장음표시 사용
121쪽
IIo PHILOSOPHIAE NATURALIS suov. Coama.
De corporum circulari motu in mediis resistentibus ').
monus in hae Mellona praeeipua su ponit iugarithmica viralis proprietates, postulat Igitur instituti nostri ratio ut da illa cum maliquid
147. Circulua Em, antro S et radio quovis S P deserimus divisus ait in arcus quotlia het aequale P A, A B, B C, in δεα, sintque radiorum PS, ARBRCS, &α, partes P S, S, RAE X S, e in continua progremiona geometrita, puncta P, Q, R X, α, erunt inaphtali laetarist ea in via proindis si radii Q S,
sunt propter latera circa aequiae ad eantrum angulo proportionalia i 4 et ideo alii angin
RAE R AE aequales fiunt.15O. Quoniam itaque vim quael et PQ Rap. 'Ἀα, totidem triangulis P in is pq S, RS et qrs, Se similibus similitarquamastis divisa est, spira omnes quae a radio polliatione dato Si ad eundem radium ductis sunt, inter in imiles radiisque ore panda rura .
PAE X,-- erunt ut illorum numerorum log rithmi, prorsiis ut in vulgari logarithmica axis parte sunt ut lagarithmi ordinatarum eorrespo dantium. IAR Quoniam autem progressio geometri in infinitum doema re et crescere Potest, manus tum est spiralem log thmicam utrinqud tam ad emtrum S ae dando quam ab eodem versas Hie dando per gyros infinito continuari poma, eontinuata progressione radiorum decrescentium Perescentium circa eantrum S, ad quod ideiria curva deermeantibus radiis proportionalibus, m vis magisque accedit, licet numquam illud possit tingere, sive ut loqui amant, lilae illud emtrum non attingat nisi mat infinita revolutionea.
Ιελ Angulus SMAE, quem radius quilibet
B eum eurva ad easdem partes eo tituit eo atans est; a qui in evanescentibus arcubus
visa omne quilin discipsis correspondo ea ad entrum usque in progremione geometrica decrescere, sunt enim P S, P-- gremionis geometrica termini aequidistantes ob
aequalem angulorum aequalium P S Q, Q S R. Sin .s , A nummum in singulis apiriae myrine in unde radiorum quoque di entia Pi, pcie A in eadem geometrica progre
alano decrescunt.15I. Dueta recta PT spiratim tangente in P, et recta P O ad eandem perpendiculari, per ea trum S erigatur ad radium S P perpendieaeum T S O rectis P vel P in currens in re in longitudo spiralia Petia, S, ad eretrum ua aes, aequabitur tangenti P T. eritque proindo staradium S P in data ratione a ad S P, va OP ad OS. Nam utros, radiis SQ SM
122쪽
Linis SacvND PRINCIPIA MATHEMATICA.
q. R H,ine id eat, ut lonmtudo spiralia ad totum idium P S. Quar longitudo spiralis aequatu tangenti P . Est autem ubique in gens P T ad radium e respondentem P S in ration data, ob triangulum P rs aperis datum I4s is in triarimis T PRAE O S. par eo tr. similis est Etiam O P: S- PT PS, inuui longitudo a talia ad radium. Is2. Hinc quoque patet quod si earum s et radio quovis V S deambatur irrulus mea spiralem ita Vis radium P S in I, para viralis P, erit ad partem a radii P S, ut, a P T ad torum radium P S. Quar al, mane
tibus circulorum radiis S P, SI, mutetur u eumquae angulus ii, quem spiralia muri tua tangens continet eum radis a longitudo spuralia tota ad eantrum MF. S. sicut et longitudo inter duos ineuios radiis S P, et S I descriptoseomprehensa erit ut spiralia tangens P , muri Mean anguli T P S. Ostendimus Isi h studinem viridis aequalem ema in entiae Retpartemviralis PM inter mediet circulos eo tentam, eme natangentem P T in ratione P I ad PB, quaa per φp. data est; manente autem misdio seu ianu toto PS ea PT secans anguli PT R
utrumque angulua di P S, quem spiralia eum radio eontinet, reus circularia Pi vel x eo prehensus inta radios S UM S, D, erit minis per ut subtangens spiralis ML aeui, quae in nemo radio eu in toto P S, est ut anguli P S tangen Iss. Iiadem malua, hoe est, manentibu1 diis S P siva a et Sa aium' et utcumquWm isto angulo T PAE numerus revolutionum apiralis inter elaeulas PD Z P, et IVNI eontros et radiis datis S RAE V vel Sa deseripis eat ut tangens Sa an si id, quem spiralis eum
