장음표시 사용
101쪽
. S. , di ac per consequens aequalisa ergo latis cum arum AC PO, et AP quadraturis datur ratio ad y et ex earum ordinatis ratiodri ad do sed ut habeatur origo a qua sumi debent illarum aream portiones, sumendum ast id punctum in quo P ineat ad PM ut eminus anguli jactus cum horisonto sub quo eo uanim 1, seu malatentia via itatis quadrato pr Portionalis aequatio in hanc migrabit a d o d id do et ponendo dy id Sed Καα- , invenietur aqvim S d pQ I-FPI πα-
in movet in pit ad eius anguli sinum, quippe ea fuit ipso motus initio ratio elementorum xx et dis sique ille cosinus dieaturis, et sinus a mitin ea origine e - - : f. unde a sumatur
sivo p - - erit eius Extremitas origo arearum quarum valor rationem quaesitarum x et exhibebit. 128. Corol. 1. Quoniam invenimus Q --ad satas terminali habetur -- g, et V
terae, Hua abscissa est me ordinata ducta perpendiculariter ad axem conjugatum g 1 is, semiaxia vero unitas. Unde invenietur minis per hujus hyperbolae aream; at inscias Mohu-nebitur per aream curvae cujus est scisam et ordinata, et eorrespondens ordinatas desi- metu per aream curvae, cullus abscissa estis et ordinata L. Ex quibus manifestum ait verm
trajectoria V Pet descriptionem ade&perplexam esse, ut ex illa vix quidquam ad usus philosophicos aut mechanicos accommodatum p ait deduci. ISO Corol. 3. Quoniam positoin I, reai Catentia medii est I27 , et ubi resistentia in gravitati aequalis, id est, ubi, aequalis est velocias agaldoo 3O. Lib. I. a est altitudo ex qua eor a in medio non resistente vi constantea sollicit tum eadem ut velocitatam terminalem acquirat. III Corol. . Si in hypothesi Corollari s eundi resistentia parva fuerit qualem seia experitur globus ferreus non Panus magna satis V Iocitate per aera pro retus, trajectoria in B, quam globus illa in medio resistente deseribiι non multiim aberrat a parabola conica ii, quam eadem urgente vi gravitaus uniformii seu describeret. Quia tamen resistentia vel it tem pro Eetionis miniat, ordinata C P, ad traj-toriam V P B, in medio resistento paulo minorarit quam ordinata in ad parabolam eoni in Vii. Porro si abscissa V C dicatur x ordinata in dicaturis, amplitudo et proinda Ci h - , erit ex natura parabolae rectangulum sub abscisais V C, CI, - -- x x. aequale rectangulo ordinatae Cis, ei a in datam Oantitatem i, et ideo aequatio eritis me T- - Ceun igitur ordinata C P quae dicatura paulo minor sit quam C p aeuis, Ponatura
di quare erit da - - - est S. . Invenietur itaque tum velocitas corporis in loco P trajectoriae V Pi, tum tempus t quo arcus V P describitur. 129. Cines. 2. Si in aequatione generali supra
102쪽
incidantibus unetia V et C sit ismis, et ideo dν id Mddy- - sed x et d/y- - σε ε 3. Ex aequatiotiora, mira Maaducitur proportiod do b; et mi eidem C eum V dri est ad d, ut sinus totus Q ad tangentem Q S, anguli rejectionisT V Q quam si ianus totus dicatur 1, erit tangens anguli projectionis, et ideo dato Me minis daturi Si velocita eum qua eo ua quae dieatur Α, in aequatione ad tra Misesam V P . loe x, seri turis, et om n acri turo, quia ordinata C P aeua evanescit in Brinum
ISS COMM. 6. maxima jactos altitudo D, raperitur, umpta aequationis ad tra-
Quo valore loco Rheo V projicitur sit, et L, altitudo ex qua eo pus umentae vi constant m in spatio non est tente cadando aequirit velocitatem illam ' erit 2 g e - , 18. Is 2 hujusce Lib. sed Mino castra: --; eat autem da
in aequation ad trajectoriam substituto, obtine-hitur , seu maxima altitudo D G. ISQ Corol. 7. Ut determinetur tangens anguli T V B, sub quo orpus data celeritate pro-
in . data velocitate terminali datur a. I M. Potin etiam linea a ver experimentum ratam si a Deo V sub angulo dato dat eum Mocitate Projiciatur eo us in medio aureosito et observetur amplitudo jactus V ,
b, quamproximLIS5. oro 8. Data celeriisto iactos, inveniatur angulus maximae omnium amplitudini e ventem, i in aequatione Corollarii 5. in qua
103쪽
Ex qua aequatione, ineruatur valor sinus a dabutur angulus quaesitus Per approximationem ita potest obtineri. Scribatur in aequatione Sas, Iaseri; nam si trajectoria in massio non resistente describeretur, anguius o Ba IΦbh- bcx-- ccx 6bex' M.
