장음표시 사용
531쪽
&c., deduci possunt integrales vel summae omnium serierum praediactarum formularum.
possunt summae omnium aliorum incrementorum vel serierum earun
532쪽
1)ρ κ &c. κ &c.; tum resultat Posterior generalis terminus : hinc ex re ρ ο' - &c. integralibus Vel summis inter se independentibus serierum, quarum generales termini sunt praedicti, viz. ex integralita
533쪽
Cor. . Hinc facile inveniri possunt innumerse series, quarum generalis summa innotescit. Astumatur enim quaecunque funinio quantitatis z pro summa C, & differentia inter duos eius successivos valores, i. e. inter s & r, ubi I sit Valor, qui resultat scribendo in data functione et in I pro et , invenietur terminus quaesitus, i. e. s- , - t. G b ea. Sit generalis terminus x ' in
- &c. erit summa aequalis Q in
designant coessicientes terminorum praecedentes eos, in quibus repe-
&c. deinde scribatur S-TPro S & z 1 pro z, & resultat S-T. . . A B D
z. et in I . z- α ι ς - ic denique valor ipsius T collatus cum
534쪽
erui potest ejus integralis in seriebus secundum dimensiones quantitatis η progredientibus. A
535쪽
. Haec sacile demonstrari possunt e scribendo Σ & Σ- 1 pro z in integrali assumpta, & duarum quantitatum resultantium differentiam inveniendo, quae erit generalis terminus datus. In omnibus hisce casibus, si aliquis factor contineatur in denominatore, qui non habet alium ab eo per integrum numerum distantem, tum non integrari potest data series. Et sic de terminis diversas exponentiales quantitates involventibus. P R O B. I.
I. Datia aequatione relationem exprimente infer successisas summas S, s
P, Uc. datae seriei, ejus successivos terminos t, i , t , oec. ta quantitatem g distantiam a primo seriei termino, Azenire αἱ tionem inter jummas successisas ta Z. Pro terminis f, t &c. in data aequatione scribantur eorum valores s - , , s'- s - s &c. & resultat aequatio quaesita. a. Data praedicta aequatione, in Venire sequationem relationem in ter l, t , t , &c. 5c z exprimentem: in data aequatione pro summis LP, s &c. scribantur 1 -t, s - t - 1 - t - t - t', lec. & habe
bitur sequatio A o, in qua solummodo continetur summa s; inveniatur incrementum hujusce aequationis sa o) quod sit sequation in o: aliter in sequatione A o) pro s scribatur s - t, do pro i, &c. scribantur L i &c. & pro z, z H- I, &c.; & resultat sequatio C - ο), in qua etiam solummodo continetur summa s, reducantur duae aequationes A in o & C - ο, vel quod idem est A o & B - ο in unam, ita ut exterminetur s, dc resultat aequatio quaesita. Cor. . Hinc facile deduci possunt infinitae series, quarum summae dantur ι assumatur enim aequatio ad summas, & ex ea deducatur sequa
536쪽
sultat aequatio ad terminos sa - n)t a t 3. Datam praedictam aequationem A ο) in alteram transfo mare, in qua deficit z: inveniatur incrementum A o datae aequationis ex hypothesi quod et in I; reducantur hae duae aequationes A et o&A o in Unam, ita ut exterminetur z, & evadet aequatio quaesita. . Ex datis relationibus inter successivos terminos, invenire relationes inter successivos valores functionis quantitatis et distantiae a primo seriei termino, quae praedictos terminos denotant. In datis relationibus pro t, L L, &c. scribantur respective φ :z I, cp: z- - a, &c., & resultant aequationes quaesitae.
Cor. . Datam sequationem relationem inter successivos termino; dc summas exprimentem in incrementialem transformare; pro s. f&c. t, H, &c. scribantur respei nive earum Valores, & transsor matur data aequatio in incrementialem, cuius integralis vel erit s vel , & ice versa data incrementialis aequatio, cujus integralis est s,
537쪽
transformari potest in aequationem relationem inter successivas summas, terminos, &c. designantem, scribendo in data sequatione pros, s, s , &c. earum Valores in hoc theoremate assignatos.
PROB. II. Detur inquatio relationem inter succes has seriei summas 8, 8 , Uc. N et distantiam a primo seriei termino exprimens; invenire, utrum summa S ad infinitam di antiam sit ita, necne.
