Philosophiæ naturalis principia mathematica

111쪽

Gro Si centro D semiadiametro in

per verticem A ducatur arcus Aa similis arcui DT, et similiter subtendens angulum D T velocitas Α Ρ erit ad velocitatem, quum corpus tempore Em , in spatio

non resistente ascendendo amittere vel descendendo acquirere posset, ut area trianguli D AF ad aream sectoris D Ari idem

que ex dato tempore datur. Nam velocitas, in medio non resistente, tempori, atque ideo sectori huic proportionalis est; in medio resistente est ut triangulum; et in medio utroque, ubi quam minima est, accedit ad rationem aequalitatis pro more sectoris et trianguli.

' in seisinas in medio non resistente 25 Lib I. tempori atque adeo sectori Em , et proind. sectori proporiis lis est in medio resistente est ut A P, seu ob datam Bi

et in medio utroque ubi quam minima est, nempe initio descensus e quiete vel in fine aseenisseis accedit ad rationem aequalitatis ob resiste

tiam evanescentem, evanescente Velocitate, Pro

mors sectoria Din t et trianguli si re u tibus punctis' et reum puncto a. 139. Quoniam ubi in eo oris descensu B Psit - Bi, angulus B D P semi-rectus evadit, et recini P asymptotus hyperbolae aequilaterae

B E i manifestum est quod e pus, quiete cadendo nonnisi finitam velocitatem infinito tempore possit acquirere. Erit enim velocitas tempore infinito acquisita Bi . A B. Si vero corpus verticaliter deorsum data cum velocitato projiciatur, vel illa velocitas maximae seu terminali i A B aequalis est, et in hoc casu corpus motu uniformi descendit ob resistentiam gravitati aequalem; es terminali minoreat, et corporis cadentis motu perpetuo acceleratur, donec infinito tempore velocitatem maximam acquirat vel tandem te minali major est, tumque eo oris motua Perpetuo retardatur, donec infinito tempora elapso ad velocitatem terminalem mducatur hoc autem casu ala absolvitur eonstructi

Sitis a velocitas iam projectionis terminali major, P velocitas perpetuo deermeans, A P

vitatis; existente angulo DAE A recto et alea. piatur eompleaturque quadratum

Di R F, a centroi et vortie principali describatur hyperbola rectangula UE T V, amem rectas in D P et D in in E T Viaampus descentiis ab initio usquequo re duaeorpori velocitas altis P erit ut sector hyperbolicus D Ea nam velocitatis decrementum P in in data temporis particula factum eique proportionalis area D P Q est ut excessus

tur area Ei , uniformiter inguli temporia particulis aequalibus per additionem totidem d tarum Particulariimma V, et propterea temporides naua proportionalis es Cointadent veris puncto P, eum R, Et de recta Di eum

asymptoto Dra, veloestas A P termitiali A naeum D A B aequalia vadit, et saetor D E

infinitus, proindeque tempus etiam infinitum sit. e. d. 140. Hinc etiam si emtro D, amussiamSiso D a Per verti m .a, Meatur arma hyperbo Maari similia areae E , et similiter subtenderia

112쪽

Seholium. ' Demonstrari etiam posset casus in ascensu corporis, ubi vis gravitatis minor est quam quae exponi possit permis' se Α Β B si et major quam quae exponi possit per Α Β' -- Biri, et exponi debet per A BAE Sed propero ad alia.

angulum alui velocitas a P in medio est tente tempore extincta erit ad velint tem quam corpus eodem tempore in patio non resistent e quiete descendendo acquirere posset, ut area triangulii a P ad aream sectoriam a Mid quo ex dato tempore datur, et hinc datur quoque velocitas residua A P. Nam velocitas in medio non resistante acquisita tempori atquἡ ideo a tori AE , at proindis sectori similinari proportionalis est velocitas in medio m sistent extincta est ut triangulum D a P, et in medio utroque hi quam minima eat, a edit ad rationem aequalitatis pro more sectoris et triangulii a R ' IAI. Demonstrari posset casus in asce- corporis, tibi vis gravitatis exponi debet per A B q. ' Velocitas in ascensu exponatur Per P ut priua, ait resistentia ut APqq-2BAR-Pon Mur vis gravitatis per A BAE capiatur B De D να-ν aristoque perpendiculo F erit tempus Meensus totius ut sector sivo tria gulum D is agatur enim D V . abscindens et velocitatis momentum P Qit sectoris D T A momentum velocitatis decromentum P . est ut summa resistentiae et gravitatis siva

