장음표시 사용
501쪽
ue. Hinc constat in stuzionali aequatione primi ordinis incidere liceat
in fluxionalem stomogeneam aequ*tionem primi ordinis; in fluxion in secundi, tertii, &c. Ordinis aequatione in quamcunque homogeneam fluxionalem aequationem secundi, tertii, &c. ordinis.
i. In fluxionali aequatione. secundi ordinis sint ter ni maximi.
aries in &c. - l x x' - ; ex hac aequatione inveniatur fluens, & exinde prima approximatio: aliter scribatur Ax' pro in data sequatione, laresultat n*' υ - i 'ata ' ' x H- &c. - b x x '- sit vero vel t in s in B o vel r in s ah - ο vel n I, tum haud e praedicta methodo deduci potest resolatio; in priori enim casu I, quicunque sit valor quantitatis A, ergo ad libitum assumi po- est A ; si autem non sint n'' n - 1 θ' G b & r in s in ab os tum 1 n assumi potest Ax' pro appro imatione: in secundo casu n - δε cum r in s in t haud nihilo sit aequalis, & consequenter n '' o, nis h - ο; & iterum non assumi potest AA' pro approximatione: idem etiam Vero est, cum n - I o, nam in eo ςasu n - 1 o: in his casibus vel scribendae sunt quantitatea α - v K β-z α ea rum flu*iones 5; ii, &c. & Q Pro , π,y, γ, cc. εc x in data sequatione, &ex aequatione resultante deducenda est aequatio : vel substitutio in casu
prim' usurpanda est, in qua ita assumi possunt .coefiicientes F, E. D.&c- &c., ut per hanc methodum semper detegi potest series; nulla enim postea occurrit quantitas, quae exigit fluentem fluxionis, i. e. series incipit a termino, post quem nulla quantitas ad libitum assumi potest: vel in priori casu pror assumatur Aes', & exinde pro F.&γ
erui possit e quantitate a , forsan Pr estet transiformare datam inquationem, ita ut fluat uniformiter , deinde invenire x in seste secundum dimensiones quantitatis I progrediente, tum ex reversione serierum deduci potesto in serie secundum dimensiones quantitatis x progrediente. z.Sint maximi termini v Pb .. . Ux &c. maci deinde
502쪽
deinde inveniantur radices, i. e. quantitas u in termini S.quaΠtitatia. x aequationis resultantis a supponendo omnes terminos, qui maximi surri, simul adjunctos nihilo aequales esse pro primis approximationibus; si irrationales quantitates in data vel datis aequatianibus contineantur, tum semper rejiciendi sunt termini, qui haud maximi sunt, an praedicta sequatione contenti: vel aliter; scribatur Ax' pro et in data sequatione, & si vel &C. ct Uel - r -- ὰ - - γ &c.) mi).-α- 2 3 - 3 γ-&c. Vel Π I, 2 ,. .m &e. fallit haec methodus: in multis hisce casibus erui potest approximatio scribendo a ' pro I, & ejus fluxiones Pro F, F,&c. respective,& ex aequatis terminis erui potest approximatio quaesita dcc.: vel hie applicari possunt omnia in praecedente exemplo tradita.
ut fluat uniformiter I, & inveniatur x in serie secundum dimensiones quantitatis F progrediente; & denique si haec methodus fallat, tui per methodum prius traditum scribantur υ- α dc z--β & earumhuxiones pro α SCF & earum. fluxionibus respectivo in data aequatione, ubi v et sunt perparvae quantitates ; vel diversis aliis modis
transformentur variabiles datae aequationis quantitates in alias, qu e assignabilem habent relationem ad variabiles. datae aequationis quantitates, d C. In quibusdam casibus, cum utraeque Pro dictis quantitates nillilo evadant aequales, ex earum coessicientibus nihilo aequalibus esse suppositis resultabunt indices quaesiti. Omnia haec seque ad incrementiales aequationes applicari possunt. 7. In hujusmodi resolutionibus omnium algebraicarum, fld tonalium, incremantialium, lac. sequationum primo reduce0dae sunt Nquationes, ita ut earum variabiles quantitates evadaut Perpa ad Vel permagnae, Prout in serie quaesitae earum dimensiones ascendunt vel de
8. Pleraque ex iis, quae hic traduntur de seriebus ex algebraicis, Buxionalibus & incrementialibus aequationibus deductis aeque ad series ex infinitis aliis aequationibus derivata. appliς ri possunt.
