장음표시 사용
81쪽
1ientiales superiorum ordinum quantitates, tum eius fluens, terminis ipsis inter se comparatis, facile deduci potest: si vero sit exponentialis Primi ordinis, tum vel e terminis ipsis inter se comparatis; vel si hoc non Valeat in quibusdam casibus, ex continuis approximationibus deduci potest fluens quaesita. E principiis pro detegendis irrationalium & fluentialium fuditonum fluentibus, datis ελ semper inveniri potest fluens cujuscunque fluxionis, quae continet irrationales, fluentiales & exponentiales quantitates. Ex. I. Sit data fluxio D n - a) X γ- a ' bo in log. y κ Γ κ
In hac fluxione unica exponentialis invenitur, Vi Z. f; ergo nulla alia continetur in quaesita fluente: sed log. F x bo ducitur in n= I . I ' - &c. F - I ; ergo per problema fuens, si modo exprimi possit finitis terminis, erit V X I- Ι . Ex. a. Sit data fluxio x; fluxio vero quantitatis et est log. O m) ex ; ergo pro fluente quaesita assumatur Ne κα - α, cuius fluxio erit Nm I x' x data fluxio, si modo N- ) - - n IN S x' ω- ὰ, unde ἀ n Nea mk; R sic iterata operatio ne assuma ir pro α quantitas - λ ω sic deinceps; & tandem resultabit fluens
inVζniatur fluxio, & resultat 2 Qx silata fluxio) H- m pα 'unde α --& sic iteratis operationibus invenietur series
82쪽
quae temper in infinitum progreditur. ubsequenti modo hoc exemplum aliter resolvi potest: assumatur Pr qu ebita fluente quantitas Q κ AH Bx ' in C ' - &c.) Mi aequetur ejus fluxio datae, exinde resultabunt coefficientes quaesita:
&C.: Pro ejus fluente assumenda est quantitas Aa bx
ddix, erru potest fluens fluxionis datae. Cor. Sit data fluxio xx, ubi X est functio quantitatis in ea Droscribatur qu cunque fluentialis & exponentialis quantitas, & eiis, uxio Pro x; & resultat fluxio, quae reduci potest ad Priorem xx. T II E O R. II. r. Data quantitate A, in qua continentur duae variabiles quantitates x & γ, sit elus fluxio A ax in byn inveniantur fluxiones queiantitatum a & quae sint respective a - ακ sis ό
x θ, α, β, π, e sunt functiones literarum x & γ, .um erit is P
83쪽
solummodo supponatur variabilis; & A evadat B; deinde in quantitate B tantummodo supponatur quaecunque reliqua vel γ vel Z vel x &c. variabilis, & B evadat quantitas C ; tertio quaecunque adhuc reliqua quantitas, i. e. quae non prius supposita fuit variabilis, & evadat Cquantitas D; & sic deinceps: & si ultima quantitas semper evadat eadem; annon haec Vel illa vel quaecunque alia I '. supponitur esse invariabilis, & sic deinceps ; i. e. si non refert, qUO ordine quantitates supponuntur variabiles; ultima enim quantitas semper eadem resultatat: tum eius fluens exprimi Potest: sin aliter vero non . a. i. Sit fluxio A Ordinis n) duas Vel tres vel plures variabiles quantitates c.) & earum fluxiones n ordinis continens, i. e. sit
84쪽
supponantur omnes quantitates praeter x esse invariabiles & erit P fluxi. n- 1 ordinis quantitatis ax; deinde supponantur omne.
quantitates praeter F esse invariabiles, & erit flux. n-I Ordinis quantitatis αγι & sic de reliquis variabilibus quantitatibus.
cile constant reliqui termini; & vice versa e datis terminis inveniri potest, utrum fluens datae fluxionis sit integrabilis, necne. 3. 3. Inveniatur fluxio n - i) ordinis fluxionis ax -- αγ &c.;& si haud eadem evadat ac data fluxio sn) ordinis ; tum fluens datae fluxionis non integrari potest: si vero eadem sit, tum per praecedentem casum inveniatur, an non fluens fluxionis a x -- αγ &c. integrari potest ; si integrari possit, tum fluens datae fluxionis etiam integrari potest; sin aliter non. 4. Data quantitate continente duas variabiles quantitates κ&γ: I '. assumatur x tanquam invariabilis quantitas, & inveniatur α) fluxio ordinis m quantitatis s/; deinde in fluxione α) ordinis mTesialtante asstam antiar F, F, F, .... & γ tanquam invariabiles quantitates, & inven:atur fluxio ordinis r fluxionis α): fluxio resultans eadem erit ac fluxio inventa e subsequenti methodo, vi Z. assumatura
tanquam invariabilis quantitas, & inveniatur fluxio E) ordinis P quantitatis A, deinde in fluxione sig) ordinis r) resultante assumantur π,x, x, &c. tanquam invariabiles quantitates, & inveniatur fluxio Ordinis m. fluxionis β). dum etiam verum est, i. e. fluxiones resultanteS erunt inter se aequale , si modo fluxiones ordinis m-- r) quantitati inveniantur, i. e. inveniantur respective m r) fluxioneS A, A, A . . . a quarum quaecunque r nuxiones inveniantur ex h pothesi quod 3, γ, F, E a sint
85쪽
sint invariabiles quantitates; m) vero reliquae, quod π, x, x, &e. sint invariabiles quantitates. Minime refert, quo ordine inveniuntur fluxiones praedictae. s. Eadem etiam affirmari possunt de fluxionibus quantitatis A tres vel plures variabiles quantitates habenti . . s. a. Consii milia etiam Praedicari possunt de fluxionibus quantitatis A in qua continentur fluxiones superiorum in in ordinum quantitatum variabilium x, γ, z, &c. . Minime enim refert ordo, in quo deteguntur fluxiones; ex hypothesii quod x vel 3 vel Z &c. sit invariabilis.
