Philosophiæ naturalis principia mathematica

71쪽

ut a P ad a C, hoc es ut voloeitas emporis pr docti est ad velocitatem maximam quam corpus equiete cadando potent aequirere Ciam igitur arearum ABNKMGDT, momonis L, Net D T V sint ut volocitates, erunt arearum ill Tum partes omnes simul genita ut spatia simul deseripta, ideoquo areae totae in initio genitae

ABNKet GDT, in spatia tota ab initio

proiectionis descripta. IOZ Corol. S. Velocitas a P corporis projecti in fine temporia Gam, est ad velocitatem quam e pus velocitato initiali a F projectum e

dem tempora in medio non resistente cadendo haberet, ut triangulum a CD ad summam trianguli a m et sectoris hyper-holici, Ti. Nam velocitatis incrementum temporum T D in spatio non est tente genitum est ut tempus G Tm, et v Iocitas projectionis ut a F, sive ut trianguium a FO atque adeo velocitas tota in lina

temporis T D ut GTD 4 FD, et velocitas in fine temporis eiusdem, ita medio resistente est ut a P, id est ut triangulum a Pi et voloestatas illi initio Proiectionis aequantur inter se, perind ut

seetorem in D evanescentem. Et a P a qualem a F initio descentiis. Iox Coro 4 Tempus quo corpus in medio resistante proiectum acquirit velocitatem a P seu quo amittit velocitatem P Rest ad tempus quo velocitatem maximama , in spatio non resistente e quiet eadem do aequirere posset, ut Metor G D T ad tria

gulam a D α Sit a F - - , recta Mocitatem

.XPonens quam corpus in medio non resistenis eum velocitate initiata a F proiectum elapso tem

s Wox his, sed est velocitas quam corpus equiete dendo in medio non resistento acquireret tempore Grai, et velocitates in medio non est tente acquisitae sunt ut tempora quibus acquu

runtur, ideoque velocitas V - - --, est Qua velocitatem a C in medio non resistente aequisitam ut tempus G m ad tempus quo corpus velocitatam a C acquirit a quaia hoc tempus erit

a Dra a C, seu per triangulum a D C op

natur.

I . Comes . Mino ex dato tempore datur spatium descriptum Capiatur enim sector G D Tad triangulum a D C, ut tempus datum ad tem-Pus quo corpus in medio non resistenta aequiritvelacitatem terminalam a C et dabitur tum V locitas QP, tum area Aram , quae eat adsectorem Si , ut spatium quaealtum ad sp tium quod tempore dato eum velocitat illa te

minati a C uniformiter describi potast IOI et grediendo ex dato spatio Aram , dabitur ιempus G D T, si capiatur area Aram Κ, ad inanimum a m in athmo spatii dati ad

duplum spatii quod corpus in medio non resia. tente cadendo deseribit ut vel istem termin em a C aequirat. Id demonstratu ex noti Ios. et lol. eodem prorsus modo quo laetum est

1ω Scholium. Supinore eo tractione d finiendis corporum motibus sumesunt, Me m dii resistentia partim eonstans partim vel itatis quadrato proportionalis. Nam si corpus sola vi imita moveatur, rectara , quae tu construmtionibus Prop. VIII a IX. vim gravitatis uni. Rrmem xponebat, partem mistentiae constam tem quas vi alteri centripetae uni mi aequalis censeri potest, aeteris manentibus, exponet. Sed si eorpus in medio praedicis gravitat uia.. sormiter agentis intestatum meta Mendat voldescendat, linea A C, in onstructionibus pro ascensu vim gravitatis et Partem reaistentiae d tam simul exhibebit, in constructionibus vero pro descensu ex Mum gravitatis supra partem resistentia datam repraesentabit Et linea illa C. ita determinata vim gravitatis uniformem exponet, qua corpus urgeretur in medio cujus esset resistentia ut Velocitatis quadratum. Si vero pars illa resistentia quae unis in manet

vi gravitatis aequalis uerit et eo us deorsum projiciatur, idem erit illius motu ac si sola vi iniata ferretur in medio quod reiasteretim ratione quadrati velocitatis, atque ideo in hoo ensu usum panda erit constructio Propositionis in Jam vero omimis constructionibus per Imarithmi inquas ex demonstri M. 45. faciis adueere, aut inmonumentis Academis Regia an I7 . et etiam in Phoronomia Hermania lecto viis dare poterit, duo γε sequuntur generalia μυ- hismata analyties scivem .

