장음표시 사용
91쪽
uomus projicitur, et mutetur angulus in H; manebunt longitudines H AH, H Ideoque si longitudines illae in aliquo casu inveniamtur,anerbola deinceps ex dato quovis angulam A H expedite deterinimai - 'hReg. 2. Si servetur tum MN Itis N A H, tum medii densitas in
A, et mutetur Velocitas quaeum comus Projicitur servabitur longi
plicata ratione velocitatis rectroce.
quam corporis velocitas in A, gravitasque acceleratrix servetur, et
proportio resistentia ina ad graviutatem motricem augeati in ratione Munque augebitur proportio AH ad A I in eadem ratione, manente paraholae praedictae latere recto, eique
proportipnali longitudine ' ' et propterea minuetur H in eadem
q. , et quia coincident puncto G eum A, fit si I, o T X, H erit m me I rum A I. Quare ob datas quantitates A. Petra, datur et H X. Unde si longitudinesium Α, Λ I, et WX in aliquo casu inumniantur hyperbola deinceps ex dato quovis gulam Α, expedite detorminari potest. His aenim datis, dantur puncta A, H a I. Permoveatur X H, recta horirontali A N verticalis, at dabitur punctum N et quia data est HI, dishur etiam punctum X datis varo unetis duohus X MI, dabitur meta di eum puncto Μ ubi horizontalem, Niserati Undo ducta quavis recta V D ad horizontalem A, normali, si in ea capiatur Gad AI, ut est ΑΝ' ad D μ', uel ut XL ad x dabitur punctum in trajectoria A GAE. Est enim Exemplo 4. ordinata quaeviso G ad alteram ordinatam Λ, ad D N , seu ut i I ad x V . Reg. 2. Servata medii densitate in Α, servabitur tangentis longitudo Ain, quae est ut densita lavsrso. Et quia velocitas in A est ut es velocitatis quadratum iit -- - , id est, ut o ob datam AM; erit A I velocitatis
quadrato reciproce proportionalia. S. Data corpori velocitato. et gris. ΛΗ vitate acceleratrice in A, datur longitudo ,-- - tum velocitatis quadrato, tum lateri recto par holae Exemp. . proportionalia. Est autem reaistentia motrix, si ita loqui se est, ad gravitatem motricem, ut A H ad ,-- -- π AI Exemp. 4. Quare si proportio Naistentiae motriet in ad gravitatem motricem augeatur in ratione quacumque augebitur Proportio Α Η
in eadem ratione; et quia longitudo ,----- com
stam est, ac Proinde cis S ut x z, et AI ut VH nec sum est ut Ai minuatur in
Hratione qua augetur utina minuatur in ratione illi duplleata.
92쪽
portio resistentia ad pondus, ubi vel gravitas specifica sub aequali magnia ludino fit minor, vel medii densitas major, vel resistentia, ex magnitudine diminuta diminuitur in minore ratione quam Pondus.
in Reg. 4. Quoniam densitas medii prope verticem hyperbolae major
ηὶ 121 Augetur in proportis remeeviis ad pomatis, M. Corpus specifico gravius vel avius dicitia, quod sub aequali volumino majus vo minus pondus habet quata alterum corpus quorum comParatur; et ideo gravitas speciscam oris, volumine dato, est ut ipsius pondus a solutum, id est data gravitat acceleratri , ut corporis ama perlatan T. et aio S. Lib. I. At, dato volumine massa est ut densitas 2. Lib. I. quam gravita specifica eo oris eat ipsius densitati propinionalis. Augetur itaque Proportio resistentia ad gravitatem motricEm seu ad et oris pondus, tum ubi manentibus com ria volumine figuri et velocitate ac medii densumis, manenteque priunde resistentia, gravitas vocifica fit minor tum ubi caeteris paribus, medii densitas augetur, quo casu medii resisten istis rescit eum dansitata et eo oris pondus in fluido densiori et speeisse graviori magis auia vati minuitur tum ubi resistentia ex magnit dine corporis diminuta, diminuitur in minori, tione quam pondus. Ex quibus liquet tertiam regulam determinandi mosius e porum ariae magnitudinis et densitatis accommodatam ME.
