장음표시 사용
701쪽
Confiat e pes cedente c pito seriem ascendentem en con et gen- tem, cuna et minor sit quam ι; descendentem seriem esse convergentem, cum et major sit quam I. I
et . Sit nuxio in ea pro z scribatur & resultabit
unde fluens fluxionis inter valores O & infinitum quantitatis
702쪽
Hujusce generis plura problemata deduci Possunt; transformetur enim data fluxio in alteram, cujus variabilis quantitas 3 datam habeat relationem ad variabilem datae fluxionis quaimitatem x; & si modo cum x - α tum I uer, & cum x a tum γ αα ρ; duae Η.entes inter va lores α & β, or dc ρ duarum variabilium x & F contentae erunt respective inter se aequales. Et sic de pluribus hujusce generis tran formationibus , & ex his seriebus deduci possunt aliae inter ist aequa
T H E O R. XLV. 1. Sint x dc X sinus arcuum, qui sunt inter se ut n : I, & radiua
&c. : cum ' sit impar numeruS, tum abrumpitur series - x
703쪽
Bωβ - &c. terminat. In omnibus his seriebus literae B, C, D, &c. praecedentium te minorum coemicentes respective denotant. Omnes hae series semper convergent; nam sinus x non Poteli cite
Cor. Sit x sinus quantitas valde parva & consequenter ejus arcui Prope
704쪽
prope aequalis, εο n ' non maior quam 1, tum hae series eX arcu n x dato inveniunt ejus sinum vel cossinum prope: si vero propior requi ratur approximatio, ea facile deduci potest. Facile consimiles series per quaslibet duas subsequentes radium, sinum, cosinum, tangentem, colangentem, secantem, &c. vel plures deduci possunt. . Si praedictae reducantur ad series secundum dimensiones quantitatis x descendentes tum erIt X ' π ri, non '
705쪽
Cori similes series sacile deduci possunt pro sinubus vel cos nubus, sangentibus vel cotangentibus, secantibus vel cosecantibus, versis sinu is, &c. in terminis secundum dimensiones cosmus, tangentis, &c. progredientibus. 6. Exhinc data serie secundum dimensiones quantitatis progrediente
& sequando coefficientes correspondentium terminoi iam rescit tantis
aequationis, ita ut evanescant quantitas ejus patestates vel radi dices; ex sequationibus hinc resultantibus erui possunt praedime co- efficientes quaesitae. . Sint f R e sinus & cosnus arcus A, cuius radius sit i; & per sη, on , s n - 2ὶ, c u a); 4 Π ), c sn- ); &c. designentur sinus di cosinus arcuum n A, n- a A, n- - &c. tum ex principiis prius traditis erui possunt i et sn - ns n - 2)--γr.
is u - 8ὶ - &c. cum n sit impar numerus; signum erit in , si
n ψm I, ubi m est integer numerus ; sin aliter -: si vero n sit
706쪽
numerus, ultimus terminus erit ἀ π n. . . ..
23 Ex hinc data serie secundum dimensiones quantitatis s vel x progrediente deduci potest series ei aequalis secundum quantitates s n, s sn- a), s n- ), Scc. Ac cn, c n - a , csn - 4 , &c. Progrediens,
707쪽
Constat ex binomiali theoremate. Cor. . Sint P, R respective coessicientes mediorum termino rum ad potestates n, n in I dc a ; tum e substitutione constabit
entes mediorum terminorum respective; ita reducantur hae duae aequationes ad unam, ut exterminetur n, & resultat sequatio relatio
denotent coenicientes mediorum terminorum quantitatis A ad potestates n, n in I & n a elevatae.
708쪽
P R O B. XLI. Ex datis suentibus vel integralibus, quae a se invicem deduci tosnt; invenire in iras feries, quin etiam a se invicem possunt investari. Reducantur singulae datae fluente. Vel integrales ad infinitas series secundum dimensiones variabilis N Progrζdiente , & exorientur series, quae a se invicem deduci possunt. Ex 1 Ex data fluente j a H- b erui potest fluens fili sionis sa bx'ὶ ' κx' ' x, ubi r & v integri sunt numeri vetarii mativi vel negativi, m vero re ρ haud integri assirmativi numeri,
Cor. Data summa unius seriei praedicti generi , ex ea deduci pos sunt summae omnium serierum ejusdem generis, quicunque integri numeri sint valores quantitatum r&U: ex fluente enim fluxionis Oo oo 2 sa 4.
709쪽
a in bae ) Φ 'ς x ad unum integrum valorem quantitatum n &υ respective erui possunt suenica ejusdem fluxionis ad omnes integros valores quantitatum r 5 v. Cor. 2. Ex data fluente s. sa in b x 'x inveniri pstest fluens Buxionis sa -- b x x in sa--bx κad υ terminos mrim . P. f. G - θη ' ubi pinv q, m-I mi & A, &c. sint coefficientes praecedentium terminorum. Reducantur singuli termini ad infinitas series secundum reciprocas dimensiones quantitatis x' progredientes, & ex aequatis correspondentibus terminis in quibus eaedem inveniuntur dimensiones v
si modo υ & is sint integri, p vero & m haud integri
710쪽
numeri: hic animadvertendum est quod omnes termini post primos rejiciendi sunt; etiamque adjiciendum est quod coessiciens termini, cujus distantia a primo sit G-1, invenietur p - m in V - I
a. Transformari possunt diversis modis datae fluxiones in alias quarum fluentes e fluentibus datarum fluxionum deduci possunt, re ducantur hae fluxiones ad series secundum dimensiones quarundam quantitatum progredientes, & inveniantur fluentes ; Sc resultant series, quae a se invicem deduci possunt: e. g. sit fluxio data sa-μbx'ὶ ' κ x--x αα b - - a x ') ' κ x '' 'x; reducantur hae fluxiones ad terminos secundum dimensiones quantitatis α' vel x ' vel sa bx' vel Λ -- ax &c. progredientes, & inveniantur fluentes serie rum resultantium; & facile constat series resultantes, modo convergant & proprie corrigantur, a se invicem erui posse.
serierum independentium hujusce generis erui possunt summae omnium serierum ejusdem gen is, quicunque sint integri valores quantitatum r&m, & exinde inveniri possunt summae omnium serierum exprimentium fluentes fluxionum se ax '-κρα suH- bx' in ex ') ' x x 'm' 'x, quarum termini secundum di mensiones quantitatis x' vel ejus reciprocas progrediuntur; vel serietarum, quae exprimunt fluentea fluxionum ex praedictis per transfor mationes, &c. resultantium. Et sic in inritis atris casibus.
Eadem etiam assirmari possunt, si modo h se series incipiant a terminis, quorum distat Itita a pr sma sint respective r, s, i, &c., vel se