PROBLEMA.

Definire motum corpori uniformi gravitato urgente, recta demendenti vel nacendantis in

72쪽

eas νεουε - θ---- Qv quod patet, si duae-ὐ - Cum iritur in his trema. stactiones ad communem denominatorem

I . iam tantia su velocitatisquadratum,

73쪽

tem et dis periis, jungantur Di,

sumptisque fluentibus t

Definire motum eo oris in linea rectM C, iqualibet centripeta ad punctum s Endente sollicitati in medio cujus resistentia est ut densitas medii et dignita quaevis velocitati comporis conjunctim. IOR Corpus e loco dato A vel a data cum velocitate proiectum ascendat per a uum a P. vel descendat per spatium Λ , dicanturque velocitas projectionis in a vel Λ - patium descriptum a P vel νε- s, tempus quo de-

eriptum est velocitas orporis in loco P - , vis centripeta ibidem is densitas medii in eodem Iom a resistentis distantia C P - , et data C a viam Λ- erit 22 pro eorporis Meensu, g dxinhv dx- - δ' et Pro

d censu g dx-hv d - - δ' quarum aequationum altarutriun refouvere satis est, eum altera in alteram

abeat, mutato signo' vel quantitatatio praefixo. via vero corpore ascendente est a P - a- - 44 proindνὶ - dis at eodem das α- donis VP - - ω- , et ideo Ma- - erit m corporis ascenau I3yssit - - - - , et Pro desce aura - - - His positisar viter exponimus praecipuo casus in quibus superiorum aequationum vari bile separari et aequationes proind. per

curvarum quadratura construi po sunt.

d TdE- ad x qua variabile sunt separatae. III. Si densit a constans fuerit, vis Entripeta g ut distanti x a centro et resistentia ut velocitas, variabiles separari Possunt. Nam si ponatura constans et ni Q, aequatio generalis sata ad xΦk d πα- - dri in qua neglectis messicientibus datis a et M termini omnes sunt homogenes s. ejusdem dimensionis. Ponatur itaque inda dis dii ad x x d a, et aequatio evadet axo Ex dx-- gax dx-2x d 2 et temunia omnibus

vestareuli quadratura semper Construi Potest. II 2. Si meteris Paribus, medii risistentia tui quadratum velocitati H - , - , et demsitas medii Eviaque centri in miant ut functiones quaelibet distantiae , Variabiles in au rioribus

74쪽

Tendat unifo mi vis graviscuis directe ad plan- karizontis, sitque resistemtia ut medii densitas et quadratim Horitatis conjunctim requiritur tum medii densitas in locis singiuis, quae,aciat ut corpus in dat quavis linea curve moveatur tum in ris Gestas et medii resistentia in locis sin gutis.

Si P Quilarium illud plano schematis perpendiculare; a H Q lineae in Umo huic occurrens in punctis Uet Q G, H, I K loca quatuoreo oris au hac curva a F

natae quatuor parallelae ab his punctis ad horigontem demissae, et lineae horigontali

