장음표시 사용
511쪽
- , , maximi termini hujus aequationis sunt---οῦ-, fiantri b x , nihilo aequales, & resultat unde s prope, & aequatio fiet
cadem ac prior F a H- &c. Et sc deinceps. Cor. I. Assumatur fluens A -- B in o, ubi A Sc B sunt quaecunque sanctiones literarum x dc 3, & a in variabilis quantitas generaliterasiumpta, inveniatur quantitas 3 ex hac aequatione in terminis secundum dimensiones quantitatis x progredientibus, i. e. sit A x Exu-m-- Cx - . . . . Ex H- &c. ubi E sit terminus in quem primum ingreditur litera a; inveniatur fluxio praecedentis fluentis Ur o in qua haud continetur a, & ex hac sequatione Per methodos prius datas inveniatura in terminis quantitatis X, quae erit γ AQ
semper eadem evadet ac praecedens.
Hinc facile deduci possunt infinitar aequationeS, quarum series generales, quae exprimunt I in termini. quantitatis x, erunt eaedem. Haec principia facile applicari ponunt ad fluxionales aequationes superiorum ordinum, vel ad fluxionales sequationes plures variabiles quantitates & earum fluxiones habentes. Cor. a. Series, quae exprimunt generalem valorem quantitatis r interminis vero secundum dimensiones quantitatis x progredientibus,
512쪽
eaedem inveniuntur e diversis sequationibus A B - o, A-- Γ -
fluxionalis quantitas superioris ordinis quam quantitas L. Ρ R O B. XXVII.
Ex datis relationibus inter valores X U Z incognitae quantitatis X infer summas duarum serierum refultantium; invenire coe cientes ipsius seriei. Sit summa seriei hujusce formulae a x --δα- -c x -- &c.
inveniatur valor R) ejusdem seriei, cum x evadat sa) quaecunque
& exinde deduci possunt coefficientes a, b, c, &c. quaesit Ex. Cum x evadat a x m z, tum series ax -- bx ' in&c. evadat sax in br' &c.)φ; in data serie pro x scri
513쪽
514쪽
sultant et a 2a; et b se a M- b, unde b - - - & ψb-8c ac,& consequenter c - - ; &c. Et sic progredi liceat ad plura & magis generalia exempla; etiamque ex resolutionibus inter plures successivos terminos ad seriem de
a. Sint V R V datae functiones quantitatis x, i. e. V X Sc W- X invenire V in terminis quantitatis IH Reducantur duae sequationes V x & W- x ad unam, ita ut exterminetur x, & resultat sequatio quaesita. Aliter: Sit Vinax b x '' -- c α' μ' in &c. & IV - - - -- σευ . &c.; tum erit V A WV - - - - CiV -l-&co in hac sequatione pro V& IV scribantur earum valores ax &c., - &c.; & aequentur correspondentes termini aequationis resul
Si exponentiales, fluentiales, &c. quantitates in praedictis aequa
tionibus V ax -- &C. M Wα- σα - &C. Contineantur; tum Plerumque ita reducendae sunt exponentiales, fluentiales, dcc. quanti
tates, ut progrediantur secundum dimensiones perparvae quantitatiso, & deinde per methodum hic traditam acquiri potest problematis resolutio. P R O B. XXVIII. Reducere datam seriem ad factores. Sit series ax b x Φ' - c x ' ' -- &c.: assumantur factores, qui ad series reducti praebent series ejusdem formula: ac data series, do qui in sese continuo ducti continent tot saltem incognitas θοῦ independentes coefficientes, quot resultant termini destruendi. . Nnn
515쪽
requentur correspondentes termini & resultant aequationes e' κ e '' κ e 'κ &c. m e e &c. f m. &c.s &c. dira & sic deinceps: hic plures involvuntur incognitae id independentes coemcientes quam resultantes aequationes, & consequenter facile erui possunt co-essicientes, quae solutionem Problematis Praebent.
Eadem principia etiam applicari possunt ad quantitates in quibus
incognitae quantitates continentur.