noiectis terminis ubi J oecurrit et extracta radice per sormulam Ne tonianam in autem haec quantitas constans ait et aequalis unitati, tem ni homologi in numeratore 6 - - 24 ah et denominatore Pera a Fb ea a IΦbh b c c e Ponandi sunt aequatis, id est,
foret semirectus, et proinda sinus eius Q δ. cum sit sinus totus mea; et ideo in medio valdd raro est Qq aequatio igitur muris κ I ra sisy - 1 - 24 s rara a, 4; quae saeillivi resolvetur ad instar aequationis duarum dimensionum. Hinc autem invenitur a paulo minor quam seri adeoque angulus proiectionisse recto paulo minor. 136. Caria. s. Si medium sat paulo densius, Munenda foret aequino ad trajectoriam, h aut etiam alia plurium terminorum. In illa autem ita determinatur Hormessicientisiu
aequatio assumpta erit 1- x x κ
Et eodem modo datorminarentur messicientea in aequa nibus plurium terminorum amaadiam, las superiorum enerum.187. Ita mi resistentia medii unia formis, Partim constans a Poneretur et Parinum velocitatis quadrato proporuonalis P
sistentia tota n exigua fuerit, ponatur aequino ad trajectoriam VPB,1 -χα- ex ex L et facta dx, constante, capiantur fluxiones Prima secundae Et tertiae quae coincidente Puncto C, cum V, erunt do i dx, d dy- - 2 cd x , et drao - - σεχ c. .l8l und invenitur ut in Coro 4. ISI. tangens anguli prole
105쪽
De motu corporum quibus resistitur partim in ratione velocitatis, partim in Ovidem ratione duplicatA
Si corpori resistitur partim in ratione velocitatis, partim velocitatis ratione duplisa id, et idem solita insita in medio si lari movetur: suman tu autem te Ora in progressione arithmetitas quantitates velocitasibus reciproce pinportionales, dat quedam quantitate auctori erunt in prome sisne geometrita.
Centro C asymptotis rectangulis o D d et vi, describatur hyperbolam De et asymptoto vi parallelae sint A B, DAE, d e. In asymmtoto C D dentur puncta A, G: et si
tempus exponatur per aream hype
bolicam A BAE D uniformiter re centem dico quod velocitas exponi potest per longitudinem D F, cujus reciproca Gm unu cum data C componat longitudinem C D in pro
gressione geometrica crescentem.
Sit enim areolam De d datum temporis incrementum quam miniamum, ' et erit si reciproce ut D R ideoque directe ut C D. Ipsius autem decrementum, quod
iuitur tempore A BAE D per additionem dat
eris Dd reciproia uti E. Est enim me E sed per Theor. IV. de HyperNὶ areola evanescens aequalia rectangulo datum os rectangulum iram , proindoeWE, D d, quod, ob datum temporis inero C D, est reciproe ut D EPquar eriti a diamentum, erit ut quantitas data, et ideo D d, est risia ut Ct ut quantitas data divisa per D E id est, reei in hujus Lemma II Cas. 6.