' adiuncta B, C, D, E

insistentes; et sint B C, D, E distantia ordinatarum inter se aequata A punctis G et H ducantur rectae GL, Η, eurvam tangentes ini et II, et ordinatis vi re sursum ductis occurrentes in L et, et compleatur parallelogrammum H GD κ ' Et tempora, quibus corpus describit arcus G H, H I, erunt in su

in quihus aequationibus variabiles sunt se orae, quia per Hyp. quantitates ceta sunt ut sun tiones variabilia . Constans Q determinatur ex eo quod ubi x i, ait tempus vero definitur per aequationem da -- pro eo oriad x ascensu, et per sequationem 4 - - - pro eo oris descensu, in quibus aequationibus, ialae visu tituatur ipsius valor per x inventua, variabile erunt separatae. Sed do his vita, inanicam lan Evieri. Iis tempora iubetis crema Macran arcus evanescente G H, H I, erunt in stibam plicata ration aliaudiniam L Η, Ni Eodem enim temporis momento quo corpus vi motus insiti in G deseriberet,ngentem O L, vi gravia talia uniformi caderet per altitudinem VH qua-lam in medio non reaistente percurreret eo ipso tempore resistentiae enim effectus altitudinem

75쪽

duplicata ratione altitudinum L Η, ΝΠ, quas corpus temporibus illis describere posset, a tangentibus cadendo 'het velocitates erunt ut lo gitudine d Criptae G H, H I directe et tempora inverse. XPonantintempora per retri, et V

locitates per ' et ' ; q) et decrementum velocit iis tempore t iactum opon

tur per ri T. Hoc decrementum oritur a mi tentia corpus retardante, et gravitate corpus accelerante. Gravitas, in corpore cadente

et spatium I cadendo describente generat velocitatem, qua duplum illud spatium eodem temporo

describi potuisset, ' ut Galilaeus demonstravit; id est velocitatem en at in corpore arcum H I describente, auget arcum illum sola longitu-

eam minuit quantitate eius ipsius re oetu infinia Parata, quaerataque hic non eat apectanda, itaque eo ua reum G Himeri re censendum est mmmmata ex vi motus insiti et vi gravitatis. Et simili modo tempore eodem quo describit arcum Ha vi gravitatis eaderat per altitudinem Na. Quare per Lem. X. Lib. I. tempora quibus eorpus describit arma G H, HI, seu quibus e di per altitudines L, NI sunt in s duplueat ratione harum altitudinem. Deitates erunt II). de ememuinni citatis Nam si, Iocitas per arcum Ha, eadem esset ac velocitas amper areum G H, exponeretur per j, - tem Issa

Quar si velocitas decrearat, n- retardati Quar si realatantia vi gravitatis tam

gentiali major est, motu retardatur, a minora eleratur, si aequalia ne accoloratu nec reta datur.

' Matis demonstra . Via demno 29. Lib. I. 'm' at in eorpore, &e. Nam sola vi insita, mus tempore t Maeriueret tangentem H N, et vi gravitatis sin altitudinem NI, viri a verosius decrementum tempore t dictum, exponetur

P. -- - --- miser eraseat, exponetur mentum oritur a resistentia orpus retardanis eiusque motu secundum directionem tangentia H Noe arta Ha direct eontraria I et a gravitate motum eo oris descendentis acces ranis vis enim gravitatis in vires duas videlieri normalem et tangentialem divisa Mycorporis in eum a descendentis motum per vim tangentialemae terat quem vis normalia nee aecelerat, nec

eonjunctis deseribit meum H I. Quar graviatas spatium a eo ore secundis directionem Hs vel HI, deseribendum auget ovi longitudino HI

76쪽

habebitu decrementum velocitatis ex resistentia sola oriundum, nempe

resistentis vim gravitatis tangentialem superat, et postea in singuli casibus determinandae, et aed etiam in eo casu quo ab ista superaturi Si est incrementum nascena et constans abscisSae

enim velocitatis decrementum ex sola resistentia 552, 56 Lib. I. oriundum V, eum incrementum vel itatis vi 'L Erunt NI, Ac. 552. Lib. I. . , I, NI ' ' Et ordinat ine Est enim I - Μgravatatas tangentinu emtum n - - , - Μ Ι--CH MImm P QO-Ro