radio oontinet. Sit enim e cireumferentia ei euli Pia P, et mnumerus integer vel fructus revolutionum spiralia a puncto Vadiunctum
id ea numerus revolutionum inter circulo dat ut a tangens spualis set, seu ut tangens anguli T PI quem spiralis eum radio eo in Iss spiralis post lusinitos alia super- μώ-tos gyro comprehendit eum radio P S spatham duplum trianguli AE T. Iisdem enim positis quae num im cum ait fig. pag. prae d. 's
et sumptis fluentibus, octor em Q - -U; quia vero evanes ut metum Sis, et
123쪽
Sit Uin spiralis piae Meet radios omnes Si SM, SI &c in aequaliatas angulis Matur recta Vrguae tangat eandem in puncto P-s Rsecetque radium grain T; et ad spiralem erectisperpendiculis UO. Ο concurrentibus in , Iungatur SM. Dico quod si punctat et aeredam ad invicem et coeant, avidus USO evade rectus, et ultima ratis recta guli Q, PS ad Ρ quad. erit ratio aequalitatis. Etenim de angulis rectis Ο Ρ R subducantur anguli aequales P R et manebunt anguli aequales Ο Ρ S. Ergo ei culus qui transit per puncta O, Τ transibit etiam Per unctum Q. Coeant puncta Ret hic es cuius in loco coitus M tanget spiralem, )ideoque Perpendiculariter secabit rectam Ῥ. Fiet igitur 'diameter circuli hujus, et angulus in Uin semucirculo rectus Q. e. d. Ad P demittantur Per
PST. ν Transibit etiam perstinctum Q. Per p. XXI. Lib. III. Elem. Idiaque perpendiculariter secati reetam si, quae per Ηyp. yperpendicularis est ad Neum Q. P, fiat igitur O P diameta circuli hujus per Prop. XIX. Lib. III. Elem. et angulus Oa P in semi-circulo rectus per Prop. XXXI. Lib. III. Elem. . linearum rationes, imoae. Quoniam linos P , M E S ad P, normalas aurit parallelae, erit per Pisp. X. Lib. I. Elam. D - TAE MI PAE E, et o iamialitudinem triangulorum PSO, PER PS: P E - S, seu 2 PM 2 PS, id quae TQ PD - 2PO: 2PS Quia vero I dii O P, M sunt ad arcum evanescentem P Q. Perpendiculares, unctum inest centrum P, radius, 2 P O diameta circuli spiralam ac Iantis in P I 2I. Lib. I. et par iam VII- Lib. I. P Q hujus sirculi areus e chorda a atque adeo ex natura circuli 4 cissa Pa -- ad chordam P Q ut P Q ad diametriam meo Quare ex inquo perturbaia, &α
124쪽
Si messii densitas in Dei siviai sit reciproce ut distantia lacorum a centro immobili, sitque vis centripeta in displicais ratione densitatis dico uod cor 3 orari potest i spirali, quae radis Omnes a centro illo duetos imtersecat in avia dato. Ponantur quae in superiore Lemmate, et producatur ad V, ut sit S V sequalis S P. Tempore quovis in medio resistente, describataec usareum quam minimum Ρ et tempore duplo arcum quam minimum Ἐν et
decrementa horum arcuum ex resistentia oriunda, sive
desectus ab arcubus, qui in medio non resistente iisdem temporibus describ
cem ut quadrata te rum in quibus generantur:
Est itaque decrementum arcus Pra pars quarta decrementi arciis AE ' Unde etiam, si areae r inaequalis, matur area Q Sis, erit decrementum arcus V aequale
ex agrim ad invisem Gim enim Erastemta Per arcum P R eonsiderari possit tanquamvis retardatrix 4 , decrementa arcuum min In rum ex resistentia oriunda sunt ut vatin quo urgent vi acceleratrica resistentiae aequali corpus Acriberet iisdem temporibus quia a describit arcus illos R; quar d mementa illa sunt ut quadrata temporum quibus generantur P. Lem. X. Lib. I. V- etiam si area Corma ea velointate quam habet in Ioeo P, temporibus aequalibus diser at armaqu- minimos Pq, ετ, in medio non misinnis, et Meua P in Q. Min medio m
seus Q qine Ru rvmae Rr, et ideo q, LR r. Itaque eodem tempore quo registentia genreis deca ne in Q q, auri Ris, viaeentripeta qua orpus a tangento P vid. smisati ad punctum Q arcus P a retrahitur, ρο-nerat decrementum T Q. et ido vis resistentimeat ad vim entripetam ut ira et ad M, per
Cor. 4. Lem. X. atque m omnia Mneraliter obtinent, Praeeumque fuerit tum curva rura, cujus proprietate nondum adhibuimus, tum vis centripeta, uini resistentia, tum velocitas corporis.
