Meditationes analyticae, ab Eduardo Waring, Regiae Societatis ...

551쪽

so a

DE SUMMATIONE

a S, pone x - Ι - Ο & evadet talpa seriei summa S cii i , . Cor. . Pone in praedicta summa S pro n duos diversos valores I &I m, ubi m sit integer numerus, & erit duarum quantitatum resul tantium differentia summa m terminorum, e. g. in hoc exemplo scribe in summa i. Valores n dc n-m Pro n, & evadet dis-

ferentia 1 an a primorum terminorum. Ex. a. Sit series B -

summa mI . a . 3 - - S

Sit n numerus designans locum termini, tum terminus ipse erit

; & series post n terminos erit

552쪽

. quoniam denominator quilibet hujus seriei e factoribus uuatuor constat, quorum bini quique in termino Proximς sequente repetuntur, sumatur idcirco series - . V

minatoribus semel tantummodo occurrunt; deinde, quoniam in serie data denominatoris cujuslibet pars ea quae iterum occurrit in termino proxime sequento ConsPicitur: multiplicetur series data per x I sim vero Ita accideret ut terminus unus vel duo vel pluris termini repetitIS Interjaceant, fiat congruens multiplicatio seriei datae Ix - I vel x3 -I, &c. in prodibit series 38 n 18

553쪽

so DE SUMMATI ONE

qua inveniuntur omne. factores e quibus conflantur denominatores seriei propositae : fingantur multiplicatores bini a x 1&ax- b; prior assumatur, quoniam series data procedit per potestates fractionis ζ; praeterea cum ex horum multiplicatorum mutuo ductu generetur quantitas 2 ax' - 2bx - axiaret multiplicetur series assumpta ab -l- 2 a

et aasa - 18 b3. . S I. a Comparetur nunc Primus terminus hujus aequationis cum termino

554쪽

39, quarum Ope invenientur a a, b - - , e m 6; erit igitur summa desiderata sa - 7x- 6 xy) κ S -a H- 6x: jam si requi ratur, ut irrationalitas tollatur, pone 2.- 7x- 6x itio, hinc elicietur valor duplex quantitatis x nempe & j, quapropter si x restinguatur ad valorem ' erit summa iseriei I; sin vero x restinguatur ad valorem I, erit summa seriei a. s. Exempla hujus mullii Plicationas etiam ex Pra cedente additione ulterius promota facile erui possunt. E. g. Sit series p qx - - ν λα- sxῖ - &c. - S, multiplicetur haec series in a, in b x & in o x i de

evadant aequales ; tum series resultans semper converget.

Sint enim termini ad infinitam distantiam ubi o est quanti fas

quam minima, at finita ; tum differentia inter duos successivos teriamianos Sc : ----' ubi et est infinita quantitas α' z in Q in zφκ et: H-i Q prope ; unde termini ad infinitam distantiam decrescunt in reciproca ratione so in I) distantiae a primo seriei termino, quae est

major quam fmplex si ; ergo summa seriei erit finita. ΤHE O R. XIII.

Sit series a in bx H- cx' &c. secundum dimensiones quantitatis x progrediens, cujus coessicientes terminorum procii me subsequentium ad infinitam distantiarii hanc habent inter se rationem, viz. singulus praecedens ad ejus subsequentem r : i ; ducatur haec series in furi ctionem ipsius re nihilo sequalem, cum N α; tum, si di major sit quam r, series resultans semper diverget; sin minor Vero converget. Facile constat hujusce theorematis demonstratio. 88 s s