106쪽
ratione cum velocitate. ' Nam decrementi velocitatis est ut resistentia, hoc est per Hypothesin ut summa duarum quantitatum, quarum unx est ut velocitas, altera ut quadratum velocitatis; et ipsius decremem
tum est ut summa quantitatum re et , quarum prior est ipsa , et posterior est ut et Proinde q) --, ob analogiundecrementum est ut velocitas. Et si quantitas G D, ipsi 4--- 4eciproc/proportionalis, quantitate data C G augeatur summa C D, tempore, Et uniformiter crescente, excrescet in progressione geometrica. Q. e. d. Coro I. Igitur si datis punctis A, G, exponatur te us Per aream
hyperbolicamini Em, ' exponi potest velocitas per ipsius G D recb v in L 2. Sumendo autem G A ad G D ut velocitatis reciproca sub
initio, ad velocitatis reciprocam in fine temporis cujusvis A BAE D, i venietur punctum G. Eo autem invento, Velocitas ex dato quovis alio tempore inveniri potest.
m mento, eae in remiaeviis 15 locatas nulla ubi G D erit in finita tune autem area Bis D E quae tempus os o onMogum decrementum, oxytimi infiniis etiam est, ex naturi, hyperbolae.
Mis eis . Si enim duarim quantitatum flue oro Punctum Λ ad amitrium a sum incrementa vel decrementa dato tempuseu sumitur in symptoto Cru et assumpto etiam is producta n laga int, eorum incrementorum quovis puncto D ut area Ammi tempus da- vel MeremEntorum summae seu fluentes . tum exponat, ita determinandum est punctum ab eodem initio sumptae sunt analogae per Cor. sit O A ad Gi, ut velocitatis reciproca Lem. IV. Lib. I. . sub initio ad velocitatis reciprocam in fine tem
'D Cresce in progressen geometrita 3so. tu i quod per Corol. I. D. i siquot. Invonto autem puncto, ex dato quo via alio tempore quod, gr. in ad tempus primo G En- pοωst velarilas per priu si datum ut arta Ara Sin, ad aream Α B Ei, verivrocam Undypato voloeitarum non in 'einoritas quae erit reciproc ut G R, in D quae erit ad velociistem au uuuo ruis, ut G Λ nisi tempore infinito extingui posse, ' erit enim ad G R datam.
107쪽
Iisdem positis, dico quod si spatia descri a sumantur in progressione arithmetita, velocitates dat quedam uantitate auctae erunt in progressione geometrice. In symptoto Cm detur punctum , et erecto perpendiculo ra; quod occurrat hyperbolae in S, exponatur descriptum spatium per aream
hyperbolicam Iam et velocitas erit ut longitudo G D, quae cumdata CG componit longitudinem C D in progres,ione geometrica d erescentem, interea dum spatium M Em augetur in arithmetica. Ettinim ob datum spatii incrementum D d s lineola Di, quae decrementum est ipsius GD, erit reciproce ut ED, ideoque directe ut sim, hoc est, ut Summa ejusdem me longitudinis datae M. Sed
velocitatis decrementum, tempore sibi reciproce proporti
nati, quo data spatii particula Di ea describitur, thest ut resistentia et tempus conjunctim, id est durecte ut summa duarum quantitatum, quarum una est ut velocitas, altera ut velocitatis quadratum, et inverse ut velocitas; ideoque directe ut summa duarum quantitatum, quarum una datur, altera est ut velocitas. Decrementum igitur tam velocitatis quam lineae G D, est ut quantitas data et quantitas decrescens conjunctim, et propter analoga decrementa, an togae semper erunt quantitates decrescentes nimirum velocitas et linea
G D. M. e. d. Coro I. Si velocitas exponatur per longitudinem G D, spatium deseriptum mi ut area hyperbolicam WS R. Corol. 2. Et si utcunque assumatur pimctum R, invenietur punctum G capiendo G R ad G D, ut est velocitas sub initio ad Velocitatem post Ua-
th Est ut resistenιia et temptu ο'junctim. Velocitatis decrementum est ut resistentia et tempus conjunctim I 5 , tempus vero est ut i crementum spatii directa et es ita invere adeoque dato spatii ineremento ut vel uaci vers. Quaes dato spatii ineremento, velocitatia decrementum ea ut resistentia directa et veIoeiatas invers4 id est, direct ut summa duarum quantitatum, Ac.
Agin semper minu, Ac Per Com. Lem. IV. Lib. I. .
108쪽
cum quodvis M E D descriptum Invento autem puncto G datur
spatium ex Maa velocitate, et contra. Corol. 3. Unde cum perirop. XI. detur Velocitas ex dato tempore, et per hanc Propositionem detur spatium ex data velocitate dabitur .
tium ex dato tempore et contra.