Decresciscimur area DTA ad modum tem rissultiri per sia Metionem pariticularum D et ν--reo empori ascensua otitia proporιionalia Si itaque resistentia povatur esse ut A P, vis autem gravitatis ut tem-

142. In isto casu Mestas A P est ad veloci-

tatem quam eorpus tempore Dis T sive se in spatio non resistant ascendendo amittere ei des ndendo aequirere posset, ut B P ad A B. Nam velocitas in medio non resistente tempori atquὲ ideo area D, T siva rectae proportionalis est; in medio resistente est ut A P, et in medio utroque ubi quam minima est, accedit ad rationem aequalitatis; nam cum capiatur B D - B, ratio linearum Α Ρ, Α , in puncto Aihi quam minima est accedit ad rationem linoarum F, F D quae est aequalitatis. Quare velocitas P in medio resistente erit ad velocitatem in medio non resistenta eodem tempore o Tamimam acquisitam ut A P ad A , hoe est ob

intelligitur quomodo ad hoc Theorema X. deis veniatur. Nam si dicatur gravitas g, veloci is v, resistentia 2- et tempus ;

fluens quantitatis

113쪽

Iisdem positis, dico quod spatium ascensu vel descensu descrotum est ut disserentis areae per quam tempus eae nitur, et areae cujuMasu inerius φαε augestur vel diminuitum in progressione arithmetice, si tames eae reti tentia et gravitate compositie sumantur in progressione geometrita.

Capiatur A C in fig. tribus ultimis gravitati, et A K resistentis proportionalis. Capiantur autem ad easdem partes puncti A si corpus descenn

dit, aliter ad contrarias. Erigatur Ai, quae sit ad D B ut Drari ad 6 B A C et descripta ad asymptotos rectangulas A, C H hyperbola Ν, erectaque m ad A perpendiculari, area Ai AE augebitur vel diminuetur in progressione arithmetica, ' dum vires A in pro-

114쪽

gressione geometrica summi Dico igitur quod distantia corporis ab ejus altitudine maxima sit ut excessus areae A UNA supra aream DET. Nam cum A K sit ut resistentia, id est, ut A P Bini; ass AP i 2BAΡmatur data quaeris quantitaset, et ponatur aequalis 2 ;

Cas. 1. Iam si e pus ascendit, ' sitque gravitas ut ABq BDqexistente B E T circulo in figura primu linea Α , quae gravitati

115쪽

s. s. Et eodem argumento, si corpus descendit, et propterea gravia

Cum igitur area illae semper sint in hac ratione si pro uream T V, qua momentum temporis sibimet ipsi semper aequale exponitur, scribatur determinatum quodvis rectangulum, putaram, , erit area Di Q, id

116쪽

seratur areae momentum D TV seu BDχm, et restabit

Est igitur differentia momentorum, id est, momen Brum differentiae arearum, aequalis ti et propterea ob da

tum ut velocitas Α Ρ, Id est, ut momentum spatii quod eo pus ascendendo vel descendendo describit. Ideoque differentia arearum et spatium illud proportionalibus momentis crescentia vel decrescentia et simia incipientia vel simul evanescentia, in sunt proportionalia. Q. e. d. Corol. Si longitudo, quae oritur applicando aream D E T ad lineam B D, dicatur, et longitudo alia V sumatur in ea ratione ad longitudianem, quam habet lineam A ad lineam Da spatium, quod corpus ascensu vel descensu toto in medio resistente describit, erit ad spatium in medio non resistente e quiete cadendo eodem tempore describeres test, ut arearum praedictarum differentia adis 2 ido uo in dato

tempore datur Nam spatium in medio non resistente est in duplicata ratione temporis, sive ut ' et ob datas B D et Ara ut BDὰ T.