Inveniatur ex data sequatione series descendens, quae exprimit summam S terminis vero quantitatis z, i. e. sit series az &c. - AB E -- &c. ubi m sit assirmativa quantitas, ser Vero negativa quanistitas, tum series ad infinitam distantiam erit infinite magna: sit m - o, & consequenter series A -- ΒΣ -- CQ - &c. ubi r &- s, &c. sunt negativae quantitates, tum summa ad infinitam distantiam erit finita, viz. - A; si vero sit praedicta series Ce --&c. tum erit summa ad infinitam distantiam infinite parva. Et sic e data sequatione inter successivos terminos relationem exprimente & principiis prius traditis detegi potest, utrum summa sit finita, necne. Τ H E O R. III. Sit data sequatio relationem inter successivos seriei terminos T, T
&c. & summas, &c. exprimens ακβκγΝ &c. - o; tum erunt α o, β - γ o, &c. respective diversae sequationes, quae diversas series datae sequationis denotant. E. g. Sit sequatio data QTη - - Ση - - E
538쪽
bit terminus T vel summa S , cujus ordo n sit maximus; tum in serie ejus summam S exprimente, assumi possunt quaecunque n in Iinvariabiles quantitates ad libitum assumendae, &c. Hic ad series applicari possunt omnia, quae Prius tradita fuerint de pluribus n) fluxionalibus vel incrementialibus aequo ionibus plures nH- 1) variabiles quantitates habentibus, & earum correctionibus,
S , S , &c. D, T &c. &z I,& resultet aequatio Γ o , tum generalis series, quae sit radix aequationis rA -- B M o, ubi r sit quaecunque invariabilis quantitas, haud eadem invenietur ac series, quae erit radix sequationis B - o. a. Sit praedicta sequatio data A a, & resultans B - θ; tum haud eadem erit radix generalis aequationis BA b M ac aequationis B - b.
Constant e theor. 9. libri secundi. P R O B. III. Data inquatione A in o relationem exprimente inter terminos T, V, T , Ue.) datae seriei secundum dimen ones quantitatis X progredientis, in- Cenire inquationem relationem interjucce, vos editas fluxi Ii terminos si, t , Usi) defignantem. I. In aequatione A o pro z distantia datae seriei termini a primo scribatur z--1, & pro T& T scribantur respective T & T ; datae aequationis Actio & resultantis 29 j o inVeniantur nuXiones α - ο & rino;
539쪽
t, & i' ; reducantur hia sequationes ad unam, ita ut exterminentur quantitates T & T & 2 ', & resultat sequatio quaesita. a. Si vero plures termini T, T p , ... T in data aequatione contineantur, tum inveniantur n- I successivi valores datae sequationis scribendo in ea z I, et in a. . .et: - n-I; T . . . r; T', τ', . . I ; &c. succe ve pro z, T , T &c. & investigentur eorum fluxiones & exorientur n novae aequationes ; in his aequationibus pro f, T , T ,&c. scribantur respective i, &c. & reducantur hae a n aequationeSad unam, ita ut e&terminentur quantitates et, Γ, Ι', &c. & resultat aequatio quaesita. Et sic de inveniendis sequationibus relationem inter successivos terminos serierum exprimentibus, quarum termini algebraicam vel fluxionalem vel incrementialem habeant relationem ad successivos terminos, inter quos dantur aequationes relationes CXPrimentes.
invenire aequationes ad terminos in astera. Scribantur S - S - T - &c. s - t, s - t - r, &C. Pro SM, &c. I, P, &c. respective in datis sequationibus; deinde in aequa tionibus resultantibus progrediatur e relatione variabilium praecedente ad subsequentem, i. e. scribatur S - T pro S & s - f pro s; & ', &c t , &c. respective pro T, T, &c. t &c. lac. & ita reducantur per vulgarem algebram data: & resultantes aequationes, ut exterminentur S & s; deinde per methodos prius traditas ita reducantur hae sequationes resultantes & aequatio ad terminos in alterutra, ut exterminentur T, T la resultabit sequatio relationem inter l, t , &c. designans.
540쪽
Et ex iisdem principiis & data vel datis sequationibus relationes
inter successivas summas & terminos exprimentibus erui possunt aequationes relationes inter successivas summas vel successivos terra nos solummodo exprimentes. P R O B. V. Distis duabus serielus, i. e. methodo in utendi terminos resinimos edata eorum Asantia Z a primo seriei termino; inUenire relationem infὰρ terminos correspondentes duarum serierum. Scribantur pro correspondentibus duarum serierum terminis re spective T & t& dentur duae aequationes i elationes inter a & T, &z & t respective exprimentes; reducantur hae duae aequationes ad unam, ita ut eXterminetur et, & resultat sequatio relationem inter T& t exprimen S.
E ἡ Δ Vςducant Vr h. Nquationes, ita ut exterminetur E& resultat aequatio e GH- Tt - I. Cor. . Data sequatione relationem exprimente inter distantiam a
primo seriei termino sa) & terminum ipsum T), & data sequatione
relationem exprimente inter correspondentes duarum serierum terminos T& t); invenire sequationem relationem inter et des exprimen tem; reducantur duae sequationes relationem inter z R T, T & t ex Primentes ad unam, ita ut exterminetur T, & fit corollarium. Et sic de relationibus inter terminos, &c. Plurium aequationum deducendis.
P R Ο B. VI. Dutis duabu; seriebus; invenire, annon earum furumae datam hab H inter se generalem relati nem.