Philosophiæ naturalis principia mathematica

121쪽

IIo PHILOSOPHIAE NATURALIS suov. Coama.

De corporum circulari motu in mediis resistentibus ').

monus in hae Mellona praeeipua su ponit iugarithmica viralis proprietates, postulat Igitur instituti nostri ratio ut da illa cum maliquid

praemittamua.

147. Circulua Em, antro S et radio quovis S P deserimus divisus ait in arcus quotlia het aequale P A, A B, B C, in δεα, sintque radiorum PS, ARBRCS, &α, partes P S, S, RAE X S, e in continua progremiona geometrita, puncta P, Q, R X, α, erunt inaphtali laetarist ea in via proindis si radii Q S,

sunt propter latera circa aequiae ad eantrum angulo proportionalia i 4 et ideo alii angin

RAE R AE aequales fiunt.15O. Quoniam itaque vim quael et PQ Rap. 'Ἀα, totidem triangulis P in is pq S, RS et qrs, Se similibus similitarquamastis divisa est, spira omnes quae a radio polliatione dato Si ad eundem radium ductis sunt, inter in imiles radiisque ore panda rura .

PAE X,-- erunt ut illorum numerorum log rithmi, prorsiis ut in vulgari logarithmica axis parte sunt ut lagarithmi ordinatarum eorrespo dantium. IAR Quoniam autem progressio geometri in infinitum doema re et crescere Potest, manus tum est spiralem log thmicam utrinqud tam ad emtrum S ae dando quam ab eodem versas Hie dando per gyros infinito continuari poma, eontinuata progressione radiorum decrescentium Perescentium circa eantrum S, ad quod ideiria curva deermeantibus radiis proportionalibus, m vis magisque accedit, licet numquam illud possit tingere, sive ut loqui amant, lilae illud emtrum non attingat nisi mat infinita revolutionea.

Ιελ Angulus SMAE, quem radius quilibet

B eum eurva ad easdem partes eo tituit eo atans est; a qui in evanescentibus arcubus

visa omne quilin discipsis correspondo ea ad entrum usque in progremione geometrica decrescere, sunt enim P S, P-- gremionis geometrica termini aequidistantes ob

aequalem angulorum aequalium P S Q, Q S R. Sin .s , A nummum in singulis apiriae myrine in unde radiorum quoque di entia Pi, pcie A in eadem geometrica progre

alano decrescunt.15I. Dueta recta PT spiratim tangente in P, et recta P O ad eandem perpendiculari, per ea trum S erigatur ad radium S P perpendieaeum T S O rectis P vel P in currens in re in longitudo spiralia Petia, S, ad eretrum ua aes, aequabitur tangenti P T. eritque proindo staradium S P in data ratione a ad S P, va OP ad OS. Nam utros, radiis SQ SM

122쪽

Linis SacvND PRINCIPIA MATHEMATICA.

q. R H,ine id eat, ut lonmtudo spiralia ad totum idium P S. Quar longitudo spiralis aequatu tangenti P . Est autem ubique in gens P T ad radium e respondentem P S in ration data, ob triangulum P rs aperis datum I4s is in triarimis T PRAE O S. par eo tr. similis est Etiam O P: S- PT PS, inuui longitudo a talia ad radium. Is2. Hinc quoque patet quod si earum s et radio quovis V S deambatur irrulus mea spiralem ita Vis radium P S in I, para viralis P, erit ad partem a radii P S, ut, a P T ad torum radium P S. Quar al, mane

tibus circulorum radiis S P, SI, mutetur u eumquae angulus ii, quem spiralia muri tua tangens continet eum radis a longitudo spuralia tota ad eantrum MF. S. sicut et longitudo inter duos ineuios radiis S P, et S I descriptoseomprehensa erit ut spiralia tangens P , muri Mean anguli T P S. Ostendimus Isi h studinem viridis aequalem ema in entiae Retpartemviralis PM inter mediet circulos eo tentam, eme natangentem P T in ratione P I ad PB, quaa per φp. data est; manente autem misdio seu ianu toto PS ea PT secans anguli PT R

utrumque angulua di P S, quem spiralia eum radio eontinet, reus circularia Pi vel x eo prehensus inta radios S UM S, D, erit minis per ut subtangens spiralis ML aeui, quae in nemo radio eu in toto P S, est ut anguli P S tangen Iss. Iiadem malua, hoe est, manentibu1 diis S P siva a et Sa aium' et utcumquWm isto angulo T PAE numerus revolutionum apiralis inter elaeulas PD Z P, et IVNI eontros et radiis datis S RAE V vel Sa deseripis eat ut tangens Sa an si id, quem spiralis eum