' Haec area sequalis est areae Au ' et ipsius ,

mentum est m et Dropterea huius areae momentum est Uoqκε υκουΜκm

me autem momentum est ad momentum differentiae arearum praedictarum

117쪽

I. κ

Mimnes hae areae quam minimae sunt, aequalia habent momenta; yide que Sunt aequales. Unde cum velocitates, et propterea etiam spatia in medio utroque in principio descensus vel fine ascensus simul descripta ' accedant ad aequalitatem; ideoque tunc sint ad invicem ut area

minimae.. ' Acce vi ad aequalitatent Ob resiste tiam cum velocitate nascentem vel evanescentem, manente gravitate.

144. Constructione Cassis si Primositionis hujus I uti possumus ad determinandum -- tum corporis verticaliter deo tin proiecti eum velocitate quae eminali minor es Nam a aequalis ipsi fuerit, motus est aequabilis; a vero celeritas projectionis terminali major sit, paulo mutanda erit Casiis tertii constructio. Iisdem enim positis in noti 139. capiaturis C raritatie Α, resistantias proportionalis, ita ut ait inter A et , quod resistentia gravitate major supponatur. Sic a vel ita projectionis te minali major erigatur perpendicularis a b -- sit ad D B, ut AE , - B, C a, et descripta ad asymptotos rectangulas C , C Hhyperbolam, erectaque Κ, ad C, perpendiculari, area a b NAE augebitur in progression. arithmetic dum vires C, in pregressionesse metrica minuuntur. Spatium autem tem T. D E T deseriptum in ut excessus areae a b N Maupri aream D EI; nam ponatur, ut in -

118쪽

latium in medio non resistente sit perpetuo ut et Patium in medio resistente sit per tu ut arearum D E retini A differentia: necesse est, ut spatia in medio utroque in aequalibus quibuscunque --

poribus descripta sint ad invicem ut area illa et arearum

DΕTet AbNK differentia. Q. e. d.

monstratione Prop. XIV. - α- - ,

dem ampore descriptum in medio misistit ut factum A am D E T in arearum et D E T d Erantiam in ductam. Nam vatium tempore D E , velocitate uniformi a Maeriptum est am s. L et spatii hujus momentum est ut A amm V momentum autem spatii in medio maistente descripti est ut A P, D T V, seu ut velocita in momentum temporis ducta l2 si quia evanescente AE , fit P -- a haremomenta Αaκ DTV AP κ DTV in iis tam ris aequalia sunt, sicut et intia initio deseripis. Sed APNDTV - ΛΡΜ BD A m et momentum iusterentiae arearum a b Ν ΚΑ Ρ, B Dκm et D T; est auferatur areas D E momentum D TV seu BDκ me restabit

A. Bment uni, id est, momentum differentiae arem mutis locitas A P, id est, ut momentum p ta quod eorpus describit. ideoque differentia arearum ut malium descriptum. IV. Hinc spatium temporem velaei. e uti rea A a descriptum est ad spatium e

P, D siquato est momento differentiae arearum a MN, et D E T par ducto, unda manifestum est propositum. I 46. Si corporis ascendentia velocitas exPon vir per longitudinem A P, at resistentia per Α quae ponatur esse ut A P P, iis ut numma data quavia quantitatera, si x

119쪽

Sehesium. Resistentia corporum sphaericorum in fluidis oritur partim ex in citate, partim ex hictione, et partim ex densitate medii. Et resistentisa

euis in C describatur ad asymptois rectangulas C Κ, in hypemila bin, erectaque m ad C, perpendiculari, area Aimm diminuetur in progressione arithmetiea dum vires A in

progression geometrica Memacenis sumuntur. Et distantia corporis ab ejus altitudine maxima erit ut exeamus area Aim, supm triangulum D E TCiti enim sit Λ Κ

Lem. II. - Etenim per punctum A asymptotis D B, D describatur hyperbola, et ex puncto laueatur perpendiculum i ad hyperbolam usque trilianeum Λ erit ut spatium quaesitum. Ducatur a ad asymptotum perΡendicularis, erit FI-T Lot TF- LI sed ex natura hy