Potito quod eramus ab uniformi gravitate deorsum attractum recia uendit ne descendit et quod eidem resistitur partim in ratione velocitatis, pam. tim in ejusdem ratione duplicaui dico quod, si circuiti et hyperbo e dia
metris parallelae rectae per conjugatarum diametrorum terminos ducantur, e velocitates sint ut segmentarit edam parauelarum a dato puncto ducta item Ora erunt ut arearum sectores, rectis a centro ad segmentorum term nos ductis aibscissi et contra. Cas. 1. Ponamus primo quod corpus ascendit, centroquem et semiadiametro quo
vis DB describatur circuli quadrans B UTRet per semiadiametri Di terminum B agatur infinitam Ai, semiadiametro DF parallela.
In ea detur punctum A, et capiatur segmentum M velocitati proportionale. Et cum resistentiae pars altera sit ut velocitas, et pars altera ut velocitatis quadratum sit resistentia
109쪽
tota ut A P quad. R Jungantur D A DF circulum secantes in Dac et exponatur gravitas per D A quad. ita ut sit gravitas ad resistentiam in Put DAqad AP ε
s B AP et tempus ascensus totius erit ut circuli sector Em . Agatur eniihi V Q, abscindens et vel citatis momentum m et sectoris D E T momentum dato temporis
momento respondens et velocitatis decrementum illud V erit e ut summa virium ysvitatis et resistentis A in Φ ν Ρ, id est per rop. XII. Lib. ILΕlem. ut Di quad. Proinde area D ZQ, ' ipsi P Q proportionalis est ut Di quad. et aream T V, quae est ad aream Di in Phut D in ad Diri, est ut datum D in Decrescit
igitur area Dre uniformiter ad modum temporis futuri, per subducti nem datarum particularum D T V, et propterea tempori ascensus istina proportionalis es Q. e. d.
Cas. 2. Si velocitas in asce su corporis exponatur Per
et resistentia ponatur esse ut
gravitatis minor sit quam quae perma' exponi possit ca
piatur BD ejus longitudinis, ut sit Amri Biri gra
evanescens D P . non differt a sectore circuli' nu D et radio m deseripti, inter line D Q et D P hie vero sector est ad similam se torem uti P ad D quar. area D T V, est ad aream DPQ ut DT ad DP ' et permutando, area DTV eat ad DT
110쪽
Di ipsi Di perpendicularis et aequalis, et per verticem F describatur hyperbola UT V Ε, cujus semudiametri conjugatae statim et D F, quaeque secet D A in Ε, et D Ρ, si in reis; et erit tempus ascensus totius ut hyperbolae sector E. Nam velocitatis decrementum P Q, in data temporis particula factum, est ut summa resistentiae ΑΡΦΦ 2BAΡ et gravitatis A νε- Biri,
'hid est, ut B P B Din. Est autem aream T V ad aream DF Qvim in ad Diri ideoque, si ad DF demittatur perpendiculum G , ut GTqseu GDq- DFqad BDq, utque GDri ad Biri, et diamram ut DFqad BP. BDq. Quare cum area Dira sit ut RQ, id est, ut ΒΡ - BDq; erit aream T V ut datum DF q. Decrescit
igitur aream si uniformiter singulis temporis particulis aequalibus, per subductionem particularum totidem datarum Da V, et propterea tempori proportionalis est Q. e. d. s. s. Sit A Wves itas in descensu corporis, et AP - 2BAΡ resistentia, et B sim Arari vis gravitatis, existente angulo DAE Arecto. Et si centro D, vertice principali B describatur hyperbola rectangulam E T V secans productas D A Di et D Q in Ε, et V erit
hyperbolae hujus secto D v ut tempus totum descensus. Nam velocitatis incrementum 'Q, eique proportionalis aream PQ, est ut excessus gravitatis supra resistentiam, id est, ut
visim ut BDqad BDq- BPq. Quare eum area Di insit ut Bum B Ρ', in aream T V ut datum B D'. Crescit igitur area Em Τ uniformiter singulis temporis particulis aequalibus,
per additionem totidem datarum particularum D T V, et propterea tempori descensus proportionalis est Q. e. d.