6. Invenire generaliter, annon data fluxio cujuscunque ordinis msit intemrabilis; 1'. assiimatur quantitaS M tanquam generalis functio quantitatum x, y, Π, π, &C.); deinde Inveniatur fluxio ordinis
m) quantitatis A , & sequentur correspondentes datae & inventae nu-xionis termini: si hoc non fieri possit, tum fluxio data non erit integrabilis. Hic animadvertendum est, quodsi v K Q x &c. κγ κγ κ &c.κ ὼ κ ου κ &c. - Γ M N X P κ κ &e. κ κ κ &c. κ P κ α' κ &c. - Δ sint duo termini resultantis fluxionis Ordinis mὶ ; & utriusque P Ω Δὶ inveniantur fluxiones ex hypothesi aliquando ut x sis Iummodo sit variabilis, & aliquando ut X Vζl x, Vel x, Vel &c., vel γvel 3 vel 3 vel &c., vel Z Vci z Vel z Vel &c. solummodo sit variabilis. ita ut duae resultantes fluxiones contineant eundem fluxionalem terminum P κ Θ κ κδεκγη κ &c. κ Θ κ of κ &c. re, & sint fluta xiones resultantes R κ H & S κ μ ubi R dc S sunt algebraicae functi ones quantitatum x y, π, &c- tum erit R : S in data ratione, qua ratio facile deduci potest: si hanc semper obserVCnt rationem consit miles quantitates ex iis in data fluxione contCntia deductae; tum fluaxio integrabilis erit; sin aliter Vero non . Si Q , ,&c. habeant maximas dimensiones praedictarum fluxionum x, A, dcc.; I, &c. in duobus terminis Γ dc Δ; tum in fluxionali
86쪽
termino Π haud necesse est, ut fluxiones x, x, &c.; γ, tac. aa m JQ res dimensiones ascendant. PROB. VII. I. Data suxione duas variabiles x G y quantitates invoDente, invenire ejus fluentem. Assumatur x tanquam invariabilis quantitas, & inveniatur fluens quantitatis resultantis ; deinde assumatura tanquam invariabilis quantitas, & inveniatur fluens quantitatis exinde resultantis ; & si hae duae
fluentes omnes functiones, in quibus continentur duae incognitae quantitates x &γ), easdem habentitum fluens ejus invenitur ι aliter vero haud inveniri potest. Ex. I. Sit fluxio 6γs -- 63 a' in xy)) X γ -- 3 x' --κ x, invenire ejus fluentem. I '. Supponatur x esse invariabilis ; tum transformatur data fluxio
o a' κφ): aqq. vero supponatur 3 esse invariabilis, & fluxio resul-tRn. erit 3 xη es, , cujus fluens invenitur x3-- 3I o a' -- α'); sed fundito 3γη a' --- α φ , in qua continentur duae incognitae quantitates x & γ in utrisque fluentibus eadem est; ergo
fluens inveniri potest, di erit 33φ aφ-xφὶ --γο - x3. Ex. a. Sit data fluxio 9x γ x in I 6 Ufr; supponatur 3 esse in- Variabilis, & resultat fluxio 9 x'3'x, cujus fluens est 3 x' y' ; deinde supponatur x esse invariabilis, & resultat fluxio Ix'j, cujus fluens ςst sed a , ' γ' est functio in qua continentur literae x & 3 inund nuxione, & 4x' γε in altera: hae autem duae functiones haud sunt e dem, ergo fluens datae quantitatis haud inveniri potest.2. Data fluxione tres vel plures variabiles quantitateS x, F, π, π,&c.) habente, cognosci potest e praecedente methodo, utrum ejus fluens inveniri
87쪽
inueniri potest, necne: assumantur omnes variabiles quantitates praeter unam tanquam invariabiles, & quantitatis resultantis inveniatur fluens, & sic de reliquis ; Κ si hae fluentes resultantes easdem habeant functiones duarum vel plurium variabilium quantitatum I, &c.ὶ tum ejus fluens inveniri Potest, sin aliter vero non.
