장음표시 사용
541쪽
In data quation Q ζδpri pente relationem inter S R s duas summasqucessitas, scribantur pro S & respecti e earum successivae correspondentes summae S - 27 6 t, modo T & t sint successivi dati termini uiriusque seriei respective; scribantur etiam in datis seriebus pro S - 2 , & pro s, s - t, &c.; & si eadem adhuc resultet relatio inter
S & s; &c.; tum datur relatio inter praedictas summas; sin aliter
Ρ R O B. VII. Invenire seriem, cujus summae Jucce Ra s) quamcunque habeant relationem ad summas successum S datae seriei.
In data sequatione relationem eXprimente pro S scribatur ejus valor successivus S - T, si modo T sit proximus terminus datae seriei; ex sequatione resultante inveniatur proximus valor summae seriei quaesitae s, & differentia inter duas successivas summas erit terminus seriei quaesitus.
T H E O R. VI. i. Summa Sin nullius seriei exprimi potest per algebraicam aequationem inter praedictam summam S & quantitatem x, secundum cuius dimensiones progreditur series, relationem designantem; ni dimensiones quantitatis x vel earum differentiae denotari possint per unam vel duas vel denique n finitum numerum arithmeticarum serierum; etiamque, si modo z denotet distantiam a Primo datae seriei termino, ni terminorum ipsorum coessicientes exprimi possint in ra tionalibus terminis literis z; etiamque, ni differentia inter dimensio nes quantitatis et in eorum numeratore & denominatore contentas,
eadem sit; si vero detur sequatio inter successivos datae seriei terminos relationem exprimens, ni differentia praedicta eadem manet. a. Summa nullius seriei exprimi potest per fluxionalem sequationem relationem inter praedictam summam S la quantitatem x, secundum cujua dimensiones progreditur series, designantem; ni dimensi
542쪽
ones quantitatis x vel earum differentiae exprimi possisnt per unum vel duo vel denique n numerum arithmeticarum serierum; etiamquem coefficientes exprimi polint in rationalibus terminis litetae z, dccisterentia inter dimensiones quantitatis et in denominatore & numeratore contentas eadem maneat, vel uniformiter augeatur vel minuatur: eadem etiam affirmari positi ni de seriebus, quarum relationes per algebraicas aequationes inter successivos terminos designantur Haec vero principia applicari Possunt ad deducendam unius seriei summam ex altera, &c.
543쪽
nos designante; pro n-I) terminis assismi possunt quaecunque datae quantitates; ergo in hoc casu ita assumi Possunt n-I Primi termini ut numerator sit divisor denominatoris, & consequenter series praedicta a in bx- - cxφ- &c. ' i & sic assumi possunt n i) primi termini, ut series a se bx - cx- - &c. resultans ex aequatione se
544쪽
s t zy t zy o, & exinde per prob. erit summa quaesita prope
Et sic sit ultima relatio, i. e. relatio ad infinitam distantiam si Τ t -- r t o, bc erit summa terminorum longe distantium
p ρ- - i ς- M in Milyantia a Primo sit Permagnus numerus :& ex iisdem principiis ulterius promotis corrigere liceat approximationem inventam. Constat e scribendo i & t pro a & b, & 1 pro x in hujusce problematis resolutioneia
'; sed e Iem. cap. a. lib. I. dividi potest haec fractio in n subsequentes &c.
2. Sit ultima relatio terminorum praedicta pi in P - r in O; dividi potest per praecedentem methodum series ejus in n alias quarum terminorum longe distantium summa aequat terminum se xiei, cujus relatio datur : vel Ob a - - bx a' in m main lae
545쪽
in &c. & quomam ad infinitam diitantiam eadem invenietur relatio inter successsivos terminos seriei a bx ex ixi is T Pis, ubi numerator terminat, quicunque sit valor indicis m, exinde dividi potest summa seriei
multis modis in plures alias, &c. Et sic de pluribus consimilibus methodis.
g. Convergentiae serierum, quarum dantur sequationes relationes inter successivas summas & terminos exprimentes, deduci positant ex principiis de convergentiis incrementialium aequationum traditis, vel nonnunquam ex convergentiis terminorum ad ' infinitam distantiam positorum.1 H E O R. X. sit T generalis seriei functio quantitatis et distantiae a primo seriei termino, tum ejus summa per eandem methodum omnino investiganda est ac integralis incrementi, quod est eadem functio quantitatis P, cujus incrementum est I. ΥHE O R.