Data aequatione quantitatem v involvente; ubi v sit quaecunque quantitas, quae e data quautitate x deduci potest; invenire valorem quantitatis x. 1. Primo inveniatur a proximus valor quantitatis x, scribatur quantitas a pro x in data sequatione, & sit quantitas resultans A; deinde scribatur a --- π ubi or sit perparva quantitas) Pro x in data aequatione, & sit quantitas resultans B; tum erit A - B: A :: unde erit propior approximatila ad quantitatem x, & sic redintegrata operatione propior adhuc constabit valor quantitatis x. a. Si Voro duo valores quantitatis x sint prope quantitati o S In
516쪽
ter se aequales; tum scribendae sunt pro x in data sequatione respective a, a H etsi a 2 π; & sint qUantitates resultantes respective A, B, C; erunt duae radices quadraticae aequationis A - a B -- C)ey- C - B ε 3 A) dire in Aπ' O, qum strat α te propiores approximatim es ad duos valores quantitatis x praedictos, i. e. a - α &a - β erunt prope duo valores quantitatis si autem α multo mi
517쪽
radiceS.L.x hujusce seriei facile constat ex observatis ipsius terminis. Si vero a, a -- π, a -- ρ, a - - ο', &c. sint multo propiores ad unam
518쪽
exprimit quantitatem v terminis vero secundum dimensiones quantitatis z progredientibus ex data aequatione relationem inter x &3 exprimente, ubi literae et & v respective denotant quascunque functiones vel algebraicas vel fluentiales, integrales, &c. literarum x&F. a. Datis m sequationibus m incognitas quantitates x, F, z, 6 c. habentibus, sint vero α, β, γ, &c. proximi Valores incognitarum quantitatum x, γ, &c. respective inter se correspondentes ; assumantur n-FIdiversi valores quantitatis A , ViZ. α, α - π, α -- π, α -- - , &c. &c.& sic assumantur n -- I diversi correspondentes valores quantitatis 3 qui sint respective β, β -- ρ, β - έ, β -- ρ', &c. & sic de reliquis, ubire, O ος, &c. ρ, ρ , ρ', &c. sunt Perparvae quantitates ; scribantur α, β.&c. α - - π, β - - ρ, &c. α et , β -- f, &c. &c. Pro suis valoribus , ,
γ, &c. in datis aequationibus, & resultent quantitates A, B, C, &c. respective in una sequatione; P, R, &e. in secunda, &c. & resulta
519쪽
hρ -P-R in o erui possunt coefficientes stat; quibus datis fingantur ae bi - Α-o, he hi P o, e quibus eruantur valores quantitatum e & i, & erunt α e&β i Propiores valores
quantitatum ae &In his substitutionibus cavendum est, ne aequationes resultantes a se invicem sint dependentes. In his casibus saepe praestat asi mere οι - o, β - ο, γ o, &c. cum x evadat α, tum T QVadat A; etiamque cum x evadat α---m , tum P
a. a. Si vero duo vel plures Valores quantitatum b , &c. sint β,&c. prope; tum e pluribus assiimptia respondentibus valoribus quantitatum x, &c. pro suis valoribus in datis aequationibus substitutis; ta ex principiis iisdem, quae in hoc prob. & in meditat. algebr. traduntur, facile consequi possunt valores ad veros valores magis aP propinquantes. Et
520쪽
Et sic de n sequationibus plures n-- m incognitas quantitates hahentibuS. Convergentiae harum serierum pendent omnino ex iisdem principiis ac convergentiae serierum prius traditarum. Hic observandum est, si quantitates resultantes praedictae haud crescant vel decrescant ultimo in eadem ratione ac istae minimae diseferentiae quantitatum ipsarum a veris valoribus, tum ex hac methodo haud deduci potest resolutio; ex hypothesii ultimarum rationum inter praedictas differentias & quantitates resultantes sequitur resolutio.
&c. convenientes com Putando, & exinde aggregatum e singulis valoribus seriei xx - . P--μ ε α Τ &c. detegendo, quod erit γ fluens quaesita.
Τ H E O R. XXXVIII. Sint a & b simul valores quantitatum x &F respective ; 5c sit 3 fuit