Philosophiæ naturalis principia mathematica

81쪽

o PHILOSOPHIAE NATURALIS MOT CORPOR.

se o - et radice Per methodum nostran extractu,

Hujusmodi series distinguo in terminos successivos in hunc modum. Terminum primum appello, in quo quantitas infinite parvatim extat; secundum, in quo quantitas illa est unius dimensionis tertium, in quo exta duarum; quartum, in quo trium est; et sic in infinitum. Et priamus terminus, qui hic est e denotabit semper longitudinem orianais C Hi latenus ad initium indefinitae quantitatis Secundus terminus, qui hic est , denotabit disserentiam interim et D R id est, lineolam

wN, quae abscinditur complendo parallelogrammum H mi, 'ha, que ideo positionem tangentisim semper determinat ut in hoc casu eapiendo M N ad H, ut est 1 ad , seu a ad e eminus tertius, qui hic est

, designabit lineolam Im, quae jacet inter tangentem et curvam, phideoque determinat angulum contactus IH seu curvaturam

generalem. 550. Lib. I. primetis terminus. 552. ' ' Meund terminus. abid. 'DIIT ' At aridia poisionem inrigeruis WN semper ει-- Producatur tangens, Nisi di metro A in currat in T; et pro ter triangularum H M , T C Haimilitudinem, erit H, I N. Est veris generatim ΗΜ - et Μ - QR acu messiciens seeundi termini senex generalis pro curva quacumque. damon ' Prop. X.); quare si e piatur TadHCut est Iad Q

eui euita FH Qzulantis in H; O H, I que triangula communem et de Ha eis M

82쪽

dinis, designabitur per terminum tertium una cum sequentibus in infinitum. At si lineola illa minuatur in infinitum, termini subsequentes evadent infinit minores tertio, de que negligi possunt minum quartus laeterminat

variationem curvaturae, qui tu variationem variationis, et sic deinceps. Unde iter patet usus non contemnendus harum serierum in inlutione problematum, quae pendent in tangentibus et

Ham eum subtensam I eonstituit, mensura est dimidius arcuama, et anguli ad entrum H a mensura est Meus tus Ha ex natura

taetras Et Curvatura curva lineaei H Q in Washut maius osculi in inverse 1 2I. Lib. I. , fid ista, Quam angulus ille, seu

inaris racini, datis seeundo et temo termino in tes in quam Hor ordinatim relicatae resolatitur. terminahitur.

Terminiis quaritis determina variationem --tume. Quoniam differentia lineolarum GH et a quarto seriei termino proportionalis est 554 et per lineolamma determinatur anguius contactus seu curvatur eurvae in puncto H Ii8 et per lineolam VH curvatura in puneto G per harum linearum disserentiam . per quartum seriei terminum determinabitur differentia seu variatio curvaturae, ductaque alia tangentesimiliter determinabitur variatio variationis ot sic dein Ps.

83쪽

F pQ normaliter insistentem eminatur et resistentia erit ad gravitatem ut sis adisi, id est, ut sis C ad circuli diametrum Mi ς velocitas autem erit ut H. Quare si corpus justa cum velocitate secundum lineam ipsi P Q parallelam exeat de loco , et medii densitas in singulis locis, sit ut longitudo tangentis Eiu, et resistentia etiam in loco aliquom sit ad vim gravitatis ut C adis, corpus illud describet circuli quadrantem WH Q. Q. e. i. At si corpus idem de loco Ρ, secundum lineam ipsi P Q perpendicularem egrederetur, et in arcu semici

culi Ur moveri inciperet, sumenda esseta C seu a ad contrarias partes centrio, et propterea signum ejus mutandum esset et scribondum a pro Ha Quo pacto prodiret medii densitas ut Negativam