546쪽
Sit aequatio A in o ad summas, n habens invariabiles quantitatessa, c, d, &c.) ad libitum assumendas ; dantur n diversae aequationes relationes inter T & vel T & T. &c. exprimentes; dantur etiam
mentes 1 & sic deinceps. Inveniatur successsivus valor B in o) sequationis A ο); scribendo in ea pro z, in I; pro S, & sic deinceps; ita reducantur
duae aequationes A in o & B o ad unam, ut exterminentur quantitates a, b, c, d, Scc. successive; & resultabunt n diversae aequationes 1 invariabiles quantitates ad libitum assumendas habentes; tum ita reducantur hae resultantes aequationes, ut exprimant relationes inter successivos terminos T & ri & invenientur n diversae aequationes
praedictae. Et sic de reliquis. Τ H E O R. XII.
Data sequatione relationem inter successivos terminos exprimente,& e Prob. 18. lib. a' . constat semper dari multiplicatorem, qui in datam sequationem ductus Producet aequationem, cujus summatio
innotescit. Cor. I. Si detur aequatio A const. quae sit summatio generalis sequationis B o. Ex incremento aequationis A m const. inveniatur aequatio ad ter-
minos C o; tum erit B unus multiplicator, qui reddit aequationem B in o summabilem. Cor. a. Si generalis summatio sequationis a T - b T e T-a...fr ingT b T O subiet , , ... T , T 'sunt termini successivi, & a, b, c, . . . ,ς, b sunt functionea ipsius et di stantiae a primo vel quocunque alio seridi terminoὶ innotescat, tum innotes-
547쪽
cent diversi multiplicatores, qui eam reddent summabilem; sint 'tiρ, σ, τ, &c. iunctione. quantitatis z ; tum στ, ρ, σ, τ, &c. erunt etiam multiplicatores, qui reddent aequationem a T' -- bT' -- e T ' . . . yg a b T Z summabilem, ubi Z est quaecunque functio ipsius z. Hic applicari possunt omnia, quae prius traduntur de transformatione, &c. incrementorum incrementialium aequationum, &c. facile enim mutari potest incrementialis aequatio in aequationem inter successivos terminos, &c. P R O B. IX. Invenire feries, quin summationem recipiunt. i. Assumatur series quaelibet unitate determinata sutrum sit accurate summabilis necne, nihil refert, modo ejus termini ad nihilum perpetuo convergant); e qua seriem eandem termino suo primo, vel terminis duobus primis, Vel terminis tribus Primis, &c. multatam subtrahe ; inde illud fit, ut quod relinquitur vel aequale sit termino primo seriei assumptae, vel terminis ejus duobus primis, vel terministribus primis, & sic in infinitum. Hanc autem operandi rationem circa series hac subtractione comparatas iterare licet, unde novae series in infinitum exurgent, quae omnes summabiles erunt. Ex. I. Sumatur series I- - - έ -- I - ἱ-&c. e qua subtrahatur ipsemet demptis n-I terminis suis primis, hoc est subtrahatur I / . y &e. & relinquitur -' -
548쪽
Cor. a. Hinc facile constat semper eandem evadere seriem, utrum primum subtrahatur e data serie eadem ab m terminis multata, &deinde ex serie resultante B subtrahatur eadem B ab n terminis mul tata ; vel primum subtrahatur e data serie eadem ab I terminis mul lata, dc deinde ex serie resultante subtrahatur eadem ab m terminis multata. Et consimilia etiam affirmari possunt de pluribus consimi libus repetitis operationibus. a. Altera vero methodus erit, ut assumpta qualibet serie infinita, cujus termini tum ad nihil perpetuo convergant, tum procedant per R r r a potestates
549쪽
potestates indeterminat. x, si multiplicetur series assumpta per bino-mium vel rnultinomium utcunque conflatum ex quantitatibus datis& indeterminata x, deinde ponatur binomium vel multinomium iulud nihilo aequale, &c. hinc elicietur Valor indeterminatae ad quem si quantitas ista restringatur, tunc series ex haς multiplicatione genita evadet etiam nihilo aequalis, quapropter si transferantur termini ejus primi ad alteram aequationis partem, series residua aequalis erit terminis transiatis. Ex. I. Sumatur series I in x lx' - x3 - Ix &c. quae si multiplicetur per binomium I - ax o erit series genita I - x --- Ix
550쪽
Et sic iterata operatione novae exurgent series. Hae methodi fallunt, cum series inventa sit infinita quantitas. Cor. i. Secunda methodus eadem sit ac prior, si modo pro x scribatur unitas, & vice versa prima methodus semper continetur in se
fractionis & nulli alii. Cor 3. Datis seriebus, ex his methodis saepe deduci possunt earum
Assumatur series, ita ut factores in denominatore contenti contianeantur in duobus vel pluribus diversis terminis assumptae ses' 'quorum distantiae a se invicem sint m, n, &c. & deinde per ut 'dentes methodos inveniatur series, quae sat datia seriei aequalis, & fit