadat divergens, tum necesse est, ut et non minor sit αα ρ, aliter series diverget: aliter per perparvas intelligo quantitates multo magis approximantes ad unam quam ad reliquas radices. In fluente fi ionalis aequationis n ordinis n continentur invariabiles quantitates pro conditione problematis assumendae; Unde assumi possunt su) correspondentes valores singularum quantitatum M M ,γ, , &c. Et sic de incrementialibus, &c. sequationibus.
Data suxionali πρuatione n ordinis relationem inter quanti atra x, y,
498쪽
E, F snt correspondentes valores, ei a qeuestis valoribus haud A)ge diasantes; invenire quamitates ad quoi os valores magis appropinJuautes
I. Reducatur arquatio scribendo in ea pro si ejus valorem F o
x-a , & exinde Pro ejus valorem vel fluentem E F x-
aequatis terminis qui maximi resultant ex hypothesii quod .v - a sit perparva quantitas deduci Possunt valores quantitatum a & λ; & sic deinceps, usque donec inVeniatur formula aequationis variabilem 3 interminis variabilis x exprimentis; & deinde, vel per continuas hujusce generis approximationes, vel per substitutionem ieriei formulae prs dictae pro F, & ejus fluxionum pro y,y,y, &c. & ex correspondentibus datae & resultantis aequationis terminis inter se & nihilo respective aequatis, erui potest series quaesita.
Hzec methodus etiam ad incrementiales sequationes applicari potest. Si vero integrales vel fluentiales quantitates in datis incrementiali hus vel fluentialibus aequationibus contineantur, tum eae principiis hie datis, & iis de fluentibus, &c. fluentialium fluxionum, &c. investimandis prius traditis, erui potest senes valorem quantitatis 3 exprimens. a. Summa vel disserentia duarum serierum π), quarum una et exprimit 3 in terminis secundum dimensiones quantitates x ascen- ' L l l dentibus;
499쪽
dentibus; altera Vero I in terminis secundum dimensiones quantitatisae descendentibus erit data quantitas; at si descendens series convergat, tum ascendens Pene in omnibus casibus di verget; do vice versa si ascendens series convergat, tum descendens series in praedictis casibus etiam diverget. 3. Feries, quae exprimunt vel resolutiones fluxionalium vel increment latium, dic. aequationum, vel fluentes dcc. fluxionum, &c. quae progrediuntur secundum dimensiones quantitatis variabilis x, debent esse convergentes, haud quidem solii modo cum α sit datus valor quantitatis sed etiam cum x - β; in utrisque autem his casibus ni α prope se βPlerumque haud converget series, ut facile constari potest ex iis, quae prius data fuerunt: si non convergant utraeque series, scribatur et e pro x in data aequatione, & ex resultante sequatione inveniatur series secundum dimensiones quantitatis sn) x - e progrediens, quae convergit cum Z vel αα α - e vel M a; in hac resultante aequatione proz scribatur et -- e, Sc ex nova resultante aequatione inVeniatur series, quae convergit, cum S uel a Vel deinde pro E in aequatione Ditimo derivata scribatur Z --H, dc eX aequatione resultante inveniatur series quae convergit cum z' vel H vel M a'; εο sic dein ceps ; usque donec inveniatur series, quae convergit, cum 2 vel ma ' vel β - α -- e -- -- e .. -- e ''. Sit vero summa duarum serierum, quae prius resultabant ex hypothesi quod z - α - edc a, etiamque cum E se a e dc ae, tertio cum z a e δι a , .& sic deinceps; respective π, ρ, σ, τ, dcc. tum erit summa seriei intenduos valores α 5c β) quantitatis x contenta π' -- ρ -l- Ο - - dcc. Cor. . Sit aequatio algebraica relationem inter variabiles x dc 3 designans, inveniatur 7 Vel s=x, 6 c. per seriem secundum dimensiones quantitatis x progredientem; scribatur z in e pro x in data aequatione,& ex aequatione resultante inveniatur F vel IIx, lec. in serie secundum dimensiones quantitatis z progrediente, quae sit convergens; εο sic inveniantur aliae series convergentes, quae correspondeant diversis valoribua quantitatis si qui sint respective e, dcc. de assumi POssunt valQrζ. e, &c. ita ut e seriebus resultantibus numero finitis deduc2
500쪽
deduci potest summa serierum vel fluentis inter quoscunque duos valores α & β quantitatis x contentae. Hic observandum est, ut quo plures recte assumantur diversi valores e, e . e , &c. inter duos datos valores α & is quantitatis x, eo magis
celeriter convergent series resultantes; etiamque animadvertendum est, si ullus valor quantitatis 3 inter valores α & β quantitatis x conte
ius evadat vel infinite magnus vel o ; utrasque series resultantes ex substitutione valorum α & β Pro x non evadere convergentes: in
interpolandis seriebus necesse est, ut valores quantitatis x) vel incita piant vel terminentur in punctis, in quibus quantitas I evadat vel o vel infinita quantitas. Ea, quae de approximationibus fluentium fluxionum in infinitum progredientium, aeque ad has fluxionales aequationes applicari possunt. . Priusquam vero finis huic parti de infinitis seriebus, quae exprimunt valores variabilium sx &γὶ in datis fluxionalibus, &c. aequationibus contentarum imponatur, quaedam animadvertenda sunt de quibusdam difficultatibus, quibus premitur methodus prius tradita Praedictos valores inveniendi: e. g. in aequatione fluxionali primi ordinis, saepe si modo a sit proximus valor quantitatis 3 & scribatura Φ p pro prima approximatione, in aequationes subsequentes vel x x vel f si b - incidamus: si modo scribatur Ax' pro ' &BAU 'κ pro f in data aequatione tanquam approximatio, tum manifesto apparet, quod saltet haec methodus; ergo vel scribendae sunt in data sequatione α -- v & v pro p & si in priori casu, dcα ε Σ&Σpro x & x in posteriori; & deinde per methodos prius traditas progrediendum est; vel in priori casu assumenda est ρ De '' prope apta proximatio, ubi D est quantitas ad libitum assumenda: substituantur haec quantitas per alteram aucta & ejus fluxio pro p & si in dati aequatione, & exinde per methodos prius tradita. progredi liceati postea enim ulla urgetur difficultate opus: in Posteriori inveniatur ae interminis quantitatis ρ, &c.; aliter ρ r 'μΙὶ b log.x, D -- prope; de sic deinceps.