125쪽
d 1idio lineias Ris; ideoque vis resistentia et vis centripeta sunt ad I uicem ut lineolae LM et M quas simul generant. Quoniam vis centripeta, qua corpus urgetur in P, q) est reciproce ut iri, et ' per Lem. X. Lib. L lineola Q, quae vi illa gener
posita ex ratione hujus vis et ratione duplicata temporis quo arcus scribitur nam resistentiam in hoc casu, ut infinit munorem quam Vis centripeta,
ratione duplicata temporis, Rhideoque tempus est ut S ; et corporis velocitas, qua arcus illo tempore describitur, ut
Ps ... hoe est in subduplicata ratione ipsius SP re-
ciproce. Et simili argumento, velocitas qua arcus QR describitur, est in sum duplicata ratione ipsius SQ reciproce. Sunt autem aisus illi PQ et QR )ut velocitates descriptrices ad invicem, id est, in subduplicata ratione S ad Si, sive ut KQ ad Q SΡκ Sia; et ob aequales angulos Sis SMi et aequales areas HS Q, Q Ur, est arcus PQ ad arcum is ut P. y Sumantur proportionalium consequentium differentiae, et fiet arcus PQ
126쪽
sequalitatis. Quoniam decrementum arcus M, ex resistentia oriundum, sive hujus duplum Ris, ' est ut resistentia et quadratum temporis conjunctim ' erit rosistentia ut Erat autem UQ
ui resistentia, Phid est in ratione densitatis medii in re ratione duplueata velocitatis conjunctim. Auseratur duplicata ratio velocitatis, nempe ' et ob datam rationem AE ad Ο Ρ, densitas modii in merit ut L . In medio igitur cujus densitas est reciproce ut distantia a centro S R O pus gyrari potest in hac spirali. Q. e. d.
Coro I. ' Velocitas in loco quovis Heu semper est, quacum comus in medio non resistente eadem vi centripeta gyrari potest in circulo, ad eandem a Centro distantiam Sae.
