장음표시 사용
481쪽
... x αα προὶ ' --κ κ ααχὶβ κ x et x)3 &c. cuius incrementumn ordinis inveniatur in terminis secundum dimensiones quantitatis x progredientibus, R resultantis la datae seriei termini correspondentes inter se sequentur; & exinde deduci possunt coefficientes a, b, c, d, &c.
g. Seriem infinitam A - Γ κ Cκ Dx &c. in alteram transformare, cujus termini secundum reciprocas dimensiones
quantitatis x progrediuntur, & cujua integralis cujuscunque n ordinis exprimi etiam potest in terminis secundum eandem legem progredientibus. Assumatur series a -- - -
482쪽
tum n ordinis, R deinde sequentur termini datae & resultantis aequationis correspondentes, & ex aequationibus resultantibus erui pollunt coefficientes c, b, c, &c. . Sit series Ax -- in Cae '' in D x 'Τ - &c. cujus integralis requiritur; pro integrali primi ordinis assumatur x' κ sci in xy
responden tibus datae seriei terminis, & exinde erui possunt cossicientes a, b, c, &c. Q H L &c. V. es, &c. &c. Si requiratur integralis n ordinis praedictae seriei, assumatur pro
numerus, & impossibiles quantitates irrepant in seriem quaesiitam itum impossibiles quantitates evitandi gratia asstamantur quantitates hujusce formulae vel - ο κ x - Η a x ny- gQη x ε xy in x axin ... nπὶ , cujus ὶncrementum est aia
Haec methodus usui inservit, cum duo valores quantitatas, Inter quos requiritur integralis, sint perparvae quantitates. 6. Sit series Ax' -- Lx Cae in &c. culus Integralis requiritur in terminis secundum reciprocas dimensiones quantitatis x progredientibus: assumatur pro integrali primi ordinis quantitasa ἱiκ saevix) in bx ἱεροὶ π xvi x) ἔ ἱ- e ῆι-ι κ
483쪽
dinis, de ex terminis datae & resultantis seriei correspondentibus inter se aequalibus esse suppositis, erui possunt coessicientes a, b, c, dcc. ν, c&c. a P c &c. &c. 6. 2. Si modo requiratur integralis n ordinis seriei prius traditae α' in Be Ce &c. & cujus termini secundum dimen- sones quantitatis x progrediuntur: pro integrali quaesita assumatur
... ω dita ba- I N) ' -- &c. cujus inVeniatur incrementum, quod reducatur ad terminos secundum reciprocas dimensiones quantitatis x progredientes, deinde e correspondentibus datae & resultantis seriei respective inter se aequatis erui possunt coessicientes a, b, c, &c. af, HE, &c. b , c Scc. 7. Sit incrementum P κ Qx &c. N R, cujus integralis requiritur; ubi P, Q R, &c. sunt functiones quantitatis X, n Vero dc m quaecunque seactiones; ita reducatur hoc incrementum, ut in eo nulli conti neantur divisores; qui sint successivae integrales 8, i. e. ne sit T κ T
divisor quantitatis P κ κ &c. ubi T est successiva integralis quantitatis νι reducatur datum incrementum ad hanc formulam TκT κκροκνκΣ'xON &c. pro integrali quaesita si re-
quiratur series ascendens) assumatur series T κ T κ 7
484쪽
substitutioneS. Facile constat, quod infinitae aliae series hujusmodi pro integraliquaesita assumi possunt. Ex transformatione harum serierum in alias, quarum variabiles quantitates quandam habeant relationem ad variabiles quantitates datarum serierum, deduci possunt series secundum dimensiones ali rum quantitatum progredientes. Haec principia promovere liceat etiam ad inveniendas series secundum datam legem progredientes, & quarum infinitae aliae functiones praeter fluentes & integrales secundum eandem legem progrediuntur. Ut series hujusce generis evadant convergentes vel magis celeriter
convergentes, Praestat interpolare plures inter duos d tos valores z az & z -- bE) quantitatis x, i. e. scribere Pro a. diversos valores z--ez, EP , &C., ubi ci &c. sunt integri numeri inter
duos valores a & b positi. Interpolatio hujusce generis, & serierum exinde resultantium convergentia e principiis in prob. traditis dijudicari possunt. Eadem principia etiam applicari possunt ad series ex incrementialibus aequationibus resultantes. PROB. XX. Transformare datam quantitatem in terminos secxudum datam Dram progredientes: hi termini reducantur ad simplices terminos secundum dimonia sones quantitatis X progredientes, reducat V etiam data quantitas ad te
485쪽
costolentes singuor m terminorum hujusce progressus respectice aequalescoesicientibus correspondentium terminorum e priore reductione deductorin. Ex. 1. Sit quantitas sa --bx 'ri in nire seriem, cujus lex sit e fae)ηhx ) lx lx3)φ -&c. - a bx ', reducantur data quantitas & termini seriei praedictae ad series, quarum termini secundum dimensiones quantitatis x progrediuntur, & evadunt r
ἀ Σ--I z- - a) z. et in r). z-- a). z- 3)Cor. I. Si α vel aequalis vel major sit quam z, tum haec series haud converget; sin .aliter paululum magis celeriter haec series converget
Hinc facile constat omnia, quae traduntur de convergentia fluentium datarum fluxionum aeque de convergentia integralium consi milium incrementorum assirmari posse Facile
486쪽
Facile e praecedentibus propositionibus deduci positant convergentiae serierum in hoc problemate traditarum: reducantur enim hae series ad alias secundum dimensiones quantitatis x progredientes, bc eae convergentiis serierum resultantium plerumque facile erui possunt convergentiae serierum praedictarum. P R O B. XXI.