503쪽
B x κ ίx αα xὶ κ x αα ρὶ pro integrali incrementialis aequationis primi ordinis asiumi potest, & sic de infinitis aliis.
Hic autem animadvertendum est, quod tot erunt quantitates invariabiles ad libitum assumendae in serie resultante ab initio, quot sit ordo incrementialis aequationis, Ut constat e praecedentibus. Haec methodus etiam extendi potest ad duas vel plures algebraicas, fluxionales, incrementiales, &c. aequationes tres vel plures variabiles quantitates involventes.
1 o. Hae methodi etiam applicari possunt ad sequationes ex infinitis terminis, & earum fluxionibus, &c. constantes. E. g. Sit sequatio algebraica κ a=-bγη -- cI do - &c. ες inveniri potest γ -
unde a I --β ta consequenter ἰ - π
Si Vero dentur sequationes relationes inter quantitates hujusce lar mulae ἔ κ a K 3 . . Q, earum fluxiones. &c. in quibus numerus saeto
504쪽
Iram continuo augetur, designantes; tum e continuis substitutionibuS, approximationibus, interpolationibus, &c. inveniri potest una quantitas in terminis alterius. Converti possunt algebraicae, filaxionales, &c. sequationes in series, quarum termini secundum praedictas formulas progrediuntur. T H E O R. XXXIII. Cum r sit infinita quantitas, tum ejus fluxiones G. 3, 3. &c.) quorumcunque ordinum erunt infinitae quantitates, i. e. sit F quaecunque functio quantitatis x, &si 3 fiat infinita quantitas, cum x maneat sinita, tum semper F v x; F :x; γ : xy; γ lac. erunt rationes infinite magnae, quarum singula subsequens infinite major erit quam
Idem etiam de incrementis integralium affirmari potest. Ρ R O B. XXV. Da a furionali inquatione P - o variabiles quantitates X, y G ear met mones habente, ubi X G y sunt abscisse V correspondentes ordinatae ad
cur Uam; invenire fluxion iam inquationem Ous comprotos generaliter δε- Ignantem.
a '. Fingatur 3 infinita quantitas, & ex hac hypothesi sint A ter mini qui maximi resultant, B vero termini qui sint maximi ex omnibus reliquis terminis aqq. fingatur x infinita quantitas, F vero finita, deinde sint termini, qui ex hac hypothesi evadant maximi vel . ProXime superiores, respective C& D; tum sequationes A B-ore C in D o designabunt curvas easdem habentes asymptoto., quas
T H E o R. XXXIV. Data praecedente fluxionali aequatione P ο) n ordinis, M literis A, B, C& D easdem quantitates ac in praecedente problemate denovantibus
505쪽
tantibus; sequationis A -- B o inveniatur generalis fluens K o,& si modo invariabiles quantitates ad libitum assumendae eaedem sint in aequatione X o ac in fluente fluXionalis aequationis P - o, i. e. si modo a, b, c, d, &c. correspondentes dati Valores quantitatum x, Τ, x, &c. in una, sint etiam correspondentes valores praedictarum quantitatum in altera K-o; R exinde deducantur valores quantitatis a cum β' evadat infinita, qui sint α. β, γ, &c. 5c si valor π vel ρ quantitatis x, inter quos requiritur fluens, sit major quam radix α vel β vel γ vel δ, &c. tum plerumque haud converget series secundum dimentiones quantitatis x.ascendens; si vero minor sit re Vel ρ quam ulla radix α vel si vel γ vel &c. tum plerumque haud converget series secundum dimensiones quantitatis x descendens. Si vero ita transformetur data aequatio, ut abscisia et ab alio puncto incipiat, tum e principiis prius traditis pro algebr. &c. γequationibus facile constat, ut haud convergent series secundum dimensiones quantitatis et progredientes, ni ut & ρ inter duas Protaimaa radices β & γ
r. Sit praedicta fluxionalis aequatio P - o, & ex ea inveniatur sequatio, cujus radices sint limites inter radices, &c. datae sequationis, i. e. fingatur 3 solummodo variabilis, & inveniatur fluxio datae aequationis, & sil valor quantitatis x pro radice 3 assumptus sit radix inventae sequationis, tum infinite divergit approximatio deducta; ejus convergentia pendet ex hoc, nempe quo magis appro imatio inventa ad unam radicem accedat quam ad reliquas.