77쪽

Gm et HI aeterea si ab ordinata vi subducatur Se summaordinatarum BG ac D I, et ab ordinatam Isubducatur semisumma ordinatarum C H et Ε manebunt arcuum G De H Κ sagitta Molisti Et hae sunt lineolis II et VI proportionales, ideoque in duplicata ratione temporum inm

i Manebunt arcuum G rei m Motor, δα ungatur horda a means in in V, et ex puncto I demittatur ad B G perpendiculum P secans C H in T. Erit, ob triangulorum

- DI, quare se summa ordinatarum G - esto Tisia, seu V C, quae si ab ordinata C H subducatur, remanebit areas Gasagitta V H. Et simili ratiocino patet arcas Η Κ sagittam I x aequalem esse disserenum inter ordinatam Da et se summam ordinat eam in et Em. his stin sineolis me NΙ'opo tioneses. Nam coeuntibus unctis B, C, D, E

iamiles fiunt, et propterea latem homes et in Vota , in rem I proportionalia nunt aurum ex demonstr. lineolae in Na ut quadrata temporum quibus desinibuntur arcua G H.

78쪽

Velocitas autem ea est, quacum corpus de loco quovis H, secundum tangentem H N egrediens, in parabola diametrum H C et latus rectum ---- 4e -- habente, ' deinceps in vacuo moveri potest. Et resistentia est ut medii densitas et quadratum velocitatis conjunctim. et propterea medii densitas est ut resistentia directe et quadratum velocita

quo vi insita describeret Iim vi raritatis uni-

sed QRR- - SRo-R- mmu omissa resistentia quae hic ut nulla haberis debet IIS , adit per altitudinem Na Meus ectis terimnis ne lis indisi quare eri ', 'M' N pus viribus conjunctis'm 'I' scribit, usurpari potest pro arcu parabolae, cujusis est diameter H in ηα Lib. I. . tangensim ΕΦ ordinatis parallela, et a parallela et aequalis R scissa eui responderet ordinata aequalia H N. ad , P. I in Q enim Quare huius parabo latus rinum erit S 'iκ QRoo per Theor. I. da parata , mi per Lemma VII. ' , mi in termino in neglectra terminis negligendis Si itaque corpus

79쪽

Cures. I. Si tangens H, producatur utrinque donec occurrat ordinatae

I14 si resistentia asset ut medii d sitas et veloeitatis V dignitas quaelibet conjunctim;

directe

i in Q Q . Maria id est, directa ut

116. Superiores Brimilae non sollim pro eorporis descensu per arcum ad etiam pro ejusdem ascensu per arcum P F usurpari sunt. Corpore meendente per arcum CF a P in F, eadem fiat quae pro descens Per arcumr uonstruorio; et temporu quibua de riuum tu arcus G H, H I exponantur Per et ti

ad A F et in parpendiculam et Ira et ob triangula I RH, HI Τώ-lia erit II ad HS seu Acut HI ad I R

115. Hine si resistentia sit ut

Decrementum Mocitatis tempore t factum eriton MI dii α -- Hoe de emmium oritur a rosistentia et gravitate eo oris Meandantia motum simul retardantibus Gravitas in eo ore ea nisa spatium NI cadendo describente generat,

80쪽

et medii densitas erit ut m W-

Corol. 2. Et hinc, si curva linea PFH definiatur per relationem inter basem seu abscissam A C et ordinatim applieatam GH,

ut moris est; et valor ordia natam applicatae resolvaturm seriem convergentem. Problema per primos seriei torminos expedit solvetur, ut in exemplis sequentibus.

Me L I. Sit linea AE H Q semicirculus super diametro P . .. scriptus, et requiratur medii densitas quae sectat ut projectile in hac linea

terea si in ordinatam H suhducatur semisumma ordinatarum is ac D I, et ab ordinais o subducatur semisumma ordinatarum in et E , manebunt reuumma et cingitis, o oot Roo a Soa. Et hae sunt lineolis LM, NI proportionales, de que in duplicata ratione temporum infinithia vorum retri, et inde ratio

ad 4 m. Quemadmodum pro desesna i ventum est; et Corollaria adam quoqua manant.