Datis aequationifius algebraicis, invenire proximos valores unius inco
nisse quantitatis X terminis vero alterius y. E comparandis terminis datae sequationis inter se saepe constat Proximus valor unius incognitae quantitatis F. Fere vero Pi stat terminos datarum sequationum, qui maximi sint, ex hypothesi data quod x vel sit perparva vel permagna quantitas, inter se aequales esse supponere, neglectis omnibus reliquis terminis, qui minores sint, di ex aequationibus resultantibus deducere proximos valores incognitae quantitatis quaesita I.
In data aequatione algebraica scribatur sa in p) quantitatis I proximus valor a per incognitam quantitatem p auctus pror, & e ete
minis resultantis aequationis, qui ex hypothesi data maximi resultant, . inter se aequales esse suppositis, neglectis iis, qui minores sint, deduci
potest proximus valor bin quantitatis ρ; deinde vel in data aequatione pro 3 scribatur a-FbH-q, vel quod idem erit in resultante aequatione
pro p scribatur p in q, & consimili methodo inveniatur proximus valor quantitatis ρ; & sic deinceps ; e g. sit sequatio γ' - a'I - a naaxΙ - Σ o ubi x fit perparva quantitas; supponatur x o &termini igitur qui maximi inveniuntur, erunt 33-GRI - a G o, undo F G prope; scribatur a -- p pro I in data sequatione γ' -μ a*γ- 2 a3 -Φ a XI - x3 - o, & resultat sequatio pΤ - 3 6p' a' a x)p-- ayx - α 3 o ; termini autem, qui maximi sint in hac aequa tione, erunt qayp a' x o, neglectis omnibui, qui minores sint:
487쪽
DE INFINITIS 38& inveniri possit q
prope; & sic deinceps; under met. Sit vero sequatio 3 3 ---x y - x γ - a 3 - axa data, x vero permagna quantitas; termini maximi, qui ex hac hypothesi in ea continentur, erUnt 33 -xRI- 2m o, Unde F x prope; scribatur igitur x p pro F in data aequatione, & resultat aequatio pa- 3 xρ
prope, scribatur igitur in resultante aequatione - 1 pro I , & eterminis maximis inveniri potest q prope; & sic deinceps; unde
6 x Cor. 1. Facile constat, quod e divisione termini, in quem haud ingreditur q vel r, &c. per coessicientem termini, in quo continetur una solummodo potestas quantitatis p vel g vel r, &c. successive, duplo plures termini, uno dempto, Valoris quantitatis I in terminis quantitatis x detegentur. Cor. a. Sit b proximus valor quantitatis 3 in aequatione P o, scribatur b Hm p pro ' in data sequatione P o, & resultet aequatio a in bl cpy ' - &c. o, ubi a, b, c, d, &c. sunt functiones ipsius x, tum assumantur vel a bl o, Vel a q- θρ -- cpη - λ&c. ia e posterioribus assumptionibus consequentur propiores valores quantitatis F, quam e prioribus, ut facile constat e theor. 17. COr. 3. Convergentia seriei: IR' pendet ex hoc, quanto propior sit Valor dissumptus pro quantitate 3 ad unam radicem di quam ad roli quaa I tum etiam, si modo aequatio assumpta sit a H- bρ - δε Pondςx
488쪽
e ratione, quam habent quantitates assumptae pro S ad quantitatem
ipsam &c. Cor. 4. Si n sint radices quantitatis 3 prope inter se & radici quaestae aequales, tum assumendi sunt n I) termini aequationis ο - αμ- θρ - cpφ . e quibus detegi potest propior valor singularum nradicum a quantitate assumpta haud multum distantium.