autem densitatem, hoc est, quae motus corporum accelerat, natura non

AH. Velae sistitem eris αι ec Η. Nam ex demonstri Prop. X.,velocitas est ut

119. Quoniam igitur velocitas est ut se C H, modii densitas ut tangens H , et resistentia ut C, quia gravitas et circuli diameter P Q data sunt eorpore perveniente ad punctum inlineas hortionialis, velocitas ejus nulla erit, medii densitas infinita, resistentia finita. Si vero ponatur H negativa, ut corpus infra horizontalem PQ Pergat; et velocitas ut H, quantitas imaginaria; et ideo corpus non potest infra hovizontalem P Q descendere. t dum corpus est in F velocitas eius est ut, in F, medii deninis nulla, et resistentia nulla. - Serihen -- a pro Φ a. Nam sis mula quae deositatem vili exponit, corporis ascensui, et deseensui communis est, sicut et alim formulae quae resistentiam et velocitatem expiniunt II 6 ; et idcirco ut quantita quae densitatem medii orpora descendente exponit eamdem exponat pro Torporis ascensu per eumdem vel similam et aequalem aream, substituendus est in illa quantitate valor abscissae, umeo ore descendent hic positiva est, ascendente negativa. Imratque hine gener timetolluitur eum meum arcum, vel simile et aequales utrinque abnx arcus, non posae ascensu et das nau describi in uno medio densitatis utcumque variabilis, id est, si arcus unus ascensu describi minat, des msi aeribi non posse, it contra. Nam ni in a tutione problematis hujusce pro corporis descensuper arcum F in origo abscissa positivm A statuatur in A, et pro C B, C D, C E scri n-

Pro ascensu per eumdem amum Q ad , a scissa eadem A C sumenda erit negRtivo, ἐ-que siti abscissae fluxio loco C B, C D, C scribendum erit ,-λ- si in valoribus ianearum, I, NI DI, Ket BG Ma soluto alento, ut in eadem pro demaenata aes sono, resistentia pro ascensu invenietur Propor-

gativa est, si Prior H lidi descensu erat, positiva sit; et eontra.

84쪽

admittit et propterea naturaster fieri non potest, ut eomus ascendendo a P deseribat elaetiti quadrantem P F. Ad hunc in tum deberet corpus a medio impellente accelerari, non a resistento impediri.

Exemptas. Sit linea PF Q parabola, anem habens Λ Monu PQ perpendicularem, et requiratur medii densitas, quae iaciat ut projectile in

s moveatur.

Ex natura parabolae, rectangulum Ure aequale est rectangulo sub ordiu tam Dei recta aliqua data hoc est, si dieantur recta illai P C, a WQ, c; CH, e et CD, o rectangulum Ho

σα- o aequale est rectangulo b in

DI, ideoque D Laequale

ta To - 2. Iam scribendus esset hujus seriei secundus terminus

pro Q o tertius item terminus pro Roo. Cum vero plures baon sint termini, debebit quarti messiciens Mevanescere, et propterea quantitus ut reri, cui medii densitas proportionalis est, nihil e Mila igitur medii densitate movisitur projectile in parabola, Tuu olim demonstravit Galilaeus. Q. e. L

85쪽

Memm s. Sit linea A GAE hyperbola, asympiston habens A plano hortionisii A perpendicularem et quaeratur medii densitas, quae faciat ut projectile moveatur in hac linea. Sit m asymptotos altera ordinatim applicatae D G productae occumrens in V et ex natura hyperbolae rectangulum X V in V G dabitur. Datur autem ratio D N ad V X et propterea datur etiam rectangulum D in m. Sit illud ' et completo parallelogrammo dicatur B, a B D, et ratio data

Resolvatur terminus

Reectangurum Uin G dabisuri per Theor. IV. de Hyp. viti uinem ratio D N ad a, quae eadem est cum ratione datam N ad Μα, ob parallelasi V N X. I x In seriem convergentem, divisiona in i

fimium producta. motis seriecis Est enim haec series aequalis seriei o--RO Soa , M. et singuli illius termini singulis terminis hujus aequantur id est,e - - - - est R

ae ordinata quae per punctum B ad hyperti Iam dueeretur in o oest QR et . . . in ' Ideo - - - - - Q sed qu R in in Bam nibus resistentiae, densitatis, et velocitati nemper reperitur quadratum Q in quod idem manes, seu radix ullus Q ammati sumattis, Ἀ-