hine 2 AINAN-2bb. Erit igitur minimae
tangentium quadratum G ', 'an 6
in x Reg. 4. Quoniam densitas in loco quoris G est reciproce ut tangens εἰ quae Pro verticem hyperholae minor est quium in ioeo Α manifestum est densitatem medii prope verticem hyperbolae majorem eme quam in loco A. Densitas in loco A dieatur, in Ioeo, per quem ducitur tangentium minima εἰ Meatur B;
densitas mediocris, si tangens Am foret omnium maxima, sicut G Hyp. est omnium minima; et deis, ut medii densitas sis tanquam uniformis haberi posset, augenda esset densitas in A. .. . . GT AH in ratisne semisummae tangen rum- ad minimam tangentium Veriim quia tangens Am non est omnium maxima, sed tangentes aliae ad partes eurvae versus, ductae majores sunt densitas inis augenda est in rationa GTΦΑH paulo majore quam se summae ad G , ut medium tanquam uniforme αδ censeatur. Atque hoc pacto errores oriundi ex eo quod medium in I niaua supponatur, eorrigentur seia aliis erroribus qui, cuntur eao quod in G medium rarius fingatur quam Pro ratione curvae Α, Κ.
93쪽
est quam in loco A; ut habeatur densitas mediocris, debet ratio minimae tangentium H T ad tangentem Avi inveniri, et densitas in xaugeri in
ratione paulo majore quam semisummo harum tangentium ad minimam tangentium G
Reg. 5. Si dantur longitudines Am AH, et describenda sit figura A GAE produc H ad , ut sit HI ad A I uti in I ad 1 cenu quem et asymptotis, , per punctum A describatur hyperbola, ea lege, ut sit AI ad quamvis V G ut X ad X IR
Reg. 6. Quo major est numerus , eo magis accuratae sunt hae
Interim liquet veram traiectoriam quam eo pus in medio uniformi describit, ire verticem magis distare in symptotis, et in partibus avertice remotioribus propius ad ipsas accedere qu- pro ratione hyperbolariam in medio non uniformi descriptaram. Nam si e loco Λ, eum
matur corpus an medio cujus densitas uniformis aequalia sit densitati mediocri medii in quo deserubitur hyperbola Α GK in majorem modii unia formis densitatem in A, qua corporis velocitas impressa magia minuitur, trajactoria intra hyper-holam eontinebitur, adeoque Prope verti m in asymptoti magis distabit; et quia prope verticem est magis depressa, in partibua veraua, a vertim remotiorinus ad asymptotum N X propius accedet quam hyperinla Α Ο Κ eum praesertim In medio uniformi spatium motu horisonis da- aeriptum, semota gravitate, infinitum evadat per Cor. I. Pr . . .
Reg. 5. Si dentur long tudines A RA I eum angulam MN, et deseribenda sit figura Α, Κ ex puncto H ad horizontalem N demitto perpendiculum H N produc H N ad , ut si H X a ualis sint subes Fae Aa demonstravimus enim in nota ad Reg. I. assem X aequalem acto, I a centroque X et asymptotis, X N X persun tum A describatur hyperhola, a lege, ut sit AI ad quamvis Gut xv ad XI eat enim
per Hyp. Exemp. 4. V G ad Aa, ut MN ad D N , seu ut X I ad x V .
Reg. 6. Quo major est numerus magis hae hyperbola in ascensu corpori ab Aaccedunt ad trajectorias in medio unis mira acriptas, et eo minus in descensu ad Κ accuratae sunt; et contri Nam quo major est numerusn eo minua tangens εἰ quae densitati reci- Proco proportionadia est, in ascensu corporis ab variatur; et eo magia in das nauinam, latur, quippe data sit medii densitas in Meum
angulos retioniam MN, et quantis rdensitat in Exemp. 4. proportionalis, data erit, ideoque tangens in eo longior erit quo major fuerit numerus, et quia dato angula H A , datur speei triangulum rectangulum H N Α, ratioque proinde laterum Α Η Α RH N etiam datur, liquet quod erascente ΑπιRut numero , crescant quoquo latera m et H N. Ex demonstratis in Exemplo M eo Pore ascendente tangentis G T quadratum G
Iam vero si numerus n satis magnus fuerit, Iinos Am MN, in tam in ascensu quam in descensu corporis longiores sunt, et in ascensu
ab A est sere AE aequalis Am in descensu vero D, quantum libet minor ipsa MN, Unda
in ascensu ab Aest sero' ' Iψη - Α
n ascensu corporis ab A est sere aequalitatis, dum numeruso sata magnus supponitur ae proinde non multum variatur de itas in o
vehementer rescit, et hanc tangens muti tum variatur ubi numerusi magnus est. Contra fit, si numerus ille sit admodum exiguus.