a. 1. Si vero x haud longe distet a quantitate b, tum scribatur quantitas b pro x in data sequatione, & ex aequatione resultante P o) inveniatur quantitas I, quae multo magis approximat ad unam radicem quam ad reliquas, quae sit f: in data aequatione pro x scribatur b -- z; & pro I scribatur p --s: fiant termini resultantis aequationis, qui ex hac hypothesi maximi evadant, nihilo aequales; & exis inde sequitur valor quantitatis p prope ; unde sequitur p -- valor quantitatis 3 prope; & sic redintegrata operatione deduci potest quantitas ad valorem quantitatis I magis appropinquans; & sic deinceps : si inveniatur radix aequationis P o accurate; tum haec methodus evadet eadem ac duo praecedentes: & hic mutatis mutandis) applicari Possunt omnia, quae ad Praecedentes methodos appli
489쪽
- as Σ -- 6 p o, & eXinde resultabit valor quantitatis I - ἱz prope : in .dquatione A o pro p scribatur έα -- ρ; & exterminis sequationis resultantis qui maximi sunt inveniatur valor quantitatis ρ prope, vi g. ae in bla in Ezφ; & sic deinceps: & exinde resultabit series quae exprimit valorem quantitatis F, Vi Z. F 8
Eadem principia, &c. . ad fluxionales,.&c. aequationes applicari possunt. a. a. Ex methodis haud dissimilibus inveniri potest quantitas 3 per seriem quantitatum, quae sunt functiones alterius quantitatis x in data sequatione contentae, secundum datam legem progredientium,e. g. sit series quantitatum per legem A Bxκίω - i) Cxy κ- i Dx3κ x - I)3 - &c. progredientium, & per methodos haud disii miles deduci possunt coefficientes A, B, C, &c. hae Vero coeta ficientes ex serie, cujus termini secundum quamcunque aliam datam legem progrediuntur, etiam investigari possunt. . Sit sequatio algebraica F -- &c. o, ubi&c. sunt functiones quantitatis x, in veniatur 2 in ejus x terminis, i. e. sit 3 - ax ' - - - &c. & convergentia hujusce seriei pendet ex hoc, nempe quanto minus distant approximationes successivae ab una radice quam ab reliquis, &c. ut prius docetur: influentibus, integralibus, &c. exinde deducendis, necesse est ut dentur duo, &c. valores a Sc b quantitatis G, inter quos continentur fluentes, integrales, &c.,ut vero hae series convergant, quantitates a & b haud
longe distent ab eadem radice vel ex eadem vel oppositis radicis partibus ; si vero una litera a haud multum distet ab correspondente radice sequationis n=' ' - n - I)pI 'H- n - 2) ργ' Τ - &c. - o, vel duae literae ex oppositis partibus ejusdem radicis ponantur, tum series praedictae haud convergent: in casibus quando series p edicta
vel non omnino vel non satis convergat, praestet ut transformetur data aequatio in ea pro x scribendo z - α, z - β, z - γ, Q &C.
respective, ubi α, it &c. λ inter valores a & b ponantur, ita quidem
490쪽
dem ut series resultans e prima sequatione, derivata a substitutione
get ; & similiter sint series resultantes e substitutionibus β -e & β - dpro z in secunda, γ - d dc γ - e in tertia, & sic deinceps usque ad
ultimum λ- b, semper convergentes; tum ex iis erui potest fluens vel integralis quaesita. H1c animadvertendum est, quod si omnes hae series evadant convergentes, necessario nonnullae abscissae set) incipiant a singulis radicibus x) inter a & b positis, vel ad eas terminentur.
Si a & b ex oppositis partibus ejusdem radicis ponantur; tum haud convergent duae series resultantes e scribendo a & b pro x, ni abscisia incipiat a radice inter a & b posita. s. Datis una duabus vel pluribus n) sequationibus n i) incognitas quantitates habentibus, inveniantur valores quantitatis x, cum Fevadat vel infinita vel o, quorum sit minimus α & maximus λ; tum series ascendens semper converget, cum x minor sit quam α; &series descendens converget, cum x major sit quam λ, &c. Eadem principia etiam ad fluxionales & incrementiales aequationes
applicari possunt. 6. Si vero quaedam quantitates vel p vel ρ vel r, &c. sint functiones,
quae habent functionem quantitatis x in denominatorem fiat praedicta functio nihilo sequalis, & haud converget series ascendens F ax - &c. vel series exprimens fluentem suxionis 3x, &c.
si x major sit quam ulla radix praedictae sequationis; si vero sit series descendens, tum haud converget, ni x major sit quam quaecunque radix praedictae sequationis. InVeniantur igitur valores ατ, ρ, ir, &c.) quantitatis x inter a & bpositi, in quibus 3 vel evadat infinita vel nihilo sequalis; & Praedictae abscisi V χ) vel ab valoribus sis, ρ, α, &c.) incipiant, Vel ad eos terminentur ι praestat ut ab iis incipiant. . Sit P praedicta functio, & in quibusdam casibus pro quantitate quaesta ν assumatur quantitas sormulae in