ergant, necesse est plerumque interpolare plures series per methodos confundes iis pro algebr is aequationibus prius traditis; sed cavendum est, ne diversiis correctionibus utamur, i. e. ut correspondentes valores variabilium & earum fluxionum semper conveniant. omnia haec etiam ad incrementiales sequationes applicari possunt.
506쪽
3. Haud raro in hisce aequationibus quantitas 3 evadet impossibilis quantitas, & in hoc casu series nunquam converget, ni pro prima approximatione assumatur impossibilis quantitas, cujus possibilis pars
ab possibili, impossibilis vero ab impossibili quantitatis parte hau dlonge distet: hoc in casu valor quantitatis 3 nunquam exprimi potest per serieni secundum dimensiones quantitatis x progredientem, ni x sit impossibilis quantitas. . Sit, A, ubi A sit series secundum dimensiones quantitatis ae progrediens, deinde detegatur series B, quae eXprimit γ in terminis novae quantitatis et, ubi a sit data functio quantitatis x vel funerici quantitatum x&3; tum in multis casibus e data sunctione praedictare casibus, in quibus convergit series A, 5c principiis hoc in capite traditis erui possunt casus, in quibus convergit series I B. P R O B. XXVI. Datis algebraicis, suxionalibus, vel incrementialibus, Vc. repuationibus,
quantitates XV y, Uc. involCentibus; invenire Talorem quantitatis y per terminos quoscunque irrationales Pantitatis X fecundum datam legem progredientes, s modo is per tales terminos exprimi possit.
Primo e terminis, qui maximi stant, datarum aequationum inveniatur primus terminus: α) datae formulae: scribatiar α - ρ pro Fin datis aequationibus, & e terminis resultantium sequationum, qui maximi sunt, inveniatur propinquUS valor quantitatis p datae formula ,& sic iteratis operationibus tandem invenietur series quaesita: vel as sumatur series generaliter expressa in terminis secundum datam fortam in lam progredientibus, scribatur haec series pro I in data aequatione& ejus fluxiones, &c. proj, γ, &c. & e coeruientibus correspondentium terminorum resultantis aequationis nihilo aequalibus esse suppositis erui potest: series quaesita. Ex. I. Sit ructuatio 3 a bc 'x x, invenire quantitatem Fper seriem constantem e terminis formula: a in b x ', assi
507쪽
correspondentes termini resultantis aequationis nihilo respective aequales, do ex aequationibus exinde deductis cUnsequentur sinzis -- I, A
a -- lx ' x, & sic deinceps unde facile constat lex seriei resul
EX. 2. Sit Z - - log. z, invenire integralem Incrementi .
nunc fingatur integralis incrementi esie Z - - - - se
sequenter integralis quaesita erit U Z in tua. α -- Σ Θ
508쪽
hac integrali deducenda supponitur et invariabilis quantitas. Cor. . In detegendis integralibus incrementorum saepe occurret incrementum , cujus integralis supra datur.