negauis, nihil intereri inibo u '. viii

86쪽

r id est si in a sumatur a aequalis di Namque a a et

sistentia autem invenitur in ratione ad gravitatem quam habet sma ad 2 ' et velocitas ea est, quacum corpus in parabola Pergeret Verti

cem in diametrum D G, et latus rectum 's habente. Ponatur

itaque quod medii densitates in locis singulis G sint reciprocὲ ut distantiast X , quodque resistentia in loco aliquo G sit ad gravitatem utra ad YG; et corpus de loco A, justa cum velocitate emissum, describeta perholam issam A GAE Q. e. i. Exempl. 4. Piniatur indefinite, quod linea A Ga hyperbola sit, centro X asymptotis, lege descripta, ut constructo rectangulo Zim cujus latus Zm secet hyperbolam in G et asymptoton ejus in V, fiterit VM reciproc ut ipsius m velim dignitas aliqua D μ', e cujus index est numerusi et quaeratur medii densitas, qua projectile progrediatur in hac curva.

87쪽

' Resolvatur temunus ille

UI M. Hujus seriei terminus secundus ' Ο u. io usu an

88쪽

ibidem ea ipsa est,' cum corpus Proiectum in parabola pergeret verticem

laCorollario primo, si resistentia Ponatur ut velocitatis

dignitam quaelibet 'ixodabit densitas medii ut

in , major vel minor at quam

infra in , et in remalentia ad ymnuitan velocium quae est ut, in

89쪽

propterea si curva Memn

test ea lege, ut data fuerit

ratio

corpus movebitur in hac in is in uniformi medio cum resistentia quae sit ut velocia

talis dignitas V Sed rede

mus ad curvas simpliciores.

Quoniam motus non fit in parabola nisi in medio non resistente, in hype bolis vero hic descriptis fit per resistentiam Perpetinam perspicuum est quod linea, quam projectile in medio uni miniter resistente describit, propius 'ha cedit ad hyperbolas hasce quam a P rabolam. Est utique linea illa hype bolica generis, ' sed quae circa verticem magis distat ab asymptotis in partibus Vertice remotioribus propius ad ipsas accedit quam pro ratione hyperbolarum quas hic descripsita Tanta vero non est inter has et illam differentia, quin illius loco possint hae in rebus practicis non incommode adhiberi Et utiliores forsan suturae sunt hae, quam h

H - Gessit ad hyperbolas hasce, cum iis i ad in ratione is ad , - - perfecto convenire nunquam Potest, quod in hiseo hyperbolis densitas medii reciproce Prom H S, A C - tionalis sit recta variabili XI. et Praeterea non nwwrn et satis manifestum sit curvam, quam Projectile in R J modi uniformi describit in hypothesi resista tia velocitatis quadrato mPortionalis, i ero - id est densitas medii ut quantita d in V, asymptotum verticalem ut cum ira h. p . . ori . . sertim in hac resistentiae bre thesi spatium motu . sininde unimrmis Est Rutem h ionis inset descriptum, nemota gravitate, p. X. quam si da infinitum evadat per Cor 1. Prop. V. Verum.

tamen inveniri possunt hyperbol. in quihua prota uesicriti ' a. . , - quoque pam illa exiguo cur δ' A S , qua in robus

90쪽

perbola mam accurata et simul magis composita lassa vero in usum sis deducentur.

Compleatur parallelogrammum et recta a tanget hyperbolam in sit, ideoque densitas medii in G, est reciproce ut tangena O , et velocitas ibidem ut resistentia autem ad vim gravitatis

nis urioinde si corpus de loco A s eundum rectam Am projectum deseribat hyperbolam et Α Η producta oecurrat asymptoto vini, actaque A I eidem p rallela occurrat alteri asymptoto

um in I: dixerit medii densitas in

Areciproce ut Avi, et corporis V

sequentes Tegulae.

e Reg. 1. Si servetur tum modii densitas in A, tum velocitas quacum

S T, ob triangula milia Fra G, GAE Sed

Supra ad A, ut G S ad Z x se A.