94쪽
hyperbolae in ascensu corporis abis, et minus accurata in eius descensu ad, et contra Hyperbola conica medioerem rationem tenet, estque
caeteris simplicior. Igitur si hyperbola sit hujus generis, et punctum Κ, ubi corpus projectum incidet in meima e N per panetum A
Α, sequalis. Remo. Et hinc liquet methodus expedita determinandi hanc hype
bolam ex Phaenomenis. Projicia tu corpora duo similia.et aequalia, eadem Velocitate, in angulis dive
planum horigontis in veta; et no
tetur proportio A cadis h. Sit ea d ad Q. Tum erecto cujusvis longitudinis perpendiculo AI, assume utcunque longitudinem Avi vel Aa, e et inde collige graphico longitudines A , Aa, per Reg. 6. Si ratio A K ad Ak sit eadem cum ratione d ad e, in longitudo Avi recte assumpta fuit Sin minus cape in
Porro eam numeri nimia esis quilibet integer e fractus, et in hyperbola conica sit naequalia uni mi, quae veluti medium locum tenet
inter numeros omnes integros et fractos, satia manifestum est hyperbolam conicam inter superiores omnes et inferiores hyperbolas medioerem Tationem tenere, et quia etiam caeteris simplicior est, posse lae verae trajectori in medio uniformitar denso adhiberi. Si igitur hyperbola A GAE
in hujus generis, et punctum Κ, ubi corpus projectum incidet in rectam quamvis Am horizo talem es origonti obliquam, per punctum A
vanseuntem, quaeratur occurrat producta Am
asymptotis, , Ν , in mei, et sumatur N, ipsi Am aequalis, et habebitur punctum K per Theor. I. de eonicis. . i inde silige graphiia,ine. Data enim
tangent Am, tum magnitudine tum positione, datur Eetieatisim cum puncto N; Et quia a
sumituriaeuam AI, et est HX-2AP perdem Raeg. I la dabitur hyperbolas centrum , et inde o datum punctum I dabiatur asymptotias altera xa, cum puncto minhoriaontali m et capiendo AE aequalem datae Μ Α, dabitur punctum Κ, et hinc longitudo Am obtinebitur. Eodemque modo nis Entetur altera longitudo Α Κ noxia A Wrecia assumpta incma invidia inrauate in cum velocitate eo poris suh divorsis angulis WA K, his hir jecti, manet perpendiculum Ao, et tangena
H aequalis est tangenti per Regulam Datis tangentes H, angulo H A, et perpendiculo AI, hypor lasei, describi
potest per Reg. 6-- et notam praeced. et ideo data est tum specie, tum magnitudine. Unde si dentui tantum anguluam Α, et ratio in
gentis His ad AI hyperbola Α, Κ speciotantum dabitur, id est, omnes hyperbolae, quae ex his duobus datis describentur, imiles erunti Quare si in hyperhola A GAE, qui in charta descripta supponitur, tangens assumpta Α H ait ad perpendiculum Aa, ut tangena .perbolae quam corpus sub angulo aequali H Α, proje tum in medio resistente describit, est ad suum perpendiculum Λ I hyperbola Λ G, in Garta descripsi imilia erit hyperbola quae in medio resistente describitur. Et eodem argumento autem hyperbola, cujus est amplitudo Aa, et tan-- gens h, manente perpendiculo AG similis erit hyperbola illi quam corpus sub angulo aequali projectum in secundo experime in describiti Qua propter, ob figurarum in inarta et in medio resistente descriptarum imilitudinem, amplitudines Am Aa erunt interae ut homologae amplitudines hyperbolarum quae
95쪽
recta infinita S M lonotudinem Sm aequalem assumptae A H, et erige
perpendiculum, Uaequale rationum differentis ductae in
rectam quamvis datam. Simili methodo ex assumptis pluribus langitudianibus vi invenienda sunt plura puncta et per omnia agendas curva linea regularis mam, secans rectam imi in X. Assumatur demum vi aequalis abscissa S X, et inde denuo inveniatur longitudo Am; et longit dines, quae sint ad assumptam longitudinem AI et hane ultimam A H, ut longitudo A ter experimentum cognita ad ultimo inventam longitudinem A Κ, erunt verse illa longitudines AH et Avi, ' quas invenire oportuiti Misce vero datis dabitur et resistentia medii in loco A, e quippe quae sit ad vim gravitatis ut A H ad DAq. Augenda est autem densitas medii per . . . et resistentia modo inventa, ' si in eadem ratione a
Reg. 8. e Inventis longitudinibus A H, H X si jam desidereturi sitio rectae Α Η, secundum quam projectile, data illa cum velocitato emi sum incidit in punctum quodvis K: ad puncta A et Merigantur rectae C, i horizonti perpendiciilaros, quarum A C deorsum tendat, et
Perbola, cujus conjugata transeat per punctum C, centroque A et intem vallo Am describatur circulus secans hyperbolam illam in puncto H;
rua regularis ido notam 75. Lib. tam atque etiam ut perpendi lumina in m hujus dio resistente ad perpendiculum V in charta ' nvenire Oporius. Clim enim ab assumptum Quibus inventis, describi poterit scissa Si longitudini assumptis VH aequalis hyperbola similia et aequalis hyperholae, quam. . .. A empus in medio resistenta deseripsit. 1 et Tauonum di mentin-- --- exponatur . . '' ...' Quisme quina ad vim eram tis, e. Ex
et ide πω - , atque m aequalis verae in I hoe est, ut AH ad 3ΑΙ obn- per
udinem figurarum in modi re,istento at in tis Uuuamibus AH, H , αλβα descriptarum, erit longitudo Α, expori InVenus enim per Reg. 7. lineis A et H, mento cognita ad longitudinam Am Quis in Mur line H , ut pote quae aequalis est 2 ALVentam in harta, ut longitudo Am in modis Reg. 5. Naistenta ad longitudinem Am in AEarta dum Deaeribatur hisisti M Lib. I.