radio oontinet. Sit enim e cireumferentia ei euli Pia P, et mnumerus integer vel fructus revolutionum spiralia a puncto Vadiunctum

id ea numerus revolutionum inter circulo dat ut a tangens spualis set, seu ut tangens anguli T PI quem spiralis eum radio eo in Iss spiralis post lusinitos alia super- μώ-tos gyro comprehendit eum radio P S spatham duplum trianguli AE T. Iisdem enim positis quae num im cum ait fig. pag. prae d. 's

et sumptis fluentibus, octor em Q - -U; quia vero evanes ut metum Sis, et

123쪽

Sit Uin spiralis piae Meet radios omnes Si SM, SI &c in aequaliatas angulis Matur recta Vrguae tangat eandem in puncto P-s Rsecetque radium grain T; et ad spiralem erectisperpendiculis UO. Ο concurrentibus in , Iungatur SM. Dico quod si punctat et aeredam ad invicem et coeant, avidus USO evade rectus, et ultima ratis recta guli Q, PS ad Ρ quad. erit ratio aequalitatis. Etenim de angulis rectis Ο Ρ R subducantur anguli aequales P R et manebunt anguli aequales Ο Ρ S. Ergo ei culus qui transit per puncta O, Τ transibit etiam Per unctum Q. Coeant puncta Ret hic es cuius in loco coitus M tanget spiralem, )ideoque Perpendiculariter secabit rectam Ῥ. Fiet igitur 'diameter circuli hujus, et angulus in Uin semucirculo rectus Q. e. d. Ad P demittantur Per

PST. ν Transibit etiam perstinctum Q. Per p. XXI. Lib. III. Elem. Idiaque perpendiculariter secati reetam si, quae per Ηyp. yperpendicularis est ad Neum Q. P, fiat igitur O P diameta circuli hujus per Prop. XIX. Lib. III. Elem. et angulus Oa P in semi-circulo rectus per Prop. XXXI. Lib. III. Elem. . linearum rationes, imoae. Quoniam linos P , M E S ad P, normalas aurit parallelae, erit per Pisp. X. Lib. I. Elam. D - TAE MI PAE E, et o iamialitudinem triangulorum PSO, PER PS: P E - S, seu 2 PM 2 PS, id quae TQ PD - 2PO: 2PS Quia vero I dii O P, M sunt ad arcum evanescentem P Q. Perpendiculares, unctum inest centrum P, radius, 2 P O diameta circuli spiralam ac Iantis in P I 2I. Lib. I. et par iam VII- Lib. I. P Q hujus sirculi areus e chorda a atque adeo ex natura circuli 4 cissa Pa -- ad chordam P Q ut P Q ad diametriam meo Quare ex inquo perturbaia, &α

124쪽

Si messii densitas in Dei siviai sit reciproce ut distantia lacorum a centro immobili, sitque vis centripeta in displicais ratione densitatis dico uod cor 3 orari potest i spirali, quae radis Omnes a centro illo duetos imtersecat in avia dato. Ponantur quae in superiore Lemmate, et producatur ad V, ut sit S V sequalis S P. Tempore quovis in medio resistente, describataec usareum quam minimum Ρ et tempore duplo arcum quam minimum Ἐν et

decrementa horum arcuum ex resistentia oriunda, sive

desectus ab arcubus, qui in medio non resistente iisdem temporibus describ

rentur, Rherunt ad invi

cem ut quadrata te rum in quibus generantur:

Est itaque decrementum arcus Pra pars quarta decrementi arciis AE ' Unde etiam, si areae r inaequalis, matur area Q Sis, erit decrementum arcus V aequale

ex agrim ad invisem Gim enim Erastemta Per arcum P R eonsiderari possit tanquamvis retardatrix 4 , decrementa arcuum min In rum ex resistentia oriunda sunt ut vatin quo urgent vi acceleratrica resistentiae aequali corpus Acriberet iisdem temporibus quia a describit arcus illos R; quar d mementa illa sunt ut quadrata temporum quibus generantur P. Lem. X. Lib. I. V- etiam si area Corma ea velointate quam habet in Ioeo P, temporibus aequalibus diser at armaqu- minimos Pq, ετ, in medio non misinnis, et Meua P in Q. Min medio m

seus Q qine Ru rvmae Rr, et ideo q, LR r. Itaque eodem tempore quo registentia genreis deca ne in Q q, auri Ris, viaeentripeta qua orpus a tangento P vid. smisati ad punctum Q arcus P a retrahitur, ρο-nerat decrementum T Q. et ido vis resistentimeat ad vim entripetam ut ira et ad M, per

Cor. 4. Lem. X. atque m omnia Mneraliter obtinent, Praeeumque fuerit tum curva rura, cujus proprietate nondum adhibuimus, tum vis centripeta, uini resistentia, tum velocitas corporis.