555쪽

DE SUMMATIONE

T H E O R. XIV. Sit series e -- &C. S, cujus termini generaliter exprimantur per datam functionem sip) quantitatis et distantiae a primo seriei termino: addantur simul quique duo successivi termini,

g) --- &c. S - a a secundo incipiens; in funictione φ pro et scribatur et I & resultet functio σι deinde in quantitate φ φ si termini datae seriei sint omnes assirmativi; vel in φ - φ si termini sint alternatim assii mativi vel negativi, pro z scribatur a d , ubi E est distantia a primo seriei termino in serie A, & resultat generalis terminus seriei A: & similiter in functione φ pro z scribantur z -- r &z-- et, & resultent functiones φ & , tum in quantitate φ -- φ' vel φ - pro et scribatur a et , & resultat generalis terminus seriei B, ubi

functione φ pro et scribatur

a et , re resultat 'i P G, generali. terminus seriei IH- -- Ω - ἰ) -- sl - - ὀ) - &c. - l H- fi - &c., ubi χ' est distantia a primo seriei termino. Ex. a. Sit series I - - - &c., cujus generalis terminus

est , pro et in iunctionst risit - φ scribatur z -- I, & resultat si pa; & quoniam termini sunt alternatim negativi & assirma

scribatur pro z scribatur

556쪽

I ' . . I . .

&c.: in generali termino datae seriei pro et scribatur

a. Si modo addantur simul quique n) successivi termini datae seriei. cujus generalis terminus est φ, a primo, secundo, & denique sm i)

batur na, la resultabit generalis terminus seriei A quaesiitus. Ex. Sit data series Ι - - , - &c., cujus generalis terminus est : invenire generalem terminum seriei, cujus termini sint summa quorumcunque sa) successivorum terminorum a se cundo incipientium. Pro et in generali termino scribatur Σ Η quoniam terminus a secundo incipit & exorictur i iii hoc termino pro z scribantur z,z I bcn in a, & resultant et i)

557쪽

DE SUMMATIONE

H δε- -- -- -Φ- M., ubi E denotat distantiam, a pr mo se 3 5 --I 6 h - 1 Vriei termino. g. Si datae seriei termini sint alternatim negativi & affirmativi, &n numerus terminorum simul adjunctorum sit impar; tum erit seriei resultantis termini altematim negativi & assirmativi; sin n sit par numerus, tum omnes termini idem habebunt signum. Cor. Ex seriebus Per hanc methodum transformatis Sc principiis in prob. Praeced. traditis facile acquiri Possunt multae series, quarum summae innotescunt.

Ex. Sit data series i &c., cujus

' si 'TI A etiamque tres successivi termini

B: in quantitatibus Aoc B per theor. pro et scri-

558쪽

. 3 hz--25--I . 3hz- a b liai Vin Conisequenter summa seriei, cujus termini τ progrediuntur a Valore o quantitatis et usque ad valorem in si nitum ejusdem quantitatis, erit 1 ; i .e. summa seriei a valoreo ad valorem infinitum quantitatis et, cujus generalis terminus est 3 - 1. 35Q-

O, inVeniatur differentia inter quantitates γ & δ dc re

infinitum erit 3b .h- - 1 'Eadem

559쪽

Eadem etiam applicari possunt ad alias series, quarum termini sunt alternatim affirmativi ε negativi: in hoc casu, cum numerus terminorum, qui simul adjunguntur, sit impar; tum termini seriei resultabiis etiam erunt alternatim aifirmativi oc negativi, sin aliter non. Consimilia etiam praedicari possunt de casibus in quibus quicunquen termini sint assi mativi de m negativi, vel quocunque alio modo termini sint affirmativi & negativi. . Sint T , T , T , T , dec. termini seliei AEquorum sit T quicunque terminus datae seriei; dc T T , T', &c. termini praedictae seriei, quorum distantiae a termino T sint respective n - m,r- m, s- m, dcc.; i. e. in generali termino seriei A, pro z distantia a primo seriei termino scribantur respective z --- m, Q T in V, z s, &c.; dc resultabunt termini T , T , T , T , dcc. Sint T T' , T , T , &c. termini seriei B, cujus generalis terminus, qui est functi quantitatis et distantiae a primo seriei termino

560쪽

in S; ex summa S data semper acquiri potest summa cujuscunque istriςi, Cujus generalis terminus est ς'

ubi α, β, γ, &c. sunt integri numeri, & m est numerus minor quam

& exinde inveniri possunt coessicientes A, B, C, &c.; deinde sumantur A in ax , B b P, C Q, &c.; unde constabunt quantitates ac Re &c. & exinde erui potest summa seriei quaesita in sa