96쪽
et projecula Morridum rectam Am missum incidet in punctum α - L ri puncti H his datam longitudinem Avi, locatur alia cubi in circulo descripto. Agatur C H occurrens ipsis et i, illi in E huic in F; ' et obia D latas GH, Μ X et aequales A C, AI erit Aa aequalis Α, et paro' terea etiam aequalis m. Sed mest in ut m ad m, et propterea C E et vi aequantur. lacidit ergo punctum H in hype bolam asymptotis A ,
scriPtam, cujus conjugata transit per punctum C, atque ideo reperitur ineommuni intersectione hyperbolae hujus et circuli descripti e. d. Notandum est autem, quod haec operatio Perinde se habet, sive recta Κm horigonti parallela sit, sive ad hortiontem in angulo quovis inclinata: quodque ex duabus intersectionibus H, ii duo prodeuntini guli N A H,m Ain; et quod in praxi mechanica sussicit circulum semel describere, deinde regulam interminatam M ita applicare ad punctum C, ut rius Pars vi circula et rectae A interjecta, aequalis sit ejus parti Cm inter punctum C et rectam A Κ sitas.
ia summamus messe Punctum qu-tum, Per quod ducenda est recta A, erit per eonstri
H x aequHis et paraules PC, et ideo mi milia I x eum X, a triangula in RI Α, similia proindeque eum sit in m. I per constri erit etiam ΑΕ - ΜΑ- Κλ per Theor. I. de conicis . Sed ob triangulammula C A E HAE E et o parallelas Κ , NH. est CE: ΑΕ - EII EN-FHem, Cum igitur sit A , MN erit quoque C E - m ac proindo incidit pun tum H in hyperholam per Theor. I. de Hyp.
In angulo quom inest uua Demonstr tio tam lineam Μ Α, N per puneta Min Arim ductam horizonti parautelam esse minime sumonit, eademque prorsus manet si linea illa ad homonis inclinata fuerit. ν Quodque ex duabus uerseetionibus. Quoniam punctum H per intersectionem circulie in hy mola determinatur ex dem. , et circulus hypaer Iam in duobus punctis intersecare potest, ae duabus intersectionibus H, h duo prodeunt anguli, aeu duae sunt positiones tangentia
Waeeundum quam reiectile data velocitato emissuas incidit impunerum . 124. Problema. Inventis longitudini sis Io Am maximam altitudinem Gi, ad quam eo us in angulo dato H Am projectum peristingere potest, definire. Sit, ut an exemplo M vid. g. pag. q. BN-: BDααλ NX aee, ratio data ra
Est autem in ut ordinatae G D fluxio, quae, ut haheatur ordinata omnium maxima. Io
aequanda est 4s et quam erit ira , et R
97쪽
Qua de hyperbolis dicta sunt facile applicantur ad parabolas. Nam si X A GAE parabolam designet quam recta X V tangat in vertice X, sintque ordinatim applicata I A V G ut quaelibet abscissarum XJ X dignitates XI XV agantur XV GT AH; quarum M parallela sit V G, et G H parabolam tangant in et Ar et
corpus de loco quovis A secundum re tam Am productam, justa cum velocitato projectum, describa: hanc parabolam, si modosensitas medii in locis singulis insit reciproce ut tangensi T. Velocitas autem in G ea erit quacum projectilete geret, in spatio non resistente in parabola conica verticem in diametrum V G deorsum productam, et latus rectum
Et resistentia in G erit ad vim gravitatis ut de si lineam horizontalem
quo peri ordinata.Gm luse in omnium m
Quare Gi ordinata maxima aequalis est dinserentia inter verticalem N X et quartam portionalem ad D, A N et 2 MI o. i. Is5. Probisma. Datis longitudinibus a t H, angvium projectionis Hism maximas omnium amplitudini Α, convenientem inum. nire Dicantur AH - , ΑΙ - b, HX-2Α - 2b, ΑΚ --, AN - , H m et erit x -- - ΚΙ - Μ- -- , - - Α' - per Reg. s. , proindeque Em mae Α, -- Triangula,milia in C, Em II hanc proportionem suppeditant, Α