ax a H f D', tertio supponatur x solummodo esse variabilis, & resultat fluxio x z - au' Sex' xx, cujus fluens est xj et a='x' a in x' fὶ ex' j x : in histribus fluentibus terminus in quo continentur omnes literae V y, x idem est, viz. x fae: in duabus Posterioribus fluentibus termini, in quibus continentur duae literae x & ', iidem sunt; viz. a γ' x Mα U f); unde fluens datae fluxionis invenitur Hryz-- στ ' -- et H γ'ὶ bγ' ex' A, ubi litera A denotat quantita tem ad libitum assumendam. Cor. Haec methodus haud solummodo detogdi, an non fluentes exprimi possunt; sed etiam fluentes ipsas; exhinc etiam facilius inveniri possunt fluentes fluxionum suPζriorum ordinum, maxime vero. ex iis observatis, quae in theor. a. il adita fuere. 3. Si vero, cum affumantur omne. quZnt,t tQS praeter unam tanquam invariabiles, fluentes resultantium stu tonum haud per vulgares methodos cognosci possint; singula resultans fluxio in infinitas senes
88쪽
vero utriusque seriei, in quibus continentur literae iidem sunt; ergo fluens datae fluxionis inveniri potest. Et sic de fluxionibus tres vel plures variabiles quantitates involventibus. Haec principia etiam ad detegendum, annon fluentes fluxionum superiorum ordinum exprimi possunt, facile applicari possunt. P R O B. VIII. I. Datis correspondentibus valoribus datae siuentis Usingularum variabilium quantitatum in ea contentarum, eam corrigere. Scribantur dati valores singularum variabilium quantitatum Pro
suis valoribus in data fluente; & quantitas resultans sit B; sit vero correspondens valor fluentis A; & addatur differentia A B ad data tam fluentem, & summa erit correcta fluens.
Ex. I. Sit fluxio ax x, cujus fluens est ; cum vero x fiat nihilo aequalis, fiat praedicta fluens A: scribatur pro x ejus valor o in
data fluente & resultat B ο; & exinde nuens correcta erit
89쪽
EX. a. Sit fluxio a in xy 3φὶ xx 1j, cujus fluens est x- Sint correspondentes valores quantitatum x & Τ, & datae fluentis respective α, lῖ & A; scribantur in data fluente pro incognitis quanti
quenter fluens erit x' - 'I' -Φ' Α- D. EX. 3. Sit fluxio sbes 'γ- - s.f-Ιbs b*-Fr .r--Ia in x ejus fluens erit sbae 'γ rax 'x, si modo fluat Uniformiter x; praedicta methodo scribantur pro x, γ, x, F earum correspondenteSvalores, & quantitas resultans sit H; sit A correspondens valor datae fluentis, & erit comina fluens s b=' r a x x -- Α- B Cωὶ quoniam x est data quantitata FluXionis vero sbγ 'b rax ' ω--Cx fluens erit D inax in Cx, corrigatur haec fluens; & erit correcta fluens bf -- a x C x -- D, ubi D inVariabilem quantitatem praedicta methodo acquisitam denotat. Et sic in genere de correctionibus. fluentium hujusce generis. Cor. I. Sit m minor quam n; & data fluxio n ordinis, cujus fluens
) ordinis m) erit fluxio ordinis. sn-- m): sit v quantitas, quae fluit laniformiter ; & literae A, B, C, D, . . P, e invariabiles respediive de- . notent quantitates ; & erit correcta fluens m) ordinis in is .4
90쪽
FLUXIONUM FLUENTIBUS. Ita sic deinceps: hic literae A, B, C, D, E, &c. respective denot ni
invariabiles coefficientes ad libitum assumendas. P R O B. IX. Datis m valoribus datae suentis et ) ta correspondentibus valoribus singularum variabilium sy, et, &c.) quantitatum in ed contentarum, inUenire ejus fluentis m ordinis correctionem. Scribantur clati m Correspondentes valores singularum variabilium
quantitatum in data fluente pro quantitatibus ipsis, & sint quantiatates resultantes respective ξ, σ, τ, υ, &c. Sint Vero m dati valores datae fluentis respective a, b, c, d, &c. & assumatur pro correcta fluente si modo x fluat uniformiter) quantitas π Ax' ' - B. . P π ubi literae A, B, C, &c. incognitas & invariabiles denutant quantitateS. Sint m valores quantitatis x, qui correspondent m) datis valoribus a, b, c, &c.) datae fluentis su) respective α, β, γ, δ, &c. & resultant m
tes; quae ita reduci pollunt, ut inveniantur valores incognitarum quantitatum A, B, C, &c.); & conficitur Problema.
1 H E O R. III. In corrigendis fluentibus fluxionum XX eaedem radices semper adhibendae sunt: e. g. si1 -4- ubi A est functio variabilis quan-xitatis κ) in fluxione occurrat; tum in fluentibus correctis etiam adhi-hςnda est, sed in ejus locum minime substituenda est radix A): in ςdiculo enim fluentium non datur saltus, nempe nulla datur mutatio in radicibus. In corrigendis fluentibus, i. e. cum substituantur a & b, 5ec. pro variabili x in generali fluente, in quantitatibus resultantibus esedem radices semper correspondenter usurpandae sunt.. F