127쪽
' Ira inde spiralis ad quamlibet ni
dii densitatem aptari Poten. Cores. s. Vis resistentiae in loco quovis P, est ad vim centripetam in
eodem loco ut L S ad D P Nam vires illae sunt ad invicem ut ia r
seu Lo S et Ο Ρ η Data igitur spirali datur proportio resistentiae
P, radio US descripto, in eoque retineatur 'ieentripeta quae sit eadem cum illa qua eo usurgetur in puncto P spiralis vide fig. textus . Sumatur in radio AE partieul P X aequalis Quisve spatio quod generatur per vim centru tam qua corpus retinetur H spiria in P, duetaque tangente Pra e puncto Y ducatur poreentrum linea S ad tangentem usque, j-t spatium quod generatur per vim contripetam qua orpus in circulo retinetur, sed coeuntibus
puncti P et x linea a fit ultimδ pariaeti
P X, sive M. Cam ergo eadem sit vis centripeta tam in circulo quam in spirali, in spatia aequalia a et M ab illa vi centripeta gen
rentur, aequali tempore utrinque generabuntur, unde eodem tempore quo eorpus in spirali in
pervenerit, eo ipso tempore perveniet in vincircula, velocitas ergo in spirali erit ad velocit iem in hoc circulo ut est arcus P ad meum P v, sed ex natura spiralia per Lemma III. atra me A 2 P S, et ex natura circuli est PY- Xκ2 PS et ex constructione
ergo P Q - Ρ , ergo velocitas in loco quovis spiralis ea est quacum corpus eadem 'bentripeta in medio non resistente ad eandem a centro distantiam gyrari potest. D Et in statis, Finwtur duo modis diversae densitatis, talia tamen ut in si gulo medio densitas in lodis diversis si reeiproce ut distantia locorum a centroe Sumpta vero in utroquε amati a mntro distantia MD, id ratio densitatis prioris medii ad densitatem post oris in Ioeo ut ais, , raso eadem erit in alia quacumque distantia a centro, puta
ad Α--- ut a d b, ergo in his duo a mediis densitate erunt ubique in data mitione a dis in aequalibus a centro dista sis. 8 itaque data sit spiralis qua in medis prior deseribitur, inveniri poterit illa quae in posteriore medis describi posset; nam sumpis distantia quavis S P, stat a ad bruto b os AO erit rata quae in hae nova spirali intereiade inter lineas, lineia Ora et o P correspondentes, sim quia a gulus S in triangulo in P est rectus, hae Erit ratio inter sinum anguli quem facit linea P Scum perpendiculari ad curvam, et radium; quoata dato eiusque angulo, spiralia obtinetur in hane medii densitatem aptata. Ex quibus illustratur quod praecedit in Oeipso Corollario, si dum spirales in diversis mediis describantur, mediorum densitatis in eadem dia-O Stantia erunt ut inae, sed si dratantiastis Eritaeo diversa sumantur, ratio inversa distantiam, eat huic conjungenda eruntque ideo mediorum det
sim, et unctis steti coeuntibus, at M.
128쪽
ad in entripetam, et vie versa ex data illa proportione da- --
C res. 6. mpus itaque gyrari nequit in hac spirali, nisi ubi vis re
sistentiae nainor est quam dimidium vis centripetae.
dimidio vis centripetae, et spiralis conveniet cum ibne recta inque hac
quae sit ad velocitatem, qua probavimus in superioribus in casu Parabolae Theor. X. Lib. I. descensum in medio inin resistente fieri, hin subduplicata ratione unitatis ad num rem binarium e Et tempora descensus hic erunt reciproce ut velocit res, atquesideo dantur.
aeri nus Moestas in eodem laeo P aequalia est velocitati quacum eorpua in medio non resistente gyriae potest In circulo ad integram distantiam S P. Sed velocitates corporum dive sos ireuisa deaementium in bypothesi quod vires centripetae sunt reciproc ut quadrata radiorum) sunt inter se meimia in radiorum ratione subduplieata pro convera Cor. 6. Prop. IV. Lib. I. adeoque velocitas in circula cujus radius S P est ad vel itatem in circulo iuuamdiu LS P, ut VH ad Afra, sive utra ad
is erit ergo velocitas corporis in medio maistente per rectam P S descendentis ad veloetitatem d cendentis in medio non resistente perrectam eandem et in eodem loco P existentis, ut
Observandum vero quod volocitatam initiales utrinquo dehant eas meundum legem quae in reliquo motu intinet, hoc eat velocitas initialis in medio resistente eam debet aequalia celeritati qua corpus ad eamdem a centro distantiam in medio non realatonis circulam deseriberet, et v loeitas initialis in medio non resistente aequalis eam debet velocitat qua orpus ad dimidiam a nuo distantiam in medio non reaiatenis in i
Quoniam itaque alaestas orporis in medio non resistente demendantia datur per Disor. X. Lib. I. dabitur etiam velocitas in medio maistonis descendentia.
ratione datur specie triangulum rectangulum
P S , et hine datur angulus PGAE aequalis a xvlo Q HS quem spiralis eum radio eontinet, ideoquo datur spiriaia. Ita enim datis et assumpto in I et radio S P, dabitur a tangens spiralis I garistimeas, ae tangens anguli, P S, et hino
Nisi ubi sis resistentis -- ω, M. tam enim via resistentiae in ad vim entripetam
annua hypotheriosa o P, manifestum est ima sistentiae minorem esse vimidia, eentripsti vis νε-tentia aequalis dimiais via --ari Me, in Ide6quem S aequalis O , et punctos in infinitum abeunte, fiet O P per m sieularis ad S P, et angulus 'O S ipsique aequalis angulus Q ris quem spiralia continet, cum so P S evanes L eonvenietque proind. vir va eum timea recta P s. ' sub μωαι rationa tinuatis. Nam ita Theor. x. Lib. I. xeo oria in medio nona
lenta meta Mentia velocitas in loco quovis P qualis eat velocitati qua eorpus ad distantiam diuudiam a centro, seu ad distantiam LS P ci eutam dea isere potest, et per Cen . i. hujus eo oris in medio resistant viralem ae metam Pa eum qua viralia convenire supponitur d
129쪽
Corol. 5. Et quoniam an aequalibus a centro distantiis Velocitas
' eadem est in spirati Z R atque in recta Si et longitudo spiralis ad longitudinem rectae 'S est in data ratione, ' nempe in ratione inrado S tempus descensus inspirali erit ad tempus descensus In recta Si ' in
eadem illa data ratione, proindeque datur. Corol. 6. Si centro S intervalliis duobus quibuscunque datis describantur
duo circuli; et manentibus hisce circulis, mutetur Ncunque angulus quem Puralis continet cum radio US: numerus revolutionum quas corpus intra circulorum circumserentias, pergendo in spirali a circumserentia ad circumferentiam, complere potest,
Rhest ut sivest tangens anguli illius quem spiralis continet cumis
dio US; hytempus vero revolutionum earundem ut Δ, id est, ut secans
Sanguli ejusdem, vel etiam reciproce ut medii densitas.
temporis quibus corpora duo in medio m sistente et in eodem non resistante deseribunt spatium idem quam minimum R,.sunt ut corporum velocitates reciproc/
is id est ut, is et I directe per m do domonstrata) adeoque in data ratione. πω per Cor. Lem. IV. mih I. tempora tota quibus corpora illa idem spatium quodvis P R describunt, sunt Retiam in eadem data ratione 4 2 ad 1, seu ut velocitates reciproia. Cum iritur
Lib. I. ydetur tempus quo corpus in medio non resistente cadendo spatium quod libet deseribit, dabitur quoque tempus quo corpus in medio resistente spatium quod ista tum cadendo percurrit.
I57. In eadem illa ratione. Spatia enim voloestatibus aequalibus et uniformibus descripta sunt ut tempora quibus describuntur unde si spiralis P Q. R et recta P S, divisae intelligantur in partes quam minimas totis proportionales, quod fit dum puncta divisionum in spirali et in radio P S a centro S aequidistant i52htempora quibus partes illae quam minima in spirali et in recta I S homologiae describuntur, erunt ut eamdem partes, seu in data ratione, siquidem velociatas in spirali ei in meta in iis punctis incentro a uidistantibus sunt aequales eidem,ne ε celeritati corporis eire idem centrum ad eandem distantiam in circulo revolventis; ideoque ver Cor. Lem. IV. Lib. I. totum ampus desee stis in spirali erit ad totum tempus descensus in recta P S per spatia nomologa in data illa να-tione longitudinis nempe spiralis ad langitudinem P S, seu in ratione O P ad O S. tit --, tangens anguia, &m 15, . Si autem sinus totus ait I, cum si O R. ad Pra, ut sinus totus ad tangentem angisIi P ora, seu anguli aequalis Q P S, erit tangerim
--, id est, ut ecans, c. Est enim tempo- illud revolutionum inter e reuius duos datoa, inintempus descensus per partem datam recta P, inter circulo contentam ut longitudo reva
130쪽
ors. 7. Si corpus in medio, cujus de
sitas est reciproce ut distantia locorum a. centro, revolutionem in curva quae que
Era circa centrum illud secerit, et radium primum A S in eodem angulo secuerit in B quo prius in Α, idque cum velociatate γε fuerit ad velocitatem suam primam inis reciproce in subduplicata, tione distantiarum a centro id est, ut A Sad mediam proportionalem inter x et B corpus illud perget innumeras consimiles revolutiones Ba C, CG D,inc sacere, et intersectionitionum uariam ad partem hane recta P S, ea ope quod punctum transit etiam spiralis Irea- eulis duobus interceptam 157 sed mutato rissimi , Eodem modo utcumque angulo quem spiralis continet cum ddio P S longitudo revolutionum inter duo cineulo dato comprehensa est ut Mana anguli illius 152). Quare eam datum ait tempus deseensi per Partem datam recto P S interii eulos dato e tentam erit templis revolutionum inter circula ut secana anguli quem spiralis
eontinis eum radio P S seu ut rem in mianua totus alto, erit Ora ad O ruta ad s
determinatur ad arinulanis dum motum eo oria P secundam auam revoluistionem Molventis, quo determinatum fuerat in loco A ut aemularetur motum corporis ejusdem
P primam suam revolutionem perficientis; cum per dem. omnia paria sint in locis metis videlicet mediorum densitates, corporum velocis tes, directionea, viresque centripetae. Quoniam igitur saeunda spirans Imarissimi a revolutio a puncto B ad punctum C priori a puneto ad punctum B absoluta similis est Im), necessumeantem anguli POS seu PS, et ideo ineatis ui secunda quoque euom revolutio
est ,--- Porro data recta P S densitas est ut
p x reciproia per Cor. s. huius Ea go,inc. th Gmtis sirud perget,ine. Centro S et e dio dato S A deseripta intelligam spiralis Iogarithmie qua prima revolutione absoluta, transeat per Pranctum B datum in radio S A 153. st viralia tua suis semper similibus revolutionibus unguEt alium A S in partes A S, DAE, C. continue proportionales 15O Fingamus etiam quod iisdem positis quae in Prop. XV. eor a aliquod P in medio justae densit iis viralem tuam logarithmicam describat, dum eo tis His Q in alio medio describit curvam Em rura et in iisdem a Gntro S distantiis densit ea duorum mediorum erunt in data x tione, cum in utroque medio sit per Hyp Cor. hujus et per Prop. V. densitas in Ioeo A ad densitatoni in loco B, ut S B ad 8 A. Sunium o velocitates corporum P et u in loco B, erunt in eorumdem velocitates in loco , per Prop. V. et Hyp Coro hujus ideoque in
data ratione vires autem centripetae quihus --
poris P, Q urgentur, sunt in utroqii medio iisdem in Ioes eaedem per Hyp.), et tandem ob angulos clatos quos tam spiriata marithmica, quam curva eontinet cum radio Ara, directione motuum in utraque curea pares sunt in locis A et B quare postquam corpus Q prima sevestatione Λ E B ahaoluta, pervenit in B, priori A E B sit similis; et simili modo ostenis detur revolutiones omnis Sm,ine. et mutua corporis Q eas absolventis esse interae similes. Erunt igitur revolution B,
Ac id est, continu/ proportionales, Et ob simili. tudinem motuum in similibus revolutionibus Era, &e si a centro S ductus i telligatur radius revolutiones illas Meana in Ε, F, G die quae erunt in revolutionibus Amra, B ine loca homologa erit velocitas ris Q in lae E ad volocitatem ejus in laeo A ut velocitas in F ad velocitatem in B, et proinde velocitas in E ad velocitatem in B, ut vel tisai A ad velocitatem in B, id est, per Hyp Cor. hujus istBS MAS sed is ora quibus
spatia homologa quam minima in locis E et describuntur sunt iit spatia illa directe et velovitates inversem 2 quare cum spatia homologa
indoeis E, F sint ut radii Ara et Bra, et vel itates ibidem ut AS etBS invaria ex
dem. tempus quo sputium minimum remi tionis A E B describitur est ad tempus quo de eribitur spatium homologum revolutionis milis
est, ut A SAE ad BAE', id que in data ratione. Unde par Cor. Lem. IV. Lih I. ytempus totum quo corpus Q primam suam revolutionem A E Babsolvit os ad tempus quo secundam revolu