- νε-aay unde reduction. facta et divisis terminis Per , eruitur a a b - 2 by - νβ. Hac igitur aquatione resoluta, invenitura eum N ainus anguli H MN, E istente sinu toto A H. e. d. 126. Curia Manifestum est in aequationem a b- by Φ, , quantitatem 2 bos minoremesa quantitatem a b et proinde quadratum Triaeum N , minus dimidio quadratori a a ves L H unde sequitur angulum quaesitum H se recto minorem esse, qui, si medium non resisteret, foret semimetus. Sit medii de sitas, ad que et resistentia, admodum parva, Et
98쪽
37signet, et manente tum densitate meta in A, tum velocitate quacum compus projicitur, mutetur utcunque angulus Ἀπι manebunt longitudia nec H, AI H , et inde datur Parabolae vertex X et positio rectae XI, o sumendo M ad I A ut X V ad XI , dantur omnia parabolae iuncta per quae projectile transibit.
vit igitur maestantia ad gravitatem, ut G rad
99쪽
Quando agitur corpus est in A, medii densitas eat ut mo et Velocitas ut unde a. H. Q nonante tum densitato medii in A, tum vel itato quacum comus projicitur, et mutato utcumque angulam Ara manebunt Ain, et -- - --, ne
Λ L A I. Quare manente Aa, manebit
veniantur, uti Regula τε pro hyperbola sacrum est, longitudines VH, AI et proinde H X et inde dabitur punctum H, per quod si ducatur H X ad horizontem perpendicularis, data X H, ahitur positio rectae M, et sume do VGad IA ut XV ad XI , dabuntur
omnia parabolae uncta G, Per quae proj actile transibit. Problema elegantissimum de invenienda re jectoria quam corpus in medio juxta duplicatam velocitatum rationem resistento describit, in suis Pilneipiis praetermisit Ne tonus. Ram generaliter postea confecerunt clarissimilathematis Ioannes Bomoullius, Hermannus, et uterus, quia ectoriam a projectili descriptam in medio quod in qualibet multiplieata velocitatum m-tione resistit, analytice invenerunti Horum e tigiis insistentes, tam elegans problema in nostris pommentariis desiderari nolumus.
Is . Tandent vi gravitatis uniformi ubiqua Perpendiculariter ad planum horizontis a d terminare curvam mi, quam deaeribit ri j filo in medio uniformi quod in multiplima qualibet velocitatum ratione resistit.
Ductis ordinatis verticalibus P C, is infimih propinquis, et ex puncto P ad me Perpendieulo P, acantur vis invitatis - g, Vel in P Joeulis in loco P - , resistentia ibidem α.
--, ita ut in a quantitas constans qu-- μου minabitur ex determinatione resistentiae, ait in gens Pi arcus Ps-d VC- PC ' et ideo P - dy, ne Ceseu Pr- dx; fluxio haec dri constans supponatur Reao1Vatur actio gravitatis quae exprimitur Per P a in aetionem AE curvae perpendicularem; et acti nem pri curvae pacalleiam quae in Scina eo poris illud retardat in descensu ac lemi, erit actio tota gravitatis ad ejus actionem qua motum in curva retardat in ascensu Et accelam in do-
tota D ad quae est.actis invitati ad retaris dandum corpus in ascensu, et quia in des nau
accelerandum corpus in descensu unde tota mistardatio e poris tam ex invitate quam Ex est
tenua orta est tam in Scena quam in descensu. Decrementum autem Velocitatia Μ, est semper ut vis retardans et temPM quo clumnis ea vis agit conjunctim, idque tempus Eat nemper aequale arcui deseripto P s ad Velocitataem, a plicato, hoc est, temporis incrementum 4 -- unde velocitatis decrementum -- αν - in