125쪽

d 1idio lineias Ris; ideoque vis resistentia et vis centripeta sunt ad I uicem ut lineolae LM et M quas simul generant. Quoniam vis centripeta, qua corpus urgetur in P, q) est reciproce ut iri, et ' per Lem. X. Lib. L lineola Q, quae vi illa gener

posita ex ratione hujus vis et ratione duplicata temporis quo arcus scribitur nam resistentiam in hoc casu, ut infinit munorem quam Vis centripeta,

id est per Lemma novissia

ratione duplicata temporis, Rhideoque tempus est ut S ; et corporis velocitas, qua arcus illo tempore describitur, ut

Ps ... hoe est in subduplicata ratione ipsius SP re-

ciproce. Et simili argumento, velocitas qua arcus QR describitur, est in sum duplicata ratione ipsius SQ reciproce. Sunt autem aisus illi PQ et QR )ut velocitates descriptrices ad invicem, id est, in subduplicata ratione S ad Si, sive ut KQ ad Q SΡκ Sia; et ob aequales angulos Sis SMi et aequales areas HS Q, Q Ur, est arcus PQ ad arcum is ut P. y Sumantur proportionalium consequentium differentiae, et fiet arcus PQ

126쪽

sequalitatis. Quoniam decrementum arcus M, ex resistentia oriundum, sive hujus duplum Ris, ' est ut resistentia et quadratum temporis conjunctim ' erit rosistentia ut Erat autem UQ

ui resistentia, Phid est in ratione densitatis medii in re ratione duplueata velocitatis conjunctim. Auseratur duplicata ratio velocitatis, nempe ' et ob datam rationem AE ad Ο Ρ, densitas modii in merit ut L . In medio igitur cujus densitas est reciproce ut distantia a centro S R O pus gyrari potest in hac spirali. Q. e. d.

Coro I. ' Velocitas in loco quovis Heu semper est, quacum comus in medio non resistente eadem vi centripeta gyrari potest in circulo, ad eandem a Centro distantiam Sae.

127쪽

tia illa non datus, ut

' Ira inde spiralis ad quamlibet ni

dii densitatem aptari Poten. Cores. s. Vis resistentiae in loco quovis P, est ad vim centripetam in

eodem loco ut L S ad D P Nam vires illae sunt ad invicem ut ia r

seu Lo S et Ο Ρ η Data igitur spirali datur proportio resistentiae

P, radio US descripto, in eoque retineatur 'ieentripeta quae sit eadem cum illa qua eo usurgetur in puncto P spiralis vide fig. textus . Sumatur in radio AE partieul P X aequalis Quisve spatio quod generatur per vim centru tam qua corpus retinetur H spiria in P, duetaque tangente Pra e puncto Y ducatur poreentrum linea S ad tangentem usque, j-t spatium quod generatur per vim contripetam qua orpus in circulo retinetur, sed coeuntibus

puncti P et x linea a fit ultimδ pariaeti

P X, sive M. Cam ergo eadem sit vis centripeta tam in circulo quam in spirali, in spatia aequalia a et M ab illa vi centripeta gen

rentur, aequali tempore utrinque generabuntur, unde eodem tempore quo eorpus in spirali in

pervenerit, eo ipso tempore perveniet in vincircula, velocitas ergo in spirali erit ad velocit iem in hoc circulo ut est arcus P ad meum P v, sed ex natura spiralia per Lemma III. atra me A 2 P S, et ex natura circuli est PY- Xκ2 PS et ex constructione

ergo P Q - Ρ , ergo velocitas in loco quovis spiralis ea est quacum corpus eadem 'bentripeta in medio non resistente ad eandem a centro distantiam gyrari potest. D Et in statis, Finwtur duo modis diversae densitatis, talia tamen ut in si gulo medio densitas in lodis diversis si reeiproce ut distantia locorum a centroe Sumpta vero in utroquε amati a mntro distantia MD, id ratio densitatis prioris medii ad densitatem post oris in Ioeo ut ais, , raso eadem erit in alia quacumque distantia a centro, puta

ad Α--- ut a d b, ergo in his duo a mediis densitate erunt ubique in data mitione a dis in aequalibus a centro dista sis. 8 itaque data sit spiralis qua in medis prior deseribitur, inveniri poterit illa quae in posteriore medis describi posset; nam sumpis distantia quavis S P, stat a ad bruto