AbNK momentum KLON, et quia, Per naturam hyp. AB aEst vero area D T

Hine si pro aream P Q scribatur eius valor

rem eo tantem XPrimere debet, quia momentum temporis sibi semper aequale exponit, edus itaque loco scribatur rectangulum A B, mi quom erit momentum constans est, ----προ --, Erit ergo imae A NNA momo

-- P, ni et propterea ob datum m ut velocitas A P, id est, ut momentum spatii quod compua ascendendo describit, Et quo minuitur eo poris distantia ab ejus altitudina maxima. Id que differentia arearum et spatium illud proportionalibus momentis decrescentia, simulque neacentia sunt proportionalia. Vettim in isto eas lacilius quam Per meth dum emtonianam obtinetur spatium a corpore ascendent usqua ad quietem in medio resistante aeriptum, et Hua relatio ad spatium in medio non resistente eodem tempore Percurrendum:

argo est A W- α itaque ducta ex V par lata V, erit Vetti, momentum ar-- ra. - Τ, autem V momentum temporis, et Tm -- ipsa veloestas eo, mento ergo amat est ut momentum spatii

e momento descripti, ergo tota area Vr est ut spatium descriptum. Ducatur praeterea tangens Ara et designet A et intimum temporis momentum, et ductarit, triu-neum evaneseensis in aequale et triangulo th et eo vitimo momento spatia tam in medioremstante quam in non resistente deseripta erunt aequalia, ideoque per idem triangulum Ari Exprimentur spatia vero in medio non resistentae descripta sunt ut quadrata temporum, ideoquis spatium tempore Aa in medio non resistente descriptum erit ad spatium tempore Α T in eo na

medio deseriptum sicut Ari aivae ratarea trianguli xt I ad aream VT X; vatiun vero in medio resistent descriptum tenipores terit ad spatium tempora in eodem aedio deseriptum ut A et ad trilineum uno. liquet quod spatium in medio non resistentae scriptum, ascendendo ad quietem usque erit navalium in medio resistente descriptum, ut A m. ad Aram, existinis velocitata, in medio mo resistente, ut T X et in medio resistente, ut a

120쪽

partem illam, quae olitvi ex densitate fluidi, diximus esse in duplicata ris,.tione velocitatis; pars altera, quae oritur ex tenacitate fluidi est uniformis, sive ut momentum temporis ideoque jam pergere liceret ad motum comporum, quibus resistitur partim i uniformi seu in ratione momentorum temporis, et pratim in ratione duplicata velocitatis. Sed sussicit aditum patefecisse ad hanc speculationem in Propositionibus VIII et IX. quae praecedunt, et eorum Corollariis. In iisdem utique pro corporis ascendentis resistentia uniformi, quae ex ejus gravitate oritur, substitui potest

resistentia uniformis, quae oritur ex tenacitate medii, quando corpus solavi insita movetur; et corpore recta ascendente addere licet hanc uniformem resistentiam vi gravitatis eandemque subducere, quando corpus recta descenditi emere etiam liceret ad motum corporum, quibus resistitur partim uniformiter, partim in ratione velocitatis, et partim in ratione duplicata velocitatis. Et viam aperui in Hopositionibus praecedemtibus XIII et XIV. in quibus etiam resistentia uniformis, quae orituris tenacitate medii pro vi gravitatis, substitui potest, vel cum eadem, ut prius, Componi. Sed propero ad alia.

In iisdem utique Ios, exponebat, summam invitatis et resistentiae uni- In mi caelam refutensia uniformis, sormia in praedictis constructionibus exponeti hoc est, ni eo ua Mia vi insita feratur, in eon Tandem at eor a vi invitatis descendat, eadem

structionibus Prop. XIII et XIV. quae sunt quantita quae solam gravitatem XPonebat, e m corporis ascensu loco graviisti a stituenda e sum gravitatis supra resistentiam uniformem est resistentia uniformia quae oritur ex tenacitat in eo tructionibu quae sunt pro demensura

meta is Eorpua Mendens v gravitatis etiam primentabit ea ria manentibus. meatur quantitas illa quae solam gravitatem