a. Si vero requiratur quaecunque functio su) quantitatum a & ω, vel fluens υ) cujuscunque fluxionis e quantitatibus F & x Sc earum Ru 1ionibus compositae. &c. per seriem cujus termini progrediuntur vel secundum dimensiones quantitatis X, Vel secundum quamcunque aliam legem, cujus termini ad summam continuo conVergunt; inveniatur proximus valor quantitatis v, qui sit or, deinde pro u scribatura ses, & ex aequationibus resultantibus inveniatur proximus valor quantitatis p, & sic deinceps usque donec tandem invenietur valor quantitatis v quaesitus. Hae aequationes reduci possunt ad unam, quae exprimit relationem inter variabiles x & ma. Sint vero duae vel plures sequationes tres vel plures variabiles quantitates x , , , Q &c.) habentes; I '. ita reducendae sunt datae aequationes per methodos Prius traditas ; Ut evadant earum variabiles x, y, B, lec. in perParvae Vel Permagnae, Prout rCqUirittar series ascendens ve,
descendens; deinde fiant termini Utrarumque sequationum, qui sitiateχ hypothesi, quod x vel sit perparVa Vel permagna quantitas, maximi, inter se aequales; iis, qui minores sint, abjectis, & exinde deducantur proximi valores quantitatum F, z, &c. in terminis quantitatis x, qui
sint respective a, α, &c. scribantur a p, α - in datis aequationibus respective pro γ, et, &c. & e terminis, qui maximi sint in re sultantibus sequationibus, inveniantur proximi valor quantitatum p, π, &c. & sic deinceps; unde tandem eruentur Valores quantitatum
Aliter: Per praecedentem methodum inveniant Ur proximi valores quantitatum variabilium X et &c. in datis aequationibus contentarum do transformentur datae aequati es, ita ut earum variabiles M m in a F, &c.
509쪽
r, z, dcc. evadant PQrparVN Vel permagnae, tum sint γ AP prope, Effrinae' prope, 5 c.; scribantur hi proximi valores ax &c. pro es. c. in datis sequationibus, & e differentia indicum resutiantium ex line substitutione colligi possunt formulae serierum 3 A x θ- Βω Φm Cω Φρη-μ &c. & z - ax bx ' in ex 'ρ' in dcc. &c. scribantur hae quantitates pro suis valoribus in datis aequationibus, & ex aequaiatis correspondentibus terminis resultantium sequationum consequuntur coem cientes A, B, C, 5 c. a, b, c, &C. Si vero duo proximi valores quantitatis sint Ax , tum assii menda
est , & sic deincepS. . Eadem methodus etiam applicari potest ad fluxionales, integrales, &c. aequationes. e. g. Sint fluxionales aequationes r, s, &c. Iordinum datae, & ita transformentur, Ut evadant variabiles PerParvae vel permagnae; in iis Pro et &γ scribantur αα & Ax', &C. respective,& per praedictas methodos Progrediendum est ; tum plerumque ita singulis resultantibus seriebus continebuntur l -- r -- s -- &c.ὶ variabiles quantitates ad libitum assumendae: aliter; in pnedictis .aequatio-
a Pae d in Ex - - - χη - ς' ', &c. &c. respective ; Rexinde deduci possunt quantitate J, π, &c. in terminis quantitatis κ), quae fluit uniformiter: sed hic animadvertendum est, quod nunquam plures quam I r in s &c. possunt esse invariabiles quantitates ad libitum assumendae.
510쪽
Τ H E O R. XXXVI. Ex iisdem aequationibus vel ad summas serierum vel ad fluentes fluxi
onuna deduci possunt diversae incrementiales vel fluxionales, &c. aequationes, ut e sequentibus constabit; quae autem omnes diversae aequa tiones, si generaliter corrigantur